3.1 Eksponentiaalinen muutos

315

a)
$f\left(x\right)=500\cdot1{,}02^x$
$g\left(x\right)=500+12x$
b)
12 euron palkkio on parempi vaihtoehto 18 vuoteen asti, sen jälkeen korko on tuottavampi vaihtoehto
pääoma on kaksinkertaistunut 35 (korko) tai 42 (palkkio) vuoden jälkeen
pääoma on nelinkertaistunut 70 (korko) tai 125 (palkkio) vuoden jälkeen

311

a)

$f\left(x\right)=100\cdot2^x$

b)

$f\left(x\right)=100\cdot1{,}15^x$

c)

$f\left(x\right)=100\cdot0{,}8^x$

313

a)
$a_1=\frac{60}{2}=30$

$a_n=15\cdot2^n$

b)

$480=15\cdot2^n$
$n=5$

312

a)
$2^x=8$
$x=3$
b)
$5^x=1$
$x=0$
c)
$3^x=\frac{1}{9}$
$x=-2$
d)
$7x=\sqrt{7}$
$x^{\frac{1}{2}}$
e)
$7\cdot4^{5x}=28$
$x=0$
f)
$5^{2x-7}=125$
$x=5$

307

a) 145
b) 35
c) 25

308

a)
$f\left(x\right)=2{,}1\cdot1{,}06^x$
$f\left(0\right)=2{,}1\cdot1{,}06^0=2{,}1$

$f\left(7\right)=2{,}1\cdot1{,}06^7=3{,}1756...\approx3{,}2$

massa kasvaa 6% vuorokaudessa

b)

$f\left(x\right)=2{,}6\cdot0{,}96^x$
$f\left(0\right)=2{,}6\cdot0{,}96^0=2{,}6$
$f\left(7\right)=2{,}6\cdot0{,}96^7=1{,}9537...\approx2{,}0g$

massa vähenee 4% vuorokaudessa

304

a) B14
b) A34
c) C
d) D24

302

a)
kasvava, sillä kantaluku on suurempi kuin 1
b)
$2^x=8$
$2^x=2^3$
$x=3$
c)
$f\left(x\right)<8$

$f\left(3\right)=8$

funktio on kasvava, joten

$f\left(x\right)<8{,}\ kun\ x<3$

301

a)
$450\cdot3^2=4050$
b)
$f\left(x\right)=450\cdot3^x$
$f\left(1{,}5\right)=450\cdot3^{1{,}5}=2338{,}268...\approx2338\$

310

a)
$f\left(x\right)=0{,}834^x\cdot m$
b)
$f\left(10\right)=0{,}834^{10}\cdot m=0{,}162802...\approx0{,}163$
$1-0{,}1628...\approx83{,}7\%$

sös

$f\left(x\right)=\left(\frac{1}{4}\right)^x$

millä muuttujan arvolla funktio saa arvon 16? entä arvon -1?

ratkaise $f\left(x\right)\le1$

ratkaisu

$f\left(x\right)=16$
$\left(\frac{1}{4}\right)^x=16$
$\left(4^{-1}\right)^x=4^2$
$x=-2$

$f\left(x\right)=-1$
$\left(\frac{1}{4}\right)^x=-1$

yhtälöllä ei ole ratkaisua, sillä eksponenttifunktion arvojoukko on ]0,∞], eli funktio ei saa negatiivisia arvoja millään muuttujan arvolla x

$f\left(x\right)\le1$

yhtäsuuruus on voimassa kun

$x=0$ , koska nyt eksponenttifunktion kantaluku on

$\frac{1}{4}<1$ , funktio on vähenevä, eli epäyhtälön ratkaisu on $x\le0$