2. SÄHKÖINEN VUOROVAIKUTUS (211–223)

213. Salama

Salaman lyödessä keskimääräinen sähkövirran suuruus voi olla 15 kA ja kokonaiskesto 0,20 s. Kuinka suuri sähkövaraus salaman mukana siirtyy? Kuinka monen elektronin varaus on kyseessä?

Ratkaisu

Virta on siirtyvän varauksen määrä aikayksikköä kohti: [[$I=\frac{\Delta Q}{\Delta t}$]]. Siispä siirtyvä varaus [[$$\Delta Q=I\Delta t=15 000\text{ A}\cdot 0,2\text{ s}=3000\text{ C}$$]]

Yhden elektronin varaus on [[$e=1,6021773\cdot 10^{-19}\text{ C}$]], joten siirtyvään varaukseen mahtuu elektroneja[[$$\frac{\Delta Q}{e}=\frac{3000\text{ C}}{1,6021773\cdot 10^{-19}\text{ C}}=1,87\dotso\cdot10^{22}\text{ kpl}\approx 1,9\cdot 10^{22}\text{ kpl}$$]]

Siirtyvä varaus on 3 000 C. Varaukseen mahtuu elektroneja n. 1,9 ⋅ 1022 kpl.
 

214. Puhelimen akun varauskapasiteetti

Älypuhelimen akun varauskapasiteetti on 3 000 mAh. Täyteen ladattu akku toimi 42 tuntia ennen tyhjenemistään. Akun jännite on 4,35 V.

  1. Kuinka suuri keskimääräinen virta akusta otettiin?
  2. Kuinka suurella keskimääräisellä teholla puhelinta käytettiin?
  3. Kuinka paljon energiaa täyteen ladattu akku sisältää? Ilmoita tulos yksikössä Wh.


Ratkaisu

a. Sähkövirta varauskapasiteetin ja käyttöajan kautta

[[$ Q=It\\ \, \\ I=\dfrac{Q}{t}\\ \, \\ I=\dfrac{3000 \textrm{ mAh}}{42 \textrm{ h}}=\dots \textrm{71,428 mA}\approx 71 \textrm{ mA} $]]​

b. Keskimääräinen teho energian ja ajan avulla tehon määritelmästä

[[$ P=\dfrac{E_p}{t}\\ \, \\ P=\dfrac{\textrm{13,05 Wh}}{42 \textrm{ h}}= \textrm{0,31071}\dots \textrm{ W}\approx \textrm{0,31 W} $]]


c. Akun sisältämä energia varauskapasiteetista ja jännitteestä.

[[$ E_\text{SP}=QU\\ \, \\ E_\text{SP}=\textrm{3,0 Ah}\cdot \textrm{4,35 V}=\textrm{13,05 Wh}\approx 13 \textrm{ Wh} $]]​
​

215. Sähköinen vuorovaikutus

Kahden johdekappaleen sähkövaraukset ovat 120 nC ja 95 nC. Niiden välisen sähköisen voiman suuruus on 0,10 N. Kuinka suuri on kappaleiden välinen etäisyys?

Ratkaisu

Coulombin lain mukaan[[$$F=k\frac{Q_1Q_2}{r^2}.$$]] Varaukset ja voima tiedetään. Etäisyys voidaan ratkaista:[[$$\begin{align*}F&=k\frac{Q_1Q_2}{r^2} & ||\cdot r^2 \\ \, \\ Fr^2 &=kQ_1Q_2 & ||:F \\ \, \\r^2&=\frac{kQ_1Q_2}{F} &||\sqrt{ } \\ \, \\ r&=\pm \sqrt{\frac{kQ_1Q_2}{F}} & \\ \end{align*}$$]]
Etäisyys ei voi olla negatiivinen, joten
[[$$\begin{align*}r&=\sqrt{\frac{8,98755\cdot 10^9\frac{\text{Nm}^2}{\text{C}^2}\cdot 120\cdot10^{-9}\text{ C}\cdot 95\cdot 10^{-9}\text{ C}}{0,10\text{ N}}}=0,0320\dots\text{m}\approx 32\text{ mm}\\ \, \\ \end{align*}$$]]

216. Varauspallot

Kaksi sähköisesti varattua pientä johdepalloa roikkuu eristelangoissa hylkien toisiaan. Pallojen varaukset ovat yhtä suuret. Pallojen välinen etäisyys on 8,0 cm ja niiden väliseksi sähköiseksi voimaksi määritettiin 0,064 N. Määritä pallojen sähkövarausten suuruudet.


Ratkaisu

Coulombin lain mukaan[[$$F=k\frac{Q_1Q_2}{r^2}.$$]] Nyt [[$Q_1=Q_2$]], merkitään tätä varausta lyhyesti [[$Q.$]] Voima sekä etäisyys ovat tiedossa. Varaus voidaan ratkaista:
[[$$\begin{align*}F&=k\frac{Q^2}{r^2} & ||\cdot r^2 :k \\ \, \\ Q^2 &=\frac{Fr^2}{k} & || \sqrt{ } \\ \, \\ Q &= \pm \sqrt{\frac{Fr^2}{k}}=\pm \sqrt{\frac{0,064\text{ N}\cdot\left(0,080\text{ m}\right)^2}{8,98755\cdot 10^9\frac{\text{Nm}^2}{\text{C}^2}}} & \\ \, \\ &=\pm 2,13\dotso\cdot 10^{-7}\text{ C}\approx 210\text{ nC} & \\\end{align*}$$]]
Varaukset voivat olla yhtä hyvin plus- tai miinusmerkkiset, kunhan ne ovat samanmerkkiset. Silloin ne hylkivät toisiaan.

217. Sähkövarausten välinen voima

Hiukkanen, jonka sähkövaraus on –3,0 nC, tuodaan 0,20 metrin etäisyydelle pistemäisestä varatusta kappaleesta, jonka sähkövaraus on 25 nC.

  1. Määritä hiukkaseen kohdistuva sähköinen voima.
  2. Määritä sähkökentän voimakkuus hiukkasen kohdalla. Selitä myös sähkökentän suunta.

Ratkaisu

a. Coulombin lain mukaan pistemäisille varauksille[[$$F=k\frac{Q_1Q_2}{r^2}.$$]] Nyt varaukset ja etäisyys ovat tiedossa, eli voima voidaan laskea suoraan:[[$$F=8,98755\cdot 10^9\frac{\text{Nm}^2}{\text{C}^2}\frac{-3,0\cdot 10^{-9}\text{ C}\cdot 25\cdot 10^{-9}\text{ C}}{\left(0,20\text{ m}\right)^2}=0,00001685\dots\text{N}\approx 0,017\text{ mN}$$]]

b. Sähkökenttä on varaukselliseen hiukkaseen kohdistuva voima per sähkövaraus:[[$$E=\frac{F}{Q}.$$]]Voima ja varaus ovat tiedossa, joten kenttä voidaan laskea:[[$$E=\frac{F}{Q}=\frac{0,0000169\text{ N}}{3,0\cdot 10^{-9}\text{ C}}\approx 5617\text{ N/C}\approx 5600 \text{ N/C}$$]]

Sähkökentän suunta on positiivisesta varauksesta poispäin, eli suoraan poispäin 25 nC:n varauksesta.

219. Elektroneja kuvaputkitelevisiossa

Kuvaputkessa elektroneja kiihdytetään sähkökentässä, jonka voimakkuus on 25 kV/m. Elektronit osuvat näyttöpintaan, jonka loisteaine synnyttää valoa.

  1. Piirrä kuva, josta ilmenee sähkökentän suunta kuvaputkessa ja elektroniin kohdistuvan voiman suunta.
  2. Kuinka suuri on elektronin kiihtyvyys kentässä?


Ratkaisu

a.


b. Newtonin II lain mukaan [[$F=ma$]], missä F on hiukkaseen kohdistuva kokonaisvoima, m on hiukkasen massa ja a sen kiihtyvyys. Tässä tapauksessa elektroniin kohdistuva voima on sähkökentän aiheuttama voima, [[$F=QE$]]. Näistä saadaan ratkaistua kiihtyvyys:

[[$a=\dfrac{F}{m}=\dfrac{QE}{m}=\dfrac{1,602177\cdot 10^{-19}\text{ C}\cdot 25 000\text{ V}/\text{m}}{9,109384\cdot 10^{-31}\text{ kg}}=4,39\dotso \cdot 10^{15}\text{ m/s}^2\approx 4,4\cdot 10^{15}\text{ m/s}^2$]]

220. Homogeeninen sähkökenttä

Kahden yhdensuuntaisen metallilevyn etäisyys toisistaan on 12 cm. Levyjen välille kytketään 24 V:n jännite, jolloin niiden väliin muodostuu homogeeninen sähkökenttä. Levyjen väliin tuodaan varattu hiukkanen, jonka varaus on 15 nC.

  1. Hahmottele kuva, josta ilmenevät levyjen varaukset, sähkökentän suunta ja hiukkaseen kohdistuva sähköinen voima.
  2. Määritä sähkökentän voimakkuus levyjen välissä.
  3. Määritä hiukkaseen kohdistuvan sähköisen voiman suuruus.


Ratkaisu

a.


b. Homogeenisessa sähkökentässä [[$U=Ed$]], missä U on kahden pisteen välinen jännite ja d niiden etäisyys sähkökentän suunnassa. Tarkastelemalla vastakkaisilla levyillä olevia pisteitä U=24 V ja d=12 cm. Tästä saadaan ratkaistua sähkökentän voimakkuus:

[[$E=\dfrac{U}{d}=\dfrac{24\text{ V}}{0,12\text{ m}}=200\text{ V}/\text{m}$]]

c. Kun sähkökentän voimakkuus on tiedossa, sähköinen voima voidaan helposti laskea.

[[$F=QE=15\text{ nC}\cdot 200\text{ V}/\text{m}=0,000003\text{ N}\approx 3,0\text{ }\mu\text{N}$]]

221. Elektroni homogeenisessa sähkökentässä (MUOKATTU ent. 214)

Kaksi suurta metallilevyä ovat 14,7 cm:n päässä toisistaan, ja niiden välillä on 1,47 kV:n jännite. 

  1. Kuinka suuri on sähkökentän voimakkuus levyjen välissä?
  2. Negatiiviselta levyltä irtoaa elektroni. Miten elektroniin kohdistuva sähköinen voima ja sen sähköinen potentiaalienergia muuttuvat, kun se liikkuu negatiiviselta levyltä kohti positiivista levyä?
  3. Mikä on elektronin nopeus, kun se saavuttaa positiivisen levyn?



Vanha tehtävä ja sen vastaus

Kaksi suurta metallilevyä ovat 14,7 cm päässä toisistaan ja niiden välillä on 1,47 kV jännite. Negatiiviselta levyltä lähtee elektroni irti. Millä nopeudella se törmää positiiviseen levyyn?

Ratkaisu

Elektronin siirtyessä negatiiviselta levyltä positiiviselle sen sähköinen potentiaalienergia pienenee. Energiaperiaatteen mukaisesti elektronin liike-energia kasvaa saman verran kuin sen sähköinen potentiaalienergia pienenee. Saadaan yhtälö

[[$E_{\text{SP alussa}}+E_{\text{K alussa}}=E_{\text{SP lopussa}}+E_{\text{K lopussa}}$]]

Koska elektroni lähtee levosta, sen liike-energia alussa [[$E_{\text{K alussa}}$]] on nolla. Loppunopeus voidaan ratkaista lopun liike-energiasta, koska [[$E_{\text{K}}=\dfrac{1}{2}mv^2$]].

Sähköisen potentiaalienergian nollataso voidaan valita positiiviselle levylle, jolloin sähköinen potentiaalienergia lopussa on nolla. Alussa sähköinen potentiaalienergia on [[$E_{\text{SP}}=QU$]].

Nopeus saadaan ratkaistua:

[[$\begin{align*}E_{\text{SP}}&=E_{\text{K}}& \\ QU&=\dfrac{1}{2}mv^2 & || \cdot 2 :m \\ v^2&=\dfrac{2QU}{m} & || \sqrt{ } \\ v&=\pm \sqrt{\dfrac{2QU}{m}} & \\ \end{align*}$]]

Valitaan liikkeen suunta positiiviseksi, nopeudeksi tulee

[[$v=\sqrt{\dfrac{2\cdot 1,602177\cdot 10^{-19}\text{ C}\cdot 1470\text{ V}}{9,109384\cdot 10^{-31}\text{ kg}}}=22739683,\dots\text{m}/\text{s}\approx 22700\text{ km}/\text{s}$]].

222. Potentiaali ja jännite sähkökentässä

Kuvassa on kahden varatun hiukkasen synnyttämän sähkökentän tasapotentiaaliviivoja.

  1. Määritä jännitteet [[$ U_\text{AB} $]]​ sekä [[$ U_\text{BC} $]]​.
  2. Hiukkanen, jonka sähkövaraus on –1,0 nC, siirretään pisteestä A pisteeseen B. Kasvaako vai väheneekö hiukkasen sähköinen potentiaalienergia ja kuinka paljon?
  3. Sama hiukkanen siirretään pisteestä B pisteeseen C. Kasvaako vai väheneekö hiukkasen sähköinen potentiaalienergia ja kuinka paljon?

 



Ratkaisu

a. Suoraan kuvasta: [[$U_{AB}=V_B-V_A=30\text{ V}-30\text{ V}=0\text{ V}$]] ja [[$U_{BC}=V_{C}-V_{B}=-15\text{ V}-30\text{ V}=-45\text{ V}$]]
tai pisteiden A ja B välinen jännite on 45 V.

b. Pisteet A ja B ovat samassa potentiaalissa, joten potentiaalienergia ei muutu. Tämän näkee myös kaavasta [[$\Delta E_{\text{SP}}=QU_{AB}$]].

c. Nyt negatiivinen hiukkanen siirretään matalampaan potentiaaliin, eli lähelle negatiivista varausta. Joudutaan tekemään työtä ja hiukkasen sähköinen potentiaalienergia kasvaa. Muutos saadaan laskettua [[$\Delta E_{\text{SP}}=QU_{BC}=-1,0\text{ nC}\cdot -45\text{ V}=45\text{ nJ}$]]