2. SÄHKÖINEN VUOROVAIKUTUS (251–264)

252. Sähköisen ja gravitaatiovuorovaikutuksen vertailua

Maan ja Kuun välisen gravitaatiovoiman suuruus on noin 2,0 [[$ \cdot$]] 10²⁰ N. Kuinka suuria niiden sähkövarausten tulisi olla, jotta niiden välinen sähköinen puoleensavetävä voima olisi gravitaation suuruinen? Oletetaan, että Maan ja Kuun varaukset olisivat itseisarvoltaan yhtä suuret.

Ratkaisu

Maapallon ja Kuun välinen keskietäisyys on noin 384 400 km. Sovelletaan Coulombin lakia, josta ratkaistaan varauksen Q suuruus.

[[$ \begin{align*} F&=k\cdot \dfrac{Q\cdot Q}{r^2} \quad &&||\cdot r^2 \ :k \\ \, \\ Q^2&=\dfrac{Fr^2}{k} &&||\sqrt{} \\\, \\ Q&=\pm \sqrt{\dfrac{Fr^2}{k}} \\\, \\ Q&=\pm \sqrt{\dfrac{2{,}0 \cdot 10^{20} \text{ N} \cdot (384 \ 400 \ 000 \text{ m})^2}{8{,}98755\cdot 10^9\frac{\text{Nm}^2}{\text{C}^2}}}\\\, \\ Q&=\pm 5{,}73426\ldots \cdot 10^{13} \text{ C}\approx 5{,}7\cdot 10^{13} \text{ C} \end{align*} $]]

254. Pallojen sähkövaraukset

Kahdessa pallossa on yhtä suuri varaus. Pallojen välinen etäisyys oli 8,0 cm ja molempien massa 3,0 g. Pallot roikkuivat langasta, joka muodosti 11° kulman pystysuunnan kanssa. Kuinka suuri on pallon varaus? Voidaanko varauksen merkki päätellä tehtävänannon perustella?

Ratkaisu

Tarkastellaan kahden varatun pallon sähkövarausta, kun roikkuvat langassa yhteisestä kiinnityspisteestä. Pallot ovat varautuneet samansuuruisesti. Pallojen keskipisteiden välimatka on [[$r$]] ja lankojen pituudet ovat [[$\ell$]]. Määritetään pallojen sähkövarausten suuruudet hyödyntämällä pallon massaa.

Palloihin vaikuttaa yhtä suuri ja vastakkaissuuntainen sähköinen voima [[$F$]]. Palloon vaikuttavat myös paino [[$G$]] ja langan tukivoima [[$T$]]. Pallot pysyvät paikallaan. Voimat summautuvat siten, että palloon vaikuttava kokonaisvoima on nolla. Piirretään pallon voimakuvio.

Voimakuvion perusteella havaitaan, että langan tukivoiman, sähköisen voiman ja painon vektorisumma on nolla. Tällöin muodostuu suorakulmainen kolmio, jossa kateetteina ovat sähköinen voima ja paino ja hypotenuusana langan tukivoima.

[[$\quad \bar{T}+\bar{F}+\bar{G}=\bar{0}$]]

Langan tukivoiman ja painon välinen kulma on yhtä suuri kuin langan ja pystysuunnan välinen kulma [[$\alpha$]]. Yhtälöstä voidaan ratkaistan kulman suuruus.

[[$\quad \sin \alpha =\dfrac{\frac{1}{2}r}{\ell}$]]

Koska langan tukivoimaa ei tarvitse ratkaista ja se on tuntematon suure, kannattaa kirjoittaa yhtälö, jossa ovat mukana sähköinen voima ja paino.

[[$\quad \tan \alpha = \dfrac{F}{G}$]]

[[$\quad F=\tan \alpha \cdot G$]]

Ratkaistaan pallon varaus käyttämällä sähköisen voiman ja painon määritelmiä, kun pallojen varaukset ovat yhtä suuret.

[[$\quad F=k\dfrac{Q_1Q_2}{r^2}=k\dfrac{Q\cdot Q}{r^2}=k\dfrac{Q^2}{r^2}$]]

[[$\quad G=mg$]]

Ratkaistaan lauseke varaukselle.

[[$\quad k\dfrac{Q^2}{r^2}=\tan \alpha \cdot mg$]]

[[$\quad Q=\sqrt{\dfrac{\tan \alpha \cdot mg\cdot r^2}{k}}$]]

Kun pallon massa ja pallojen välinen etäisyys on tunnettu, voidaan pallon varauksen suuruus laskea.

257. Johdelevyn pintavaraustiheys

Laajan varatun johdelevyn läheisyydessä sähkökenttä on homogeeninen. Sen voimakkuus riippuu levyn pintavaraustiheydestä [[$\sigma$]] ja tyhjiön permittiivisyydestä seuraavasti.

[[$\quad E=\dfrac{\sigma}{\varepsilon_0}$]]

Tyhjiön permittiivisyys eli sähkövakio on likimäärin [[$8{,}854 \cdot 10^{-12} \frac{\text{C}^2}{\text{Nm}^2}$]]. Pintavaraustiheys ilmaisee sähkövarauksen määrän pinta-alayksikköä kohden. Sen yksikkö on [[$\text{C/m}^2$]].

Lähellä levyä roikkuu eristelangassa sähköisesti varattu pallo. Langan ja tason välinen kulma on kuvan mukaisesti 23° . Pallon sähkövaraus 135 [[$\mu \text{C}$]] ja massa 5,7 g. Määritä levyn pintavaraustiheys.

Ratkaisu

258. Ukkospilven varausjakauma

Laajan varatun johdelevyn läheisyydessä sähkökenttä on homogeeninen ja sen voimakkuus riippuu levyn pintavaraustiheydestä [[$\sigma$]] ja tyhjiön permittiivisyydestä seuraavasti:

[[$\quad E=\dfrac{\sigma}{\varepsilon_0}$]].

Pintavarausta voidaan hyödyntää myös ukkospilviä tarkasteltaessa.

Ukkospilveen syntyy varausjakauma, kun erityyppiset jääkiteet ja vesipisarat törmäilevät. Törmäillessään ne luovuttavat varausta toisilleen ja erilaisuutensa takia kertyvät ukkospilven ilmavirtauksissa eri korkeuksille. Tyypillisesti ukkospilven yläosa varautuu positiivisesti ja keskiosa negatiivisesti. Varausjakauma luo sähkökentän, joka vuorostaan vaikuttaa sähköisesti varautuneiden jääkiteiden ja vesipisaroiden liikkeeseen. Sähkövarausten epätasapaino purkautuu lopulta salamoina pilven sisällä tai pilvestä maahan.

Eräässä kehittyvässä ukkospilvessä yläosan sähkövaraus oli 22 C ja keskiosan -22 C. Ukkospilvi oli ylhäältä katsoen suunnilleen ympyrän muotoinen ja sen halkaisija oli 1,3 km. Varausten voidaan olettaa jakaantuneen ukkospilveen sivusuunnassa tasaisesti ohuisiin kerroksiin, jotka olivat korkeuksilla 4,5 km ja 9,8 km.

Hyödynnä pintavaraustiheys ja määritä ukkospilven ylä- ja keskiosan välisen sähkökentän voimakkuus pilven keskellä, jossa sähkökenttää voidaan tarkastella homogeenisen kentän mallilla.
Oletetaan erään keskellä pilveä ylä- ja keskiosan välillä olevan jääkiteen sähkövaraukseksi -2,3 fC. Kuinka suuri jääkiteen massa saa olla, jotta sähkökenttä estää sitä putoamasta? Vertailukohtana mainittakoon, että tyypillisten jääkiteiden massat ovat alle 100 ng.

Ratkaisu

260. Öljypisara sähkökentässä

Pieni sähköisesti varattu öljypisara leijuu sähkökentässä levossa. Öljypisaraan kohdistuvan painon suuruus on 2,7 [[$\cdot$]] 10^–14 N. Sähkökentän voimakkuus on 18 600 N/C. Kuinka suuri on öljypisaran sähkövaraus? Kuinka monen elektronin varausta tämä vastaa?

Millikanin koe (Wikipedia)

Ratkaisu

Pallon leijuessa levossa, siihen kohdistuva paino ja sähköinen voima kumoavat toisensa. Sovitaan suunta ylöspäin positiiviseksi.

Newtonin II lain mukaan saadaan kirjoitettua

[[$ \begin{align*} \sum \overline{F}&=\overline{0} \\\, \\ \overline{F}_s+\overline{G}&=\overline{0} \\\, \\ F_s-G&=0\\\, \\ F_s&=G \\\, \\ qE&=G \\\, \\ q&=\dfrac{G}{E} \\\, \\ q&=\dfrac{2,7 \cdot 10^{-14} \text{ N}}{18 600 \text{N/C}} \\\, \\ q&=1,451 \ldots 10^{-18} \text{ C} \approx 1,5 \text{ aC} \end{align*} $]]

Ratkaistaan kuinka montaa alkeisvarausta tämä vastaa.

[[$ n=\dfrac{Q}{e}=\dfrac{1,451 \cdot 10^{-18} \text{ C}}{1,602 \cdot 10^{-19} \text{ C}} =9,057 \ldots \approx 9 $]]

Vastaus on noin 1,5 aC ja 9 elektronia.

263. Pistevarauksen potentiaali

Potentiaalin pistemäisen sähkövarauksen [[$Q$]] ympärillä voi laskea kaavasta [[$V=k\dfrac{Q}{r}$]], missä [[$r$]] on etäisyys pistemäisen varauksen keskipisteestä ja [[$k$]] on Coulombin vakio. Tarkastellaan pistemäistä sähkövarausta, jonka suuruus on 56 nC.

Piste A on 5,1 cm:n ja piste B 13,9 cm:n päässä sähkövarauksen keskipisteestä. Laske pisteiden A ja B välinen jännite.
Protoni tuodaan pisteeseen A. Kuvaile, mitä sille tapahtuu.
Laske protonin nopeus, kun se on liikkunut 8,8 cm.

Ratkaisu

a. Lasketaan pisteen A ja pisteen B potentiaalit.

[[$ \begin{align}V_A&=k\cdot \dfrac{Q}{r_A}=8,98755\cdot 10^9 \frac{\text{Nm}^2}{\text{C}^2} \cdot \dfrac{56 \cdot 10^{-9} \text{ C}}{0,051 \text{ m}}=9868,68 \ldots \text{ V} \\ \, \\ V_B&=k\cdot \dfrac{Q}{r_B}=8,98755\cdot 10^9\frac{\text{Nm}^2}{\text{C}^2} \cdot \dfrac{56 \cdot 10^{-9} \text{ C}}{0,139 \text{ m}} =3620,88 \ldots \text{ V} \\\end{align} $]]

Jännite pisteiden A ja B välillä on

[[$ U=V_A-V_B=9868,68 \text{ V}-3620,88 \text{ V}=6247,8 \text{ V} \approx 6,2 \text{ kV} $]]

b. Protoniin kohdistuva sähköinen voima pyrkii siirtämään sitä kohti alempaa potentiaalienergian tilaa. Protonin sähköinen potentiaalienergia muuttuu sen liike-energiaksi ja protoni on kiihtyvässä liikkeessä poispäin pistemäisestä varauksesta sähköisen voiman suuntaan.

c. Sähkökentän tekemä työ eli sähköisen potentiaalienergian muutos muuttuu protonin liike-energiaksi.
Protoniin kohdistuvan sähköisen voiman suunta on poispäin pistemäisestä varauksesta ja protoni päätyy kuljettuaan 8,8 cm pisteestä A pisteen B etäisyydelle pistemäisestä sähkövarauksesta.

Potentiaalienergian muutos on

[[$ \Delta E_{SP}=QU_{AB}=1,60217\cdot 10^{-19} \text{ C} \cdot 6247,8 \text{ V} = 1,0010\cdot 10^{-15} \text{ J} $]]

Sähkökentän tekemä työ on yhtä suuri kuin protonin liike-energian muutos. Protoni on aluksi levossa.

[[$ \begin{align*}\Delta E_{SP}&=\Delta E_k \\ \, \\ \Delta E_{SP}&=E_{kl}-E_{ka} \\\, \\ \Delta E_{SP}&=\dfrac{1}{2}mv_l^2-0 \\\, \\ 2\Delta E_{SP}&=mv_l^2 \\\, \\ v_l&=\sqrt{\dfrac{2 \Delta E_{SP}}{m}} \\\, \\ v_l&=\sqrt{\dfrac{2 \cdot 1,0010 \cdot 10^{-15} \text{ J}}{1,672 6 \cdot10^{−27} \text{ kg} }} \\\, \\ v_l&=1109068 \ldots \text{ m/s} \approx 1,1 \text{ Mm/s} \end{align*} $]]