1.3 Hiukkasen energiatilat ja sovelluksia

Kvanttimekaniikan ominaispiirteitä

Kun sekä fotoneilla että hiukkasilla oli todettu olevan aalto- ja hiukkasluonne, syntyi tilausta teorialle, joka kuvaisi hiukkasten ja fotonien välistä vuorovaikutusta. Fysiikkaan muodostui kvanttimekaniikan osa-alue. Kvanttimekaniikan teorialla on kaksi tukipilaria: fotonin käyttäytyminen energiapakettina ja hiukkasen mallintaminen Schrödingerin yhtälön avulla.

Valosähköilmiössä havaittiin, että yksittäinen fotoni vuorovaikuttaa elektronin kanssa luovuttaen elektronille koko energiansa. Fotoni tuhoutuu vuorovaikutuksessa. Tilanteessa voi syntyä uusi fotoni. Tämä on kvanttimekaniikan ensimmäinen perusperiaate: fotoni voi vuorovaikuttaa aineen kanssa vain syntymällä tai tuhoutumalla, ja samalla fotoni saa tai luovuttaa aineelle taajuuttaan vastaavan energian kokonaisuudessaan.

Schrödingerin yhtälö on matemaattinen malli aaltomaisten hiukkasten kuvaamiseen. Se on kvanttimekaniikassa samassa asemassa kuin Newtonin II laki klassisessa mekaniikassa. Schrödingerin yhtälö on lukiomatematiikan ulottumattomissa oleva differentiaaliyhtälö, jonka ratkaisuna saadaan hiukkasen sijainnin todennäköisyysjakauma ja jakauman aikakehitys. Schrödingerin yhtälön avulla voidaan selvittää esim. elektronin tilaa sen ollessa vapaa tyhjässä avaruudessa tai sidottuna atomiytimen ympärillä. Kuvassa on havainnollistettu elektronin sijainnin todennäköisyysjakauma vetyatomissa eräässä energiatilassa. Värin voimakkuus ilmentää todennäköisyyttä löytää elektroni tietystä pisteestä. Punainen piste keskellä on atomin ydin.

Hiukkasen sijainnin todennäköisyysjakauman lisäksi Schrödingerin yhtälö antaa tuloksena hiukkasen energian. Kaikissa tilanteissa, lukuun ottamatta yksittäistä elektronia tyhjässä avaruudessa, yhtälö tuottaa ratkaisuna vain tiettyjä energian arvoja. Sanotaan, että hiukkasen energia on kvantittunut. Energialla on pienin mahdollinen arvo, toiseksi pienin, jne. Energian kvantittuminen ilmenee monissa käytännön tilanteissa. Esimerkiksi aineen tuottama viivaspektri selittyy atomiytimen ympärillä olevan elektronin energian kvantittumisella. Tähän tutustutaan seuraavassa luvussa.

Schrödingerin yhtälöllä on matemaattinen ominaisuus, jonka mukaan mikä tahansa sen yksittäisten ratkaisujen summa on myös yhtälön ratkaisu. Jos hiukkanen voi yhtälön mukaan olla energiatilassa [[$E_n$]] tai [[$E_m$]], se voi myös olla näissä kahdessa energiatilassa yhtä aikaa. Tilanne ei muutu, vaikka tiloja olisi kuinka monta. Kvanttimekaniikan hiukkanen voi olla vaikka 176 paikassa samanaikaisesti tai sillä voi olla 35 eri energiaa yhtä aikaa. Tilannetta, jossa hiukkasen jollain ominaisuudella on useita arvoja samanaikaisesti, kutsutaan superpositiotilaksi.

Superpositiotiloja ei havaita arjessa. Tämä selittyy sillä, että Schrödingerin yhtälön mukaan superpositiotila "romahtaa" vuorovaikutustapahtumassa johonkin yksittäiseen arvoon. Jos superpositiotilan yrittää havaita mittalaitteella, mittarin ja mitattavan systeemin välille syntyy vuorovaikutus. Mittaaminen "romauttaa" aina superpositiotilan johonkin arvoon, joka on mittaustulos. Tulosta ei voi tietää etukäteen; Schrödingerin yhtälö kertoo ainoastaan eri vaihtoehtojen todennäköisyydet.

Tämä on keskeinen ero klassiseen fysiikkaan, jossa Newtonin lait, gravitaatiolaki ja Coulombin laki ennustavat tulevaisuuden täsmällisesti alkutilanteen perusteella. Kvanttimekaniikassa mitään ei voida tietää tarkasti. Hiukkasen täsmällisen paikan sijaan käytössä on sijainnin todennäköisyysjakauma, ja kvantittuneille suureille tiedetään vain eri mittaustulosvaihtoehtojen todennäköisyydet.

Kvanttimekaniikkaa ei kuitenkaan tarvita mallintamaan makroskooppisia kappaleita. Mitä suuremmista hiukkasista on kyse, sitä hankalampi niiden on havaita käyttäytyvän kvanttimekaanisesti. Makroskooppisten kappaleiden tulevaisuuden mallintamiseen riittää klassinen fysiikka, koska ne ovat jatkuvasti vuorovaikutuksessa useiden muiden kappaleiden kanssa. Niillä ei ole pitkäaikaista superpositiotilaa, eikä siten arkikokemuksen vastaisia kvantti-ilmiöitä.

Esimerkkitilanne: hiukkanen laatikossa

Seuraava esimerkki havainnollistaa hiukkasen ominaisuuksien kvantittumista. Tarkastellaan hiukkasta tyhjässä avaruudessa, joka on rajattu laatikoksi. Hiukkanen pääsee liikkumaan laatikon sisällä vapaasti, mutta ei sieltä ulos. Tilanne voisi olla approksimaatio elektronille puolijohdemateriaalissa, joka on rajattu ympäriltä eristeellä. Käytännössä malli on hyvin karkea sovellettavaksi.

Vaikka hiukkasen tila ratkaistaan kvanttimekaniikassa Schrödingerin yhtälön avulla, tällaisessa yksinkertaisessa tilanteessa Schrödingerin yhtälöä ei tarvita, koska ratkaisut voidaan päätellä. Laatikon sisällä hiukkanen käyttäytyy kuin tyhjässä avaruudessa: se on häiritsemätön aalto. Jos hiukkanen ei pääse laatikosta ulos, aallon täytyy "päättyä" laatikon reunaan. Tilanne on samankaltainen kuin seisova aaltoliike, joka syntyy molemmista päistä kiinnitettyyn naruun. Näin ollen, jos laatikon leveys on [[$L$]], laatikkoon on mahduttava kokonainen määrä puolikkaita aaltoja. Laatikko ja neljä pisintä mahdollista aallonpituutta on havainnollistettu oikealla olevassa kuvassa. Aallot kuvaavat hiukkasen mahdollisia tiloja laatikossa.

Laatikon leveyden [[$L$]] on siis oltava kokonaisluku kertaa puolikas aallonpituus:

[[$ \quad L=n\dfrac{\lambda}{2} \Rightarrow \lambda=\dfrac{2L}{n}$]]

Sijoittamalla aallonpituuden lauseke hiukkasen de Broglien aallonpituuteen [[$\lambda=\frac{h}{p}$]] saadaan yhtälö

[[$\quad \dfrac{2L}{n}=\dfrac{h}{p} \Rightarrow p=\dfrac{nh}{2L}$]]

Liikemäärän ja liike-energian välinen yhteys on

[[$\quad E_\text{k}=\dfrac{p^2}{2m}$]]

Energialle saadaan lauseke

[[$\quad E_\text{k}=\dfrac{\left(\dfrac{nh}{2L}\right)^2}{2m}= n^2\dfrac{h^2}{8L^2m}$]]

Lausekkeesta ilmenee, että energian täytyy olla energiatilan järjestysluvun [[$n=1,2,3,\ldots$]] neliö kertaa [[$\dfrac{h^2}{8L^2m}$]].

Tulos tarkoittaa, että energia on kvantittunut samoin kuin liikemäärä. Jos hiukkasen energiaa halutaan lisätä, siihen täytyy tuoda juuri sopiva energiamäärä. Jos energian lisäys tapahtuu absorboimalla fotoni, fotonin energian ja siten taajuuden pitää olla sopivan suuruinen. Tämä periaate pätee myös atomin ympärillä olevalle elektronille, jonka energiatiloja ei kuitenkaan pystytä johtamaan lukiomatematiikalla. Seuraavassa luvussa käsitellään elektronin energian kvantittumisen ilmenemistä, kun se on sidottu atomiytimen ympärille, ja ilmiötä, jolla energian kvantittuminen aiheuttaa alkuaineiden viivaspektrit.

Tunneloituminen

Tunneloituminen on ilmiö, jossa hiukkanen voi siirtyä läpi alueen, jolla liikkuminen ei klassisen mekaniikan mukaan olisi mahdollista. Tunneloitumisilmiö perustuu olettamukseen, että hiukkasella ei ole täsmällistä paikkaa, vaan sijainti esitetään todennäköisyysjakaumana. Jos klassisessa mielessä kielletyn alueen leveys on pieni, Schrödingerin yhtälön ratkaisuna tuleva todennäköisyysjakauma jatkuu kielletyn alueen toisella puolella. Oheisessa simulaatiossa elektroni törmää ohueen seinämään, josta sen ei klassisen fysiikan mukaan pitäisi päästä läpi. Elektronin sijainnin todennäköisyysjakauma on esitetty kirkkausvaihteluna: mitä kirkkaampi kohta, sitä todennäköisemmin siinä on elektroni. Himmeä pallo kulkee seinästä läpi ja kirkas heijastuu, ts. elektroni tunneloituu pienellä todennäköisyydellä seinän läpi.

Arkipäiväinen tunneloitumista hyödyntävä sovellus ovat flash-muistit (muistitikut, SSD-levyt, jne.). Niissä elektroneja voidaan varastoida eristekalvojen taakse kiihdyttämällä elektroneja jännitteen luomalla sähkökentällä kalvoa kohti. Riittävällä jännitteellä kiihdytetyt elektronit tunneloituvat eristekalvon taakse ja pysyvät siellä myös kytkettäessä kenttä pois päältä. Luettaessa muistia yksittäinen elektronisäiliö on nolla tai ykkönen sen mukaan, onko siellä elektroneja vai ei.

Tunneloitumista hyödynnetään myös alle nanometrien luokkaa olevien rakenteiden kuvantamisessa. Laite on tunnelointimikroskooppi. Siinä kuvattavan kappaleen pinnan ja tunnelointimikroskoopin kärjen välille muodostetaan pieni jännite, joka pyrkii siirtämään elektroneja mikroskoopista kappaleeseen tai päinvastoin. Jännite valitaan klassisen sähköopin mukaisella periaatteella: elektronien ei pitäisi päästä kärjen ja tutkittavan esineen välillä olevan raon yli. Tunneloituminen kuitenkin mahdollistaa elektronien siirtymisen. Siirtymä on sitä todennäköisempää, mitä lähempänä toisiaan kärki ja pinta ovat. Siten virran suuruudesta voidaan päätellä tutkittavan esineen muoto molekyylin ja jopa atomin tarkkuudella.

Video: Tunnelointimikroskoopin toimintaperiaate (La Physique Autrement)

Pysähdy pohtimaan

Esimerkkejä

Esimerkki 1

Selitä lyhyesti seuraavat asiat:

superpositiotila ja sen romahtaminen
sijainnin todennäköisyysjakauma
energian kvantittuminen.

Näytä ratkaisu

Keskeisiä kysymyksiä

Mitkä ovat klassisen fysiikan ja kvanttimekaniikan keskeiset erot?
Mitä kvantittuminen tarkoittaa?
Millaisia kvantti-ilmiöitä on olemassa?

Alaluvun tehtäviä

105, 160, 161, 162, 163

Erwin Schrödinger

Erwin Schrödinger (1887–1961) oli itävaltalainen fyysikko, jonka merkittävin saavutus on Schrödingerin yhtälö. Se on kvanttimekaniikan perusyhtälö samaan tapaan kuin Newtonin II laki on klassisen mekaniikan perusta. Schrödinger palkittiin työstään (yhdessä Paul Diracin kanssa) Nobel-palkinnolla v. 1933. Yhtälö on saavuttanut ikonisen aseman: se on painettu niin t-paitoihin kuin ikuistettu Varsovan yliopiston julkisivuun.

Pian v. 1926 tapahtuneen läpimurtonsa jälkeen Schrödingerin työtä alkoi haitata jatkuva muuttaminen. Schrödinger vastusti natsihallintoa ja poistui kotimaastaan. Schrödinger pyrki aikalaistensa ja myöhempien fyysikoiden tavoin kehittämään painovoiman ja kvanttimekaniikan yhdistävää teoriaa saavuttamatta kuitenkaan uusia merkittäviä tuloksia.

Yhtälönsä lisäksi Schrödinger tunnetaan ajatuskokeesta, jossa sovelletaan superpositiotilaa makroskooppisiin kappaleisiin, tarkemmin sanottuna kissaan. Schrödingerin kissa on laatikossa, jossa on myrkkypullo, radioaktiivinen atomi ja laitteisto, joka rikkoo myrkkypullon heti atomin hajotessa. Atomin hajoaminen on satunnaisilmiö, eikä voida tietää, milloin se hajoaa. Näin ollen, kun laatikko suljetaan, kissa on samanaikaisesti elävä ja kuollut. Kun laatikko avataan, superpositiotila romahtaa ja kissan tila tiedetään tarkasti. Kissa on joko elävä tai kuollut.

Erwin Schrödinger (Wikipedia)

Kvanttitietokone

Tietokoneen komponenttien koko on pienentynyt vuosi vuodelta. Laitteista on tullut samalla yhä tehokkaampia. Kun komponenttien kokoluokka on muutamia atomeja, saavutetaan nykytekniikan rajat komponenttien pienenemisessä. Kvanttitietokone voi kasvattaa laskentakapasiteettia moninkertaisesti verrattuna perinteisiin tietokoneisiin. Nykyisessä tietokoneessa tieto välitetään bitteinä. Bitti voi olla joko 1 tai 0, jolloin bittien muodostama nollien ja ykkösten jono on käsiteltävä informaatio. Kvanttitietokoneessa käytetään bittien sijasta kubitteja. Kubittina voisi toimia niin atomi kuin elektronikin. Kvanttimekaanisena oliona kubitti voi saada arvot 1 ja 0 yhtä aikaa, mikä lisää yhden kubitin laskentakapasiteettia bittiin nähden.

Kvanttitietokoneen ei ole tarkoitus korvata perinteistä tietokonetta, eikä se ole perinteistä tietokonetta nopeampi yksinkertaisten operaatioiden suorittamisessa, vaan kvanttitietokoneen hyödyt tulevat esiin monimutkaisissa laskentaoperaatioissa, joille onnistutaan kehittämään sopivia kvanttimekaniikkaa hyödyntäviä laskenta-algoritmeja. Tällaisia voisivat olla esim. molekyylitason simulaatiot, ilmastonmuutokseen liittyvät laskennat tai tietoturva-asiat.

Video: How Does a Quantum Computer Work? (Veritasium)

Kvanttitietokoneiden tutkimus on vielä alkuvaiheessa ja toistaiseksi rakennetut laitteet ovat pitkälti prototyyppejä. Yksi haaste on, että kvanttitietokoneiden tulee olla lähellä absoluuttisen nollapisteen lämpötilaa toimiakseen. Ongelmista huolimatta kvanttitietokoneiden kehityksen päässä siintävät mahdollisuudet houkuttelevat tutkijoita. Myös Aalto-yliopistossa tehdään tästä aiheesta kärkitutkimusta.

Ajankohtaista Aallossa kvanttitietokoneista (Aalto-yliopisto)

Lomittuminen

Lomittuminen on yksi kuuluisimmista kvantti-ilmiöistä. Tarkastellaan esimerkkinä tilannetta, jossa hiukkanen pomppii edestakaisin laatikossa. Laatikko jaetaan satunnaisella hetkellä kahteen osaan. Hiukkanen jää kvanttimekaanisesti tilaan, jossa se on yhtä aikaa oikealla ja vasemmalla puoliskolla. Jos puoliskot nyt erotetaan, ne ovat lomittuneet ja kumpikin on superpositiotilassa, jossa siellä sekä on, että ei ole hiukkasta. Jos nyt oikeaa puoliskoa tutkitaan, superpositiotila romahtaa ja hiukkanen havaitaan tai sitten ei. Jos hiukkanen havaitaan oikeassa puoliskossa, vasemman puoliskon tila on myös tiedossa: on selvää, että siellä ei ole hiukkasta. Vasemman puoliskon tila muuttuu välittömästi, kun oikean puoliskon tilaa tutkitaan. Tämä tapahtuu riippumatta siitä, kuinka kaukana puoliskot ovat toisistaan.

Tyypillinen lomittunut systeemi on kaksi alkeishiukkasta, esim. elektronipari, tai kaksi fotonia. Yksi lomittumisen hyötykäyttö on herkkien kohteiden kuvaaminen. Kohteeseen lähetetään fotoneja, jotka ovat lomittuneet kameralle menevien fotonien kanssa. Kuva tulee tällöin otettua heti fotonien osuessa kohteeseen, ei vasta kohteesta sironneiden fotonien saapuessa takaisin kameraan. Lisäksi lomittuminen voidaan toteuttaa niin, että kameraan saapuvat fotonit ovat korkeaenergisiä ja tulevat helposti havaituksi kennolla, kun taas kuvattavaan näytteeseen osuvat fotonit ovat matalaenergisiä, eivätkä vaurioita sitä. Tekniikka on hiljalleen leviämässä laajempaan käyttöön esim. valoherkkien biologisten näytteiden kuvaamisessa.

Lomittuneilla fotoneilla valokuvaaminen (Nature.com)