Ammuttaessa elektroneja kaksoisraon läpi varjostimelle päämaksimin molemmille puolille muodostui sivumaksimit 2,8 cm:n päähän. Varjostin oli 97 cm:n päässä kaksoisraosta. Kaksoisraon rakojen etäisyys toisistaan oli 200 nm.

1. Laske elektronien de Broglien aallonpituus.
2. Laske elektronien nopeus ja kiihdyttämiseen vaadittu jännite.
3. Miten tilanne muuttuu, jos elektronien nopeutta kasvatetaan tai pienennetään?

Ratkaisu

a. Aallonpituus saadaan hilayhtälöstä [[$k\lambda=d\sin\theta$]]. Nyt kyse on ensimmäisestä sivumaksimista, joten [[$k=1$]]. Kulma saadaan annetuista tiedoista trigonometrialla:

[[$ \quad \tan\theta=\dfrac{2,8\text{ cm}}{97\text{ cm}}\qquad\Rightarrow\qquad\theta=\arctan\dfrac{2,8\text{ cm}}{97\text{ cm}}=1,6534\dots^\circ\approx 1,653^\circ$]]

Aallonpituudeksi tulee

[[$ \quad \lambda=d\sin\theta=200\cdot 10^{-9}\text{ m}\cdot\sin 1,653^\circ=5,770\cdot 10^{-9}\text{ m}\approx 5,8\text{ nm}$]]

de Broglien aallonpituus on 5,8 nm.

b. De Broglien kaavan mukaan [[$\lambda=\dfrac{h}{mv}$]]. Tästä saadaan nopeudeksi

[[$ \quad v=\dfrac{h}{m\lambda}=\dfrac{6,626\cdot 10^{-34}\text{ Js}}{9,109\cdot 10^{-31}\text{ kg}\cdot 5,77\cdot 10^{-9}\text{ m}}=126068,0\dots\text{ m/s}\approx 130\text{ km/s}$]]

Kiihdytysjännite saadaan energiaperiaatteella. Kaikki elektronien liike-energia on peräisin kiihdytyksessä vapautuneesta sähköisestä potentiaalienergiasta:

[[$\begin{align*} \quad E_\text{KIN}&=E_\text{POT}\\ \dfrac{1}{2}mv^2&=qU\\U&=\dfrac{mv^2}{2q}=\dfrac{9,109\cdot 10^{-31}\text{ kg}\cdot\left(126\,000\text{ m/s}\right)^2}{2\cdot 1,602\cdot 10^{-19}\text{ C}}=45,1\dots\text{ mV}\approx 45\text{ mV}\\\end{align*}$]]

Nopeus on 130 km/s ja kiihdytysjännite 45 mV. 

c. Jos nopeutta kasvatetaan, aallonpituus pienenee. Tällöin myös kulma, jossa sivumaksimi näkyy, muuttuu pienemmäksi, ja ennen pitkää sivumaksimit eivät erotu päämaksimista. Aallonpituuden pienentyessä aaltoluonnetta on hankalampi havaita.

Jos nopeutta pienennetään, tapahtuu päinvastoin, ja sivumaksimit erottuvat entistä selvemmin. Tällöin kuitenkin elektronien nopeus pienenee myös, jolloin ne ovat entistä alttiimpia häiriöille kulkiessaan kohti kaksoisrakoa.

Takaisin