1.1. Polynomien laskutoimitukset
Polynomien yhteen- ja vähennyslasku
Polynomien summa ja erotus
Koska polynomi on termeistä muodostettu summalauseke, kahden polynomin yhteenlaskussa muodostetaan summalauseke, jossa on molempien polynomien termit peräkkäin etumerkkeineen. Tämä lauseke on kahden polynomin summa, ja se sievennetään yhdistämällä samanmuotoiset termit. Samanmuotoisia termejä ovat ne termit, joilla on sama aste.Kahden polynomin erotus saadaan lisäämällä ensimmäiseen polynomiin jälkimmäisen polynomin vastapolynomi. Vastapolynomi muodostetaan vaihtamalla jokaisen termin etumerkki. Vähennyslaskun määrittely vastaluvun lisäämisenä on tuttu lukujen laskutoimitusten yhteydestä [[$a-b = a+(-b)$]].
Esimerkki1.
Olkoon polynomit [[$P(x)=3x^2+x$]] ja [[$Q(x)=2x+5$]].
Laske summa [[$P(x)+Q(x)$]]
ja erotus [[$P(x)-Q(x)$]]
Ratkaisu:
[[$P(x)+Q(x)={\underbrace{3x^2+x}_{P(x)}\underbrace{+2x+5}_{Q(x)}}={3x^2+3x+5}$]]
[[$P(x)-Q(x)=P(x)+(-Q(x))={\underbrace{3x^2+x}_{P(x)}\underbrace{-2x-5}_{-Q(x)}}={3x^2-x-5}$]]
Esimerkki 2.
[[$5\cdot(4x^3+2x^2-5x+2)=20x^3+10x^2-25x+10$]]
Muistutettakoon tässä yhteydessä, että jakolasku suoritetaan kertomalla polynomi jakajan käänteisluvulla. Siis, jos polynomi halutaan jakaa luvulla [[$a$]], se kerrotaan luvulla [[$\frac{1}{a}$]].
Esimerkki 3.
[[$\dfrac{4x^3+2x^2-20x+8}{4}={\frac{1}{4}\cdot(4x^3+2x^2-20x+8)}=x^3+\frac{1}{2}x^2-5x+2$]]
ja erotus [[$P(x)-Q(x)$]]
Ratkaisu:
[[$P(x)+Q(x)={\underbrace{3x^2+x}_{P(x)}\underbrace{+2x+5}_{Q(x)}}={3x^2+3x+5}$]]
[[$P(x)-Q(x)=P(x)+(-Q(x))={\underbrace{3x^2+x}_{P(x)}\underbrace{-2x-5}_{-Q(x)}}={3x^2-x-5}$]]
Esimerkki 2.
[[$5\cdot(4x^3+2x^2-5x+2)=20x^3+10x^2-25x+10$]]
Muistutettakoon tässä yhteydessä, että jakolasku suoritetaan kertomalla polynomi jakajan käänteisluvulla. Siis, jos polynomi halutaan jakaa luvulla [[$a$]], se kerrotaan luvulla [[$\frac{1}{a}$]].
Esimerkki 3.
[[$\dfrac{4x^3+2x^2-20x+8}{4}={\frac{1}{4}\cdot(4x^3+2x^2-20x+8)}=x^3+\frac{1}{2}x^2-5x+2$]]
Polynomien kertolasku
Polynomin kertominen vakiolla
Polynomi kerrotaan vakiolla niin, että jokainen polynomin termi kerrotaan erikseen.
Tämä on suora seuraus kertolaskun osittelulaista.
[[$3 \cdot \left( 2+5 \right) = 3 \cdot 2 + 3 \cdot 5 $]]
Polynomin kertominen polynomilla
Polynomit kerrotaan keskenään kertomalla toisen polynomin jokaisella termillä toisen polynomin jokainen termi, minkä jälkeen sievennetään saatu lauseke yhdistämällä samanmuotoiset termit. Samanmuotoisia termejä ovat ne termit, joilla on sama aste.Esimerkki 4.
[[$(x+2)\cdot(4x^3+2x^2-5x+2)$]]
[[$=x\cdot 4x^3+x\cdot2x^2-x\cdot5x+x\cdot2+2\cdot4x^3+{2\cdot2x^2-2\cdot5x+2\cdot2}$]]
[[$=4x^4+10x^3-x^2-8x+4$]]
Kerrottaessa polynomi toisella polynomilla saadaan tulokseksi polynomi, jonka aste on alkuperäisten polynomien astelukujen summa. Edellisen esimerkin ratkaisuna saatiin 4. asteen polynomi, kun kerrottiin keskenään 1. ja 3. astetta olevat polynomit.
Muistikaavat
Binomin neliölle ja kahden saman termin summan ja erotuksen tulolle voidaan käyttää muistikaavoja, joita soveltamalla säästyy aikaa ja vältetään laskuvirheitä. Binomi on kaksiterminen polynomi.
Esimerkki 5.
a) [[$(x+3)(x+3) = (x+3)^2 = x^2+6x+9$]]
b) [[$(4x-3)(4x-3) = (4x-3)^2 {= (4x)^2-2\cdot4x\cdot3+(3)^2}={16x^2-24x+9}$]]
c) [[$(x^5+3x)(x^5-3x) {= (x^5)^2-(3x)^2} {= x^{10}-9x^2}$]]