1. Polynomi

Mikä on polynomi?

Polynomin määritelmä

Polynomiksi kutsutaan summalauseketta, jonka termien muuttujaosissa esiintyvät potenssit ovat kaikki ei-negatiivisia kokonaislukuja, eli lukuja [[$ \{0,1,2,...n\}$]]. Käytäntönä on, että korkeimman potenssin omaava termi kirjoitetaan ensimmäiseksi ja loput termit alenevassa potenssijärjestyksessä.

[[$a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_2 x^2 + a_1 x + a_0$]]

Esimerkki 1.

------------ Lauseke -----------	polynomi?	selitys
[[${3x^3+4x+2}$]]	kyllä	3. asteen trinomi
[[$-x^{100}$]]	kyllä	100. asteen monomi
[[$x^2+5$]]	kyllä	2. asteen binomi
[[$-9$]]	kyllä	vakiotermi
[[$x^7-4x^4-99x^3+5x$]]	kyllä	7. asteen polynomi
[[$\frac{2}{x}+1$]]	ei	muuttuja on nimittäjässä, joten sen asteluku on -1
[[$\sqrt{x}$]]	ei	muuttujan potenssi on [[$\frac{1}{2}$]]
[[$axy^3+5ax+2a^2x^2y$]]	kyllä	summalauseke, jossa kokonaislukupotensseja

Polynomeihin liittyyvää sanastoa

Vakiotermi on se termi, jonka muuttujaosan potenssi on nolla. Koska [[$x^0=1$]], vakiotermin
lukuarvo ei riipu muuttujan arvosta. Esimerkiksi polynomin [[$x^2+4x+7$]] vakiotermi on [[$7$]].
Monomi tarkoittaa samaa kuin termi, eli lyhyin mahdollinen polynomi. Sisältää yhden kertoimen ja muuttujaosan, jonka potenssi on ei-negatiivinen kokonaisluku. Esimerkiksi [[$3x^7, 5x $]] ja [[$ -9$]] ovat monomeja.
Binomi tarkoittaa polynomia, jossa on kaksi termiä.
Trinomi tarkoittaa polynomia, jossa on kolme termiä.
Polynomin aste on suurin potenssi, joka polynomissa esiintyy. Esimerkiksi [[$-7x-2$]] on 1. asteen polynomi ja [[$2x^5-3x^2+7x-4$]] on 5. asteen polynomi.
Polynomin nollakohtia ovat ne muuttujan arvot, joilla polynomin arvo on nolla.

Esimerkki 2.

Trinomi [[$3x^4+2x+3$]] on 4. asteen polynomi.
Kaikki reaaliluvut ovat nollannen asteen monomeja.
Viidennen asteen polynomilla voi olla sievennetyssä muodossa korkeintaan kuusi termiä.

Polynomien nimeäminen

Kun polynomilausekkeelle annetaan nimi, sitä merkitään kirjaimella ja sulkeissa olevalla muuttujan symbolilla. Esimerkiksi lauseke [[$3x^2-2x+3$]] voitaisiin nimetä vaikkapa polynomiksi [[$P$]] seuraavasti:

[[$P(x)=3x^2-2x+3$]]

Merkintä [[$P(a)$]] tarkoittaa polynomin [[$P$]] arvoa, kun [[$x=a$]].

Esimerkki 3.
Olkoon polynomit [[$P(x)=3x^2+x$]] ja [[$Q(x)=2x+5$]].
Laske [[$P(3)+Q(-2)$]].

Ratkaisu:

[[$P(3)+Q(-2)=\underbrace{3\cdot 3^2+3}_{P(3)}+\underbrace{2\cdot(-2)+5}_{Q(-2)}=3\cdot9+3-4+5=31$]]

Vihje
Voit määritellä polynomin funktioksi symboliseen laskimeen ja viitata siihen antamallasi nimellä.

TI Nspire: