Todennäköisyyksien teoriaa
Kuinka monella tapaa
Jos valittavana on useita vaihtoehtoja peräkkäin saadaan kaikkien valintavaihtoehtojen kokonaislukumäärä kertomalla peräkkäisten valintavaihtoehtojen määrät keskenään.
ESIMERKKI
Jaanalla on kaksi kenkäparia, kolmet housut ja neljä paitaa. Kuinka monta erilaista asukokonaisuutta Jaana pystyy muodostamaan?
[[$2 \cdot 3 \cdot 4 = 24 $]]
https://peda.net/id/4b20082ab
Jaanan kummallekin kenkäparille voidaan valita kolme housuvaihtoehtoa ja kaikille näille yhdistelmille vielä neljä erilaista paitavaihtoehtoa. Yhteensä "reittejä" eli yhdistelmiä on 24.
ESIMERKKI
Jaanalla on kaksi kenkäparia, kolmet housut ja neljä paitaa. Kuinka monta erilaista asukokonaisuutta Jaana pystyy muodostamaan?
[[$2 \cdot 3 \cdot 4 = 24 $]]
https://peda.net/id/4b20082ab
Jaanan kummallekin kenkäparille voidaan valita kolme housuvaihtoehtoa ja kaikille näille yhdistelmille vielä neljä erilaista paitavaihtoehtoa. Yhteensä "reittejä" eli yhdistelmiä on 24.
Kertoma ja järjestys
KERTOMA
n kertoma (merkitään n!) tarkoittaa tuloa [[$n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot ... \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$]]
ESIMERKKI
4! = [[$4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24 $]]
n kertoma (merkitään n!) tarkoittaa tuloa [[$n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot ... \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$]]
ESIMERKKI
4! = [[$4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24 $]]
Klassinen todennäköisyys
Todennäköisyys kuvaa tapahtuman toteutumismahdollisuutta. Todennäköisyyttä merkitään kirjaimella P ja kyseessä oleva tapahtuma kirjoitetaan sulkuihin P-kirjaimen jälkeen.
Esimerkki
P(mahdoton tapahtuma) = 0
P(varma tapahtuma) = 1
MÄÄRITELMÄ
P(A) = [[$\dfrac{tapahtuman \space A \space suotuisten \space alkeistapausten \space lukumäärä}{tapahtuman \space A \space kaikkien \space alkeistapausten \space lukumäärä}$]]
Suotuisten alkeistapausten lukumäärä jaetaan kaikkien alkeistapausten lukumäärällä.
Esimerkki
Millä todennäköisyydellä nopanheitossa saadaan vähintään viisi?
P(vähintään viisi) = [[$\dfrac{2}{6}$]] = [[$\dfrac{1}{3}$]]
Nopanheitossa on kuusi alkeistapausta (1,2,3,4,5,6), joista suotuisia tapahtumalle "vähintään viisi" ovat alkeistapaukset 5 ja 6, eli kaksi vaihtoehtoa.
Esimerkki
P(mahdoton tapahtuma) = 0
P(varma tapahtuma) = 1
MÄÄRITELMÄ
P(A) = [[$\dfrac{tapahtuman \space A \space suotuisten \space alkeistapausten \space lukumäärä}{tapahtuman \space A \space kaikkien \space alkeistapausten \space lukumäärä}$]]
Suotuisten alkeistapausten lukumäärä jaetaan kaikkien alkeistapausten lukumäärällä.
Esimerkki
Millä todennäköisyydellä nopanheitossa saadaan vähintään viisi?
P(vähintään viisi) = [[$\dfrac{2}{6}$]] = [[$\dfrac{1}{3}$]]
Nopanheitossa on kuusi alkeistapausta (1,2,3,4,5,6), joista suotuisia tapahtumalle "vähintään viisi" ovat alkeistapaukset 5 ja 6, eli kaksi vaihtoehtoa.
Tilastollinen todennäköisyys
Kaikissa tapauksissa absoluuttista todennäköisyyttä ei pystytä määrittämään. Tällöin on turvauduttava mahdollisimman hyvään arvioon, joka voidaan "ennustaa" tilastojen perusteella.
Tilastollinen todennäköisyys on likiarvo, joka määritetään kokeellisesti tai tilastoidun aineiston pohjalta. Tuloksesta käytetään myös nimitystä suhteellinen frekvenssi.
P(A) = [[$\dfrac{tapahtuman \space A \space frekvenssi}{frekvenssien \space summa}$]]
Tapahtuman A alkeistapausten lukumäärä (frekvenssi) jaetaan kaikkien koe-/tilastotulosten yhteismäärällä.
Huom! Todennäköisyyden likiarvo paranee, kun toistoja lisätään eli frekvenssien summa kasvaa.
ESIMERKKI
Heitetään noppaa 30 kertaa ja määritetään kokeellisesti P(6). Tilastoidaan tulokset.
Määritetään P(6) = [[$\dfrac{6}{30}$]] =[[$\dfrac{1}{5}$]] .
Huom! Kokeellisesti määritetty todennäköisyys eroaa tällä kertaa klassisesta todennäköisyydestä [[$\dfrac{1}{6}$]]. Tulos lähestyisi hiljalleen oikeaa, kun heittojen lukumäärää kasvatettaisiin.
Tilastollinen todennäköisyys on likiarvo, joka määritetään kokeellisesti tai tilastoidun aineiston pohjalta. Tuloksesta käytetään myös nimitystä suhteellinen frekvenssi.
P(A) = [[$\dfrac{tapahtuman \space A \space frekvenssi}{frekvenssien \space summa}$]]
Tapahtuman A alkeistapausten lukumäärä (frekvenssi) jaetaan kaikkien koe-/tilastotulosten yhteismäärällä.
Huom! Todennäköisyyden likiarvo paranee, kun toistoja lisätään eli frekvenssien summa kasvaa.
ESIMERKKI
Heitetään noppaa 30 kertaa ja määritetään kokeellisesti P(6). Tilastoidaan tulokset.
| alkeistapaus | f |
| 1 | 3 |
| 2 | 7 |
| 3 | 6 |
| 4 | 4 |
| 5 | 4 |
| 6 | 6 |
Määritetään P(6) = [[$\dfrac{6}{30}$]] =[[$\dfrac{1}{5}$]] .
Huom! Kokeellisesti määritetty todennäköisyys eroaa tällä kertaa klassisesta todennäköisyydestä [[$\dfrac{1}{6}$]]. Tulos lähestyisi hiljalleen oikeaa, kun heittojen lukumäärää kasvatettaisiin.
Peräkkäiset tapahtumat
Peräkkäisten tapahtumien todennäköisyys saadaan kertomalla yksittäistapausten todennäköisyydet keskenään.
P(A ja B) = P(A) x P(B)
Kun oletetaan, että tapaukset A ja B ovat erilliset, eli tapahtuman A toteutuminen ei vaikuta tapahtuman B todennäköisyyteen.
Esimerkki
Millä todennäköisyydellä rahanheitossa saadaan kolme peräkkäistä klaavaa?
P(kolme klaavaa) =[[$\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}$]]=[[$\dfrac{1}{8}$]]
Huom! Kertolaskusääntöä voidaan usein soveltaa järkevästi, vaikka aikaisempi tapahtuma vaikuttaisikin tulevaan tapahtumaan.
Esimerkki
Korissa on 12 palloa, joista sinisiä palloja on 5, keltaisia palloja 4 ja punaisia palloja 3. Millä todennäköisyydellä kolmella nostolla saadaan kolme punaista palloa?
P(kolme punaista) = [[$\dfrac{3}{12}\cdot\dfrac{2}{11}\cdot\dfrac{1}{10}$]]=[[$\dfrac{6}{1320}$]]=[[$\dfrac{1}{220}$]]
Huom! Todennäköisyys muuttuu, jos pallo palautetaan koriin jokaisen noston jälkeen!
P(kolme punaista) = [[$\dfrac{3}{12}\cdot\dfrac{3}{12}\cdot\dfrac{3}{12}$]]=[[$\dfrac{27}{1728}$]]=[[$\dfrac{1}{64}$]]
P(A ja B) = P(A) x P(B)
Kun oletetaan, että tapaukset A ja B ovat erilliset, eli tapahtuman A toteutuminen ei vaikuta tapahtuman B todennäköisyyteen.
Esimerkki
Millä todennäköisyydellä rahanheitossa saadaan kolme peräkkäistä klaavaa?
P(kolme klaavaa) =[[$\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}$]]=[[$\dfrac{1}{8}$]]
Huom! Kertolaskusääntöä voidaan usein soveltaa järkevästi, vaikka aikaisempi tapahtuma vaikuttaisikin tulevaan tapahtumaan.
Esimerkki
Korissa on 12 palloa, joista sinisiä palloja on 5, keltaisia palloja 4 ja punaisia palloja 3. Millä todennäköisyydellä kolmella nostolla saadaan kolme punaista palloa?
P(kolme punaista) = [[$\dfrac{3}{12}\cdot\dfrac{2}{11}\cdot\dfrac{1}{10}$]]=[[$\dfrac{6}{1320}$]]=[[$\dfrac{1}{220}$]]
Huom! Todennäköisyys muuttuu, jos pallo palautetaan koriin jokaisen noston jälkeen!
P(kolme punaista) = [[$\dfrac{3}{12}\cdot\dfrac{3}{12}\cdot\dfrac{3}{12}$]]=[[$\dfrac{27}{1728}$]]=[[$\dfrac{1}{64}$]]
Komplementtitapahtuma
Komplementilla tarkoitetaan tapahtuman vastakohtaa. Esimerkiksi tapahtuman "sataa vettä" komplementtitapahtuma on "ei sada vettä".
P(A) = 1 - P(Ā)
ESIMERKKI
Golffari puttaa pallon reikään 60% todennäköisyydellä. Millä todennäköisyydellä kolmesta yrityksestä ainakin yksi uppoaa?
Komplementtitapahtuma tapahtumalle "ainakin yksi uppoaa" on "kaikki kolme menevät ohi"
P(kolme ohi) = 0,4 x 0,4 x 0,4 = 0,064
P(ainakin yksi osuu) = 1 - 0,064 = 0,936 = 93,6%
Merkintä: tapahtuman A komplementtia merkitään Ā
MÄÄRITELMÄ
P(A) = 1 - P(Ā)
ESIMERKKI
Golffari puttaa pallon reikään 60% todennäköisyydellä. Millä todennäköisyydellä kolmesta yrityksestä ainakin yksi uppoaa?
Komplementtitapahtuma tapahtumalle "ainakin yksi uppoaa" on "kaikki kolme menevät ohi"
P(kolme ohi) = 0,4 x 0,4 x 0,4 = 0,064
P(ainakin yksi osuu) = 1 - 0,064 = 0,936 = 93,6%
Todennäköisyyksien yhteenlasku
Todennäköisyydet voidaan laskea yhteen, jos tapahtumat ovat toisistaan riippumattomat eli erilliset.
P(A tai B) = P(A) + P(B)
ESIMERKKI
Millä todennäköisyydellä nopanheitossa saadaan silmäluku yksi tai kaksi?
P(1 tai 2) = P(1) + P(2) = [[$\dfrac{1}{6}$]] + [[$\dfrac{1}{6}$]] = [[$\dfrac{2}{6}$]] = [[$\dfrac{1}{3}$]]
Huom! Jos tapahtumat eivät ole erilliset, niin todennäköisyyksille pätee:
P(A tai B) = P(A) + P(B) - P(A ja B)
ESIMERKKI
Millä todennäköisyydellä korttipakasta nostettu kortti on pata tai kuvakortti?
P(pata tai kuva) = P(pata) + P(kuva) - P(pata ja kuva) = [[$\dfrac{13}{52}$]] + [[$\dfrac{12}{52}$]] - [[$\dfrac{3}{52}$]] = [[$\dfrac{22}{52}$]] = [[$\dfrac{11}{26}$]]
P(A tai B) = P(A) + P(B)
ESIMERKKI
Millä todennäköisyydellä nopanheitossa saadaan silmäluku yksi tai kaksi?
P(1 tai 2) = P(1) + P(2) = [[$\dfrac{1}{6}$]] + [[$\dfrac{1}{6}$]] = [[$\dfrac{2}{6}$]] = [[$\dfrac{1}{3}$]]
Huom! Jos tapahtumat eivät ole erilliset, niin todennäköisyyksille pätee:
P(A tai B) = P(A) + P(B) - P(A ja B)
ESIMERKKI
Millä todennäköisyydellä korttipakasta nostettu kortti on pata tai kuvakortti?
P(pata tai kuva) = P(pata) + P(kuva) - P(pata ja kuva) = [[$\dfrac{13}{52}$]] + [[$\dfrac{12}{52}$]] - [[$\dfrac{3}{52}$]] = [[$\dfrac{22}{52}$]] = [[$\dfrac{11}{26}$]]