5. HAARAUTUVAT VIRTAPIIRIT (511–520)
511. Rinnankytkennän kokonaisresistanssi
Määritä vastussysteemin kokonaisresistanssi, kun [[$ R = 25 \ Ω $]].
Ratkaisu
Vastukset on kytketty rinnan
[[$ R_{\text{KOK}}=(\dfrac{1}{R}+\dfrac{1}{2R}+\dfrac{1}{3R})^{-1} $]]
[[$ R=20 \textrm{ }\Omega $]]
Kokonaisresistanssiksi saadaan
[[$ R_{\text{KOK}}= 10,909\dots \textrm{ }\Omega \approx 11 \textrm{ }\Omega $]]
512. Vastussysteemin kokonaisresistanssi
Määritä vastussysteemin kokonaisresistanssi, kun [[$ R = 220 \ Ω $]].
Ratkaisu
Vastukset [[$ R $]] ja [[$ 3 R $]] on kytketty rinnan. Vastusten yhteinen resistanssi on
[[$ R_{R, 3R}=(\dfrac{1}{R}+\dfrac{1}{3R})^{-1} $]]
[[$ R=220 \textrm{ }\Omega $]]
Vastusten [[$ R $]] ja [[$ 3 R $]] yhteiseksi resistanssiksi saadaan
[[$ R_{R,3R}=165 \textrm{ }\Omega $]]
Vastus [[$ 2 R $]] on kytketty sarjaan vastusten [[$ R $]] ja [[$ 3 R $]] kanssa. Kokonaisresistanssi on
[[$ R_{\text{kok}}=2R+R_{R, 3R} $]]
[[$ R=220 \textrm{ }\Omega $]]
Kokonaisresistanssiksi saadaan
[[$ R_{\text{kok}}=605 \textrm{ }\Omega $]]
514. Sähkövirta rinnan- ja sarjaankytkennöissä
Kahden vastuksen resistanssit ovat 22 Ω ja 33 Ω. Jännitelähteen lähdejännite on 24 V ja sisäinen resistanssi hyvin pieni. Määritä piirissä syntyvä kokonaissähkövirta, kun vastukset kytketään
- sarjaan
- rinnan.
Ratkaisu
a. Merkitään vastuksien resistansseja [[$R_1=22 \ \Omega$]] ja [[$R_2=33 \ \Omega$]]. Kytkettäessä vastukset sarjaan saadaan Kirchhoffin II lain mukaan [[$U-R_1I-R_2I=0$]]. Tästä voidaan ratkaista sähkövirta:
[[$I=\dfrac{U}{R_1+R_2}=\dfrac{24\text{ V}}{22 \ \Omega+33 \ \Omega}=0,436\dots\text{A}\approx 0,44\text{ A}$]].
b. Rinnankytkennässä kummankin vastuksen napajännite on sama kuin pariston napajännite. Ohmin lain avulla voidaan laskea kummankin vastuksen läpi kulkeva virta erikseen:
[[$I_1=\dfrac{U}{R_1}$]]
[[$I_2=\dfrac{U}{R_2}$]]
Kokonaissähkövirta on Kirchhoffin I lain mukaan näiden kahden summa:
[[$I=I_1+I_2=\dfrac{U}{R_1}+\dfrac{U}{R_2}=\dfrac{24\text{ V}}{22 \ \Omega}+\dfrac{24\text{ V}}{33 \ \Omega}=1,81\dots\text{A}\approx 1,8\text{ A}$]]
515. Vastusten rinnankytkentä
Määritä virtapiirissä kulkevien sähkövirtojen suuruudet, kun pariston napajännite on [[$ U = 12 \text { V} $]] , ja vastusten suuruudet ovat [[$ R_1 = 10 \ Ω $]] , [[$ R_2 = 22 \ Ω $]] ja [[$ R_3 = 31 \ Ω $]].
Ratkaisu
Kirchhoffin I lain mukainen yhtälö
[[$ I=I_1+I_2+I_3 $]]
Kirchhoffin II lain mukaiset yhtälöt
[[$ U-I_1R_1=0\\ \, \\
U-I_2R_2=0\\ \, \\
U-I_3R_3=0 $]]
Ratkaistaan yhtälöryhmä
[[$ \begin{equation}
\begin{cases}
I=I_1+I_2+I_3\\
12 \textrm{ V} - 10 \textrm{ }\Omega\cdot I_1=0\\
12 \textrm{ V} - 22 \textrm{ }\Omega\cdot I_2=0\\
12 \textrm{ V} - 31 \textrm{ }\Omega\cdot I_3=0
\end{cases}
\end{equation} $]]
Ratkaisuksi saadaan
[[$ \begin{equation} \begin{cases} I= \textrm{2,1325}\dots \textrm{ A}\approx \textrm{2,1 A}\\ I_1= \textrm{1,2 A}\\ I_2= \textrm{0,54545}\dots \textrm{ A}\approx \textrm{0,55 A}\\ I_3= \textrm{0,38709}\dots \textrm{ A}\approx \textrm{0,39 A} \end{cases} \end{equation} $]]
516. Sähkövirtojen määritys
Määritä virtapiirissä kulkevien sähkövirtojen suuruudet, kun pariston napajännite on [[$ U = 12 \ V $]], ja vastusten suuruudet ovat [[$ R_1 = 10 \ Ω$]], [[$ R_2 = 22 \ Ω $]] ja [[$ R_3 = 31 \ Ω $]].
Ratkaisu
Kirchhoffin I lain mukainen yhtälö
[[$ I=I_1+I_2 $]]
Kirchhoffin II lain mukaiset yhtälöt
[[$ U-I_1R_1=0\\
U-I_2R_2-I_2R_3=0 $]]
Ratkaistaan yhtälöryhmä
[[$ \begin{equation}
\begin{cases}
I=I_1+I_2\\
12 \textrm{ V} - 10 \textrm{ }\Omega\cdot I_1=0\\
12 \textrm{ V} - 22 \textrm{ } \Omega\cdot I_2 -31 \textrm{ }\Omega \cdot I_2=0
\end{cases}
\end{equation} $]]
Ratkaisuksi saadaan
[[$ \begin{equation} \begin{cases} I= \textrm{1,4264}\dots \textrm{ A}\approx \textrm{1,4 A}\\ I_1=\textrm{1,2 A}\\ I_2= \textrm{0,22641} \dots \textrm{ A}\approx \textrm{0,23 A} \end{cases} \end{equation} $]]
517. Pariston tuottama teho
Kun kytkin on alhaalla virtamittarin lukema on 0,5 A ja jännitemittarin 6,0 V. Pariston sisäinen resistanssi on hyvin pieni.
- Kuinka suuri on pariston tehontuotto, kun kytkin on suljettu?
- Kuinka suuri on pariston tehontuotto, kun kytkin avataan?
Ratkaisu
Koska pariston sisäinen resistanssi on hyvin pieni, on pariston napajännite yhtä suuri kuin pariston lähdejännite. Koska vastukset ovat yhtä suuret, kulkee molempien vastusten läpi yhtä suuri sähkövirta. Vastuksen läpikulkevan sähkövirran suuruus on 0,25 A.
a. Vastukset on rinnan kytketty paristoon. Pariston napajännite on yhtä suuri kuin jännitemittarin lukema.
Sähköteho
[[$ P=EI=UI\\ \,\\P=6,0 \textrm{ V}\cdot 0,5 \textrm{ A}=3,0 \textrm{ W} $]]
b. Kytkin nostetaan ylös. Paristoa kuormittaa ainoastaan yksi vastus. Pariston tehontuotto on yhtä suuri kuin vastuksen tehonkulutus.
Sähköteho
[[$ P=EI=UI\\ \,\\ P=6,0 \textrm{ V}\cdot 0,25 \textrm{ A} = 1,5 \textrm{ W} $]]
518. Sähkövirrat kahden pariston kytkennässä
Määritä virtapiirissä kulkevien sähkövirtojen suuruudet, kun paristojen napajännitteet ovat [[$ U_1 = 5,5 \text { V} $]] ja [[$ U_2 = 4,5 \text { V} $]], sekä vastusten resistanssit ovat [[$ R_1 = 18 \ Ω$]] ja [[$ R_2 = 14 \ Ω $]].
Ratkaisu
Kirchhoffin I lain mukainen yhtälö
[[$ I_1+I_2=I_3 $]]
Kirchhoffin II lain mukaiset yhtälöt
[[$ U_1-I_1R_1=0\\
U_2-I_2R_2=0 $]]
Ratkaistaan yhtälöryhmä
[[$ \begin{equation}
\begin{cases}
I_1+I_2=I_3\\
\textrm{5,5 V}-18\textrm{ } \Omega \cdot I_1=0\\
\textrm{4,5 V}-14\textrm{ } \Omega \cdot I_2=0
\end{cases}
\end{equation} $]]
Ratkaisuksi saadaan
[[$ \begin{equation} \begin{cases} I_1= \textrm{0,30555} \dots \textrm{ A} \approx 310 \textrm{ mA}\\ I_2= \textrm{0,32142} \dots \textrm{ A} \approx 320 \textrm{ mA}\\ I_3= \textrm{0,62698} \dots\textrm{ A} \approx 630 \textrm{ mA} \end{cases} \end{equation} $]]
519. Akun lataus
Akkua ladataan. Laturin lähdejännite on 5,2 V. Lataus tehdään läpi vastuksen, jonka resistanssi on 220 Ω. Laturin ja akun sisäiset resistanssit ovat merkityksettömän pienet. Ohessa on kytkentäkaavio latauksesta.
- Kuinka suuri on latausvirta, kun akku on täysin tyhjä?
- Kuinka suuri on latausvirta, kun akun napajännite on kasvanut arvoon 2,5 V?
Ratkaisu
a. Kirchhoffin II lain mukainen yhtälö
[[$ \begin{align}
E_{\text{laturi}}-IR-U_{\text{akku}}&=0\\ \, \\
E_{\text{laturi}}-IR&=0\\ \, \\
E_{\text{laturi}}&=IR \\ \, \\
I&=\dfrac{E_{\text{laturi}}}{R}\\ \, \\
I&=\dfrac{5,2 \textrm{ V}}{220 \textrm{ }\Omega}= 0,023636\dots \textrm{ A}\approx 24 \textrm{ mA}
\end{align} $]]
b. Kirchhoffin II lain mukainen yhtälö
[[$ \begin{align}
E_{\text{laturi}}-U_{\text{akku}}-IR&=0\\ \, \\
E_{\text{laturi}}-U_{\text{akku}}&=IR\\ \, \\
I&=\dfrac{E_{\text{laturi}}-U_{\text{akku}}}{R}\\ \, \\
I&=\dfrac{5,2 \textrm{ V} - 2,5 \textrm{ V}}{220 \textrm{ }\Omega}= 0,012272\dots \textrm{ A}\approx 12 \textrm{ mA}
\end{align} $]]
520. Akun teho ja jännite (YO-koe S2009)
Akun lähdejännite on 13,14 V ja siitä otetaan 2,60 A:n sähkövirta.
- Kuinka suuri on akun tuottama teho?
- Kuinka suuri on ulkoisessa vastuksessa kuluva teho ja akkua lämmittävä teho, kun 2,60 A:n virralla akun napajännite on 11,97 V?
- Kuinka suuri on akun napajännite, kun akkua ladataan 1,50 A:n virralla?
(Ylioppilaskoe, syksy 2009)
Ratkaisu
a. Sähköteho
[[$ P=EI\\ \,\\
P=13,14 \textrm{ V}\cdot 2,60 \textrm{ A}=34,164 \textrm{ W}\approx 34,2 \textrm{ W} $]]
b.
Kirchhoffin II lain mukainen yhtälö
[[$ E_\text{akku}-IR_s-IR=0 $]]
Akun napajännite
[[$ U=E_\text{akku}-IR_s $]]
Ulkoisen vastuksen tehon kulutus
[[$ P_\text{vastus}=RI^2 $]]
Akun tehon kulutus aiheutuu sisäisestä resistanssista
[[$ P_\text{sisres}=R_sI^2 $]]
Ratkaistaan yhtälöryhmä
[[$ \begin{equation}
\begin{cases}
13,14 \textrm{ V} - 2,60 \textrm{ A}\cdot R_s-2,60 { A}\cdot R=0\\
11,97 \textrm{ V}=13,14 \textrm{ V}-2,60 \textrm{ A}\cdot R_s\\
P_\text{vastus}=R \cdot (2,60 \textrm{ A})^2\\
P_\text{sisres}=R_s \cdot (2,60 \textrm{ A})^2
\end{cases}
\end{equation} $]]
Saadaan tulokseksi
[[$ \begin{equation}
\begin{cases}
R_s=0,45 \textrm{ }\Omega\\
R\approx 4,6039 \textrm{ }\Omega\approx 4,6 \textrm{ }\Omega
P_\text{vastus}= 31,122 \textrm{ W}\approx 31,2 \textrm{ W}\\
P_\text{sisres}=3,042 \textrm{ W}\approx 3,04 \textrm{ W}
\end{cases}
\end{equation} $]]
tai
Vastuksen teho
[[$ P_\text{vastus}=UI\\ \, \\
P_\text{vastus}=11,97 \textrm{ V}\cdot 2,60 \textrm{ A}=31,122 \textrm{ W}\approx 31,1 \textrm{ W} $]]
Akun tehon kulutus
[[$ P_\text{akku}-P_\text{sisres}-P_\text{vastus}=0\\ \, \\
P_\text{akku}-P_\text{vastus}=P_\text{sisres}\\\, \\
P_\text{sisres}=34,164 \textrm{ W}-31,122 \textrm{ W}=3,042 \textrm{ W}\approx 3,04 \textrm{ W} $]]
c.
Akkua ladataan.
[[$ U=E_\text{akku}+IR_s\\ \, \\
U=13,14 \textrm{ V}+1,50 \textrm{ A}\cdot 0,45 \textrm{ }\Omega=13.815 \textrm{ V}\approx 13,8 \textrm{ V} $]]
tai
Akun napajännite akkua käytettäessä 2,60 A virralla
[[$ U_\text{akku}=E_\text{akku}-IR_s $]]
Akun napajännite ladattaessa 1,50 A virralla
[[$ U=E_\text{akku}+IR_s $]]
Ratkaistaan yhtälöryhmä
[[$ \begin{equation}
\begin{cases}
11,97 \textrm{ V}=13,14 \textrm{ V}-2,60 \textrm{ A}\cdot R_s\\
U=13,14 \textrm{ V}+1,50\textrm{ A}\cdot R_s
\end{cases}
\end{equation} $]]
Saadaan ratkaisuksi
[[$ \begin{equation} \begin{cases} R_s=0,45 \textrm{ }\Omega\\ U=13.815 \textrm{ V}\approx 13,8 \textrm{ V} \end{cases} \end{equation} $]]