4.1. Toisen asteen yhtälö
Toisen asteen yhtälö on muotoa [[$ax^2+bx+c=0$]]
Kaikki toisen asteen yhtälöt voidaan esittää muodossa [[$ax^2+bx+c=0$]].
Seuraavaksi tutkitaan tällaisten yhtälöiden ratkaisemista.
Seuraavaksi tutkitaan tällaisten yhtälöiden ratkaisemista.
Vaillinainen toisen asteen yhtälö [[$ax^2+c=0$]]
Termi [[$bx$]] puuttuu
Jos toisen asteen polynomiyhtälöstä puuttuu ensimmäisen asteen termi, se voidaan ratkaista toisen asteen potenssiyhtälönä neliöjuuren avulla (MAA1).| Potenssiyhtälön ratkaiseminen |
|---|
| Yhtälön [[$x^n=y$]] ratkaisu on [[$\pm \sqrt[n]{y}, \text{ kun } n \text{ on parillinen.}$]] |
Esimerkki 1.
Ratkaise yhtälö [[$5x^2-20=0$]].
[[$\begin{align}5x^2-20&=0\\5x^2&=20\\x^2&=\frac{20}{5}\\x^2&=4\\x&=\pm \sqrt{4}\\x&=-2 \text{ tai } x=2 \end{align}$]]
Havaitaan, että yhtälöllä on kaksi ratkaisua, eli paraabelilla [[$f(x)=5x^2-20$]] on kaksi nollakohtaa [[$x_1=-2 $]] ja [[$ x_2=2.$]]
Vaillinainen toisen asteen yhtälö [[$ax^2+bx=0$]]
Termi [[$c$]] puuttuu
Jos toisen asteen polynomiyhtälöstä puuttuu vakiotermi, se voidaan jakaa tekijöihin, koska molemmissa termeissä on yhteisenä tekijänä ainakin [[$x$]]. Tekijämuodossa oleva yhtälö ratkaistaan tulon nollasäännön avulla.| Tulon nollasääntö |
|---|
| [[$A \cdot B=0$]] jos, ja vain jos [[$A=0$]] tai [[$B=0$]]. Siis tulo on nolla silloin, kuin jokin tulon tekijöistä on nolla. |
Esimerkki 2.
Ratkaise yhtälö [[$5x^2-x=0$]].
[[$\begin{align}5x^2-x&=0\\x(5x-1)&=0\end{align}$]]
Tulon nollasääntö:
[[$\begin{align}x=0 &\text{ tai }(5x-1)=0\\x=0 &\text{ tai }5x=1\\x=0 &\text{ tai }x=\frac{1}{5} \end{align}$]]
Havaitaan, että yhtälöllä on kaksi ratkaisua, eli paraabelilla [[$f(x)=5x^2-x$]] on kaksi nollakohtaa [[$x_1=0 $]] ja [[$x_2=\frac{1}{5}.$]]
Täydellinen toisen asteen yhtälö [[$ax^2+bx+c=0$]]
Kaikki toisen asteen polynomiyhtälöt voidaan ratkaista ratkaisukaavalla.
Yhtälön [[$ax^2+bx+c=0$]] ratkaisu on
[[$x=\dfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$]]
Toisin sanoen, jos paraabelilla [[$y = ax^2+bx+c$]] on nollakohtia, ne ovat
[[$x_1=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$]] ja [[$x_2=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$]]
| Vinkki |
|---|
| Nollakohtien lausekkeista huomataan, että ne sijaitsevat symmetrisesti pisteen [[$\frac{-b}{2a}$]] molemmin puolin. Paraabelin huippu sijaitseekin kyseisessä pisteessä. |
Esimerkki 3.
Ratkaise yhtälö [[$5x^2-8x-3=0$]].
Sijoitetaan ratkaisukaavaan [[$x=\dfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$]] arvot [[$a=5, b=-8, c=-3$]]:
[[$\begin{align}x&=\frac{-(-8)\pm\sqrt{(-8)^2-4\cdot 5\cdot(-3)}}{2\cdot 5}\\x&=\frac{8\pm\sqrt{64+60}}{10}\\x&=\frac{8\pm\sqrt{124}}{10}\\x&=\frac{8\pm2\sqrt{31}}{10}\\x&=\frac{4\pm\sqrt{31}}{5}\end{align}$]]
[[$x=\frac{4}{5}-\frac{\sqrt{31}}{5}\text{ tai }x=\frac{4}{5}+\frac{\sqrt{31}}{5}$]]
Havaitaan, että yhtälöllä on kaksi ratkaisua, eli paraabelilla [[$f(x)=5x^2-8x-3$]] on kaksi nollakohtaa [[$x_1=\frac{4}{5}-\frac{\sqrt{31}}{5} $]] ja [[$ x_2=\frac{4}{5}+\frac{\sqrt{31}}{5}.$]]
Toisen asteen yhtälön ratkaiseminen neliöksi täydentämällä
Neliöksi täydentämisessä toisen asteen yhtälö [[$ax^2+bx+c=0$]] muokataan sellaiseen muotoon, että yhtälön vasemmalla puolella on jonkin lausekkeen neliö.
Toimenpide on kaavamainen rutiini, jossa sovelletaan takaperin muistikaavoista tuttua binomin neliön kaavaa. [[$a^2 \pm 2ab +b^2 = (a \pm b)^2$]]
Neliöön täydennetyn yhtälön ratkaisut saadaan helposti, koska yhtälö palautuu kahdeksi ensimmäisen asteen yhtälöksi.
[[$\begin{align}x^2+2\cdot x \cdot \frac{b}{2a}+(\frac{b}{2a})^2&= -\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2\\(x+\frac{b}{2a})^2&=-\frac{c}{a}+\frac{b^2}{4a^2}\\(x+\frac{b}{2a})^2&=-\frac{4ac}{4a^2}+\frac{b^2}{4a^2}\\(x+\frac{b}{2a})^2&=\frac{b^2-4ac}{4a^2}\end{align}$]]
[[$x_1=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$]] ja [[$x_2=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$]]
Toimenpide on kaavamainen rutiini, jossa sovelletaan takaperin muistikaavoista tuttua binomin neliön kaavaa. [[$a^2 \pm 2ab +b^2 = (a \pm b)^2$]]
Neliöön täydennetyn yhtälön ratkaisut saadaan helposti, koska yhtälö palautuu kahdeksi ensimmäisen asteen yhtälöksi.
Neliöksi täydentäminen vaiheittain
[[$\begin{align} ax^2+bx+c&=0\\ax^2+bx&=-c\\x^2+\frac{b}{a}x&=-\frac{c}{a}\\x^2+2\cdot \frac{1}{2} \cdot x\frac{b}{a} &= -\frac{c}{a} \\x^2+2\cdot x \cdot \frac{b}{2a}&= -\frac{c}{a}\end{align}$]][[$\begin{align}x^2+2\cdot x \cdot \frac{b}{2a}+(\frac{b}{2a})^2&= -\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2\\(x+\frac{b}{2a})^2&=-\frac{c}{a}+\frac{b^2}{4a^2}\\(x+\frac{b}{2a})^2&=-\frac{4ac}{4a^2}+\frac{b^2}{4a^2}\\(x+\frac{b}{2a})^2&=\frac{b^2-4ac}{4a^2}\end{align}$]]
[[$x_1=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$]] ja [[$x_2=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$]]