Ongelma: Jaa laskimen avulla tekijöihin polynomit [[$ x^2-2x-3, x^2+5x+6$]] ja [[$x^2-4 $]]. Mikä yhteys saaduilla tekijöillä on polynomien nollakohtiin?

​


Toisen asteen polynomilla [[$P(x)=x^2-x-6$]] on oltava kaksi muotoa [[$kx+d$]] olevaa tekijää, koska näiden kertolaskusta syntyy toisen asteen termi. Toisaalta ensimmäisen asteen tekijöitä ei voi olla enempää, koska silloin tulon asteluku olisi kolme.

Mitkä ovat edellä mainitun polynomin tekijät?

Vakiotermien [[$d$]] tulon tulee olla [[$-6$]]. Luvut voisivat olla esimerkiksi [[$-2 \textrm{ ja } 3$]] tai [[$2 \textrm{ ja } -3 $]]. Valitsemalla tekijät jälkimmäisen vaihtoehdon mukaisesti saadaan [[$ P(x) = (x+2)(x-3) = x^2-3x+2x+2(-3) = x^2-x-6 $]]. Näin ensimmäisen asteen termin kertoimeksi tulee lukujen [[$2$]] ja [[$-3$]] summana [[$-1$]].

Kun kirjoitetaan toisen asteen polynomi muodossa [[$P(x)=(x-x_1)(x-x_2)$]], huomataan, että luvut [[$x_1$]] ja [[$x_2$]] ovat polynomin nollakohtia.
[[$$ P(x_1)=(\underbrace{x_1-x_1}_{=0})(x_1-x_2) =0 ,\quad P(x_2)=(x_2-x_1)(\underbrace{x_2-x_2}_{=0})=0 $$]]
Kun sulkeet kerrotaan auki, saadaan perusmuodossa oleva toisen asteen polynomi.

[[$P(x)=x^2-x_1x-x_2x+x_1x_2 = x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2$]]

Merkitään juurten summaa luvulla [[$p=x_1+x_2$]] ja tuloa luvulla [[$q=x_1x_2$]].
Näin syntyy polynomi [[$P(x)=x^2-px+q$]]. Jos polynomin toisen asteen termin kerroin on luvun 1 sijaan [[$a$]], saadaan edellisestä kertomalla toisen asteen termin kertoimella [[$a$]].

[[$P(x)=ax^2 \underbrace{-ap}_{=b}x+\underbrace{aq}_{=c}=a^2+bx+c$]]

Tämä on sama kuin tekijöihin jaettu polynomi luvulla [[$a$]] kerrottuna.

Esimerkki 1

Jaa tekijöihin polynomit a) [[$x^2-4x-21$]] ja b) [[$6x^2-13x+6 $]]

Ratkaisu:
a) Määritetään ensin polynomin nollakohdat ratkaisukaavalla
[[$$ \begin{eqnarray} x&=& \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2-4 \cdot 1 \cdot (-21)}}{2 \cdot1}\\ &=& \frac{4 \pm \sqrt{100}}{2} \\ &=&\frac{4 \pm 10}{2}, \quad \textrm{josta}\\ x_1&=&\frac{-6}{2}=-3 \quad \textrm{ tai } \quad x_2=\frac{14}{2}=7\end{eqnarray} $$]]
Kaavasta [[$P(x) = a(x-x_1)(x-x_2)$]] saadaan
[[$$ x^2-4x-21=1\cdot(x-(-3))(x-7)=(x+3)(x-7)$$]]
b) Nollakohdat
[[$$ \begin{eqnarray} x&=&\frac{-(-13) \pm \sqrt{(-13)^2 - 4\cdot 6 \cdot 6}}{2 \cdot 6} \\ &=& \frac{13 \pm 5}{12} \\ x_1&=&\frac{18}{12}=\frac{3}{2} \quad \textrm{ tai } \quad x=\frac{8}{12}=\frac{2}{3} \end{eqnarray} $$]]
Nyt [[$$ \begin{eqnarray} P(x)&=&6(x-\frac{3}{2})(x-\frac{2}{3})=2 \cdot 3 (x-\frac{3}{2})(x-\frac{2}{3}) &\quad |\textrm{kaava } P(x)=a(x-x_1)(x-x_2)\\&=& 2(x-\frac{3}{2})\cdot3(x-\frac{2}{3}) = (2x-3)(3x-2)) & \end{eqnarray}$$]]
Vastaus:
a) [[$x^2-4x-21=(x+3)(x-7)$]]
b) [[$6x^2-13x+6 = (2x-3)(3x-2) $]]


Jos toisen asteen yhtälöllä on vain yksi ratkaisu, tekijähajotelmassa [[$x_2=x_1$]]. Tämä juuri on kaksoisjuuri, joka vastaa tapausta diskriminantti [[$D=0$]] (vrt. kohta 3.4). Ensimmäisen asteen tekijöitä pitää olla kaksi, jotta muodostuu toisen asteen polynomi. Tällöin [[$P(x)=a(x-x_1)(x-x_1) = a(x-x_1)^2$]]. Näin toisen asteen polynomi on binomin neliö täsmälleen silloin, kun sillä on tasan yksi nollakohta.

Jos taas yhtälöllä ei ole (reaalisia) nollakohtia, sillä ei ole myöskään reaalilukujen joukossa ensimmäisen asteen tekijöitä. Tällöin polynomi on jaoton. Tapaus voidaan todistaa vastaoletuksen avulla. Jos nimittäin polynomilla [[$P(x)$]] ei ole nollakohtia, sillä ei voi olla ensimmäisen asteen tekijää, koska tämän tekijän nollakohta olisi samalla myös polynomin nollakohta.

[[$ P(x)=Q(x)\cdot (ax+b) \Rightarrow P(x) = 0, \textrm{ kun } x= -\frac{b}{a}$]].

Esimerkki 2

Jaa toisen asteen polynomit a) [[$ x^2+20x+100$]] ja b) [[$3x^2+6$]] tekijöihin.

Ratkaisu:
a) [[$x^2+20x+100=0 \Leftrightarrow x=\frac{-20 \pm \sqrt{20^2-4\cdot 1 \cdot (100)}}{2\cdot 1}=\frac{-20 \pm 0}{2}=-10$]]
Ainoa nollakohta on [[$x=-10$]], [[$a=1$]]
Tällöin [[$P(x)=2(x-(-10))(x-(-10))=2(x+10)^2$]].

b) Ensimmäisen asteen termi puuttuu, joten ei tarvita ratkaisukaavaa.
[[$3x^2+6=0 \Leftrightarrow 3x^2=-6 \Leftrightarrow x^2=-\frac{6}{3}=-2$]]
Neliö ei voi olla negatiivinen, joten yhtälöllä ei ole ratkaisua. Polynomilla ei ole nollakohtia, joten se ei jakaudu ensimmäisen asteen tekijöihin.

Vastaus:
a) [[$P(x)=2(x-(-10))(x-(-10))=2(x+10)^2$]]
b) Polynomilla ei ole nollakohtia, joten se ei jakaudu ensimmäisen asteen tekijöihin.

Esimerkki 3

Supista murtolauseke [[$\dfrac{2x-6}{x^2-2x-3}$]].

Ratkaisu:
Jaetaan ensin nimittäjä tekijöihin laskemalla nimittäjän nollakohdat. Ratkaisukaavasta

[[$$ x= \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2-4\cdot1\cdot(-3)}}{2 \cdot 1}=\frac{2 \pm 4}{2} $$]]
[[$$x=-1 \textrm{ tai } x=3,$$]] joten nimittäjällä on tekijät [[$x-(-1)$]] ja [[$x-3$]].

Huomataan, että nollakohdista [[$x=3$]] on myös osoittajan nollakohta, jolloin myös osoittajalla on tekijä [[$x-3$]]. Tekijöihin jakamalla saadaan:

[[$$ \frac{2x-6}{x^2-2x-3} = \frac{2(x-3)}{(x+1)(x-3)} = \frac{2}{x+1} $$]]
Vastaus: [[$\dfrac{2x-6}{x^2-2x-3}= \frac{2}{x+1}$]]