Korkeamman asteen polynomiyhtälöiksi kutsutaan sellaisia polynomiyhtälöitä, joiden asteluku on vähintään kolme. Kolmannen ja neljännen asteen polynomiyhtälöille on olemassa ratkaisukaavat, mutta ne ovat niin mutkikkaita, että yleensä pyritään löytämään ratkaisu muilla keinoin.

CAS laskin osaa ratkaista vain korkeintaan kolmatta astetta olevan yleisen polynomiyhtälön, jossa termien kertoimista ei tiedetä mitään.

Kuten huomataan, mielivaltaisen potenssiyhtälön, jonka kertoimista ei tiedetä mitään, ratkaisukaava saadaan laskimella korkeintaan kolmatta astetta oleville yhtälöille. Käytännössä yhtälön termien kertoimet tunnetaan, ja yhtälö ratkeaa useissa tapauksissa algebrallisesti muokkaamalla yhtälöä, jakamalla sitä osiin tai sijoittamalla uusi muuttuja, joka on alkperäisen muuttujan lauseke. Laskimet ratkaisevat korkeamman asteen yhtälöitä numeerisilla menetelmillä, joita käsitellään MAA12 -kurssilla.

Ratkaisu tekijöihin jakamalla

Jos tehtävänä on ratkaista korkeamman asteen polynomiyhtälö [[$a_n x^n+...+a_1x+a_0=0$]], ratkaisut voidaan joissain tapauksissa selvittää, kun jaetaan polynomi alemman asteluvun tekijöihin. Tulon nollasäännön perusteella yhtälö on nolla, jos jokin tekijöistä on nolla. Toisin sanoen alkuperäisen yhtälön ratkaisut löytyvät tekijöiden nollakohdista.

Parittoman asteluvun polynomeilla on aina vähintään yksi reaalinen nollakohta [[$x_1$]], joten niillä on olemassa tekijä [[$(x-x_1)$]]. Parillisilla polynomifunktioilla ei välttämättä ole nollakohtia lainkaan, eli niitä ei voi sellaisessa tapauksessa jakaa alemman asteluvun tekijöihin, mutta tällöin alkuperäisellä yhtälölläkään ei ole ratkaisua.

Tekijöiden selvittäminen

Polynomin tekijä voidaan selvittää esimerkiksi seuraavilla tavoilla:

1. Erotetaan kaikille termeille yhteinen tekijä.
2. Jos tunnetaan nollakohta [[$x_1$]], niin eräs tekijä on [[$(x-x_1).$]] Toinen tekijä selvitetään laskemalla, kun tiedetään että tekijöiden tulo on alkuperäinen polynomi. (Toinen tulon tekijä saadaan myös jakamalla alkuperäinen polynomi kyseisellä tekijällä. Polynomien jakolasku on mahdollista suorittaa esimerkiksi jakokulmassa.)
3. Jos polynomin kaikki muuttujatermit ovat parillista astetta, niin asteluku voidaan puolittaa sijoitusmenetelmällä [[$y=x^2$]]. Uusi polynomi voi ratketa suoraan tai siihen voidaan yrittää soveltaa tekijöihin jakamismenetelmiä. Saatu ratkaisu sijoitetaan takaisin kaavalla [[$x=\pm \sqrt{y}$]].

​

Esimerkki tapauksesta 1.
Ratkaise yhtälö [[$3x^3-6x^2+x=0.$]]
Ratkaisu: Erottamalla yhteinen tekijä [[$x$]] saadaan yhtälö muotoon: [[$ x(3x^2-6x+1)=0$]] Tulon nollasäännön mukaan yhtälö on tosi, jos jompi kumpi tekijöistä on nolla, siis [[$x=0$]] tai [[$3x^2-6x+1=0$]]. Jälkimmäinen ratkeaa ratkaisukaavalla ja alkuperäisen yhtälön ratkaisuiksi saadaan:
[[$x=0 \quad \text{ tai }\quad x=1-\frac{\sqrt{6}}{3}\quad \text{ tai }\quad x=1+\frac{\sqrt{6}}{3}.$]]

​

​

Esimerkki tapauksesta 2.
Ratkaise yhtälö [[$-x^3+7x^2-9x-9=0,$]] kun tiedetään, että [[$x=3$]] on yksi ratkaisu.
Ratkaisu: Koska [[$x=3$]] on yksi ratkaisu, niin [[$(x-3)$]] on polynomin [[$-x^3+7x^2-9x-9$]] tekijä. Selvitetään toinen tekijä yhtälöllä: [[$\begin{align}-x^3+7x^2-9x-9&=(x-3)(ax^2+bx+c)\\-x^3+7x^2-9x-9&=\underbrace{a}_{-1}x^3+\underbrace{(b-3a)}_{7}x^2+\underbrace{(c-3b)}_{-9}x\underbrace{-3c}_{-9} \end{align}$]] Jotta yhtälö olisi tosi, on termien kertoimien oltava samat: [[$a=-1, \quad b-3a=7, \quad c-3b=-9 \quad \text{ ja } -3c=-9$]] Josta saadaan: [[$a=-1, b=4,\text{ ja } c=3$]] Kertoimien perusteella toinen tekijä on [[$-x^2+4x+3$]] ja alkuperäinen yhtälö voidaan kirjoittaa muotoon: [[$(x-3)(-x^2+4x+3)=0,$]] Tulon nollasäännön mukaan yhtälö on tosi, jos jompi kumpi tekijöistä on nolla. Jälkimmäisen tekijän nollakohdiksi saadaan ratkaisukaavalla [[$2\pm \sqrt{7}$]]. Eli yhtälön ratkaisu on:
[[$x=3 \quad \text{ tai }\quad x=2-\sqrt{7}\quad \text{ tai }\quad x=2+\sqrt{7}.$]]

​