Toisen asteen polynomi on muotoa

[[$$ P(x)=ax^2+bx+c, \quad\text{ jossa } \quad a \neq 0. $$]]​
Luvut [[$a,b$]] ja [[$c$]] ovat polynomin kertoimet.
Jos kerroin [[$a=0$]], polynomin asteluku on yksi eikä kyseessä ole toisen asteen polynomi.

Tarkastellaan seuraavassa polynomin kuvaajan muotoa.

Piirretään laskimen avulla perusparaabelin [[$y=x^2$]] kuvaaja.

Termin [[$x^2$]] arvo ei riipu muuttujan [[$x$]] etumerkistä. Näin perusparaabelin kuvaajassa funktio savuttaa saman arvon kahdesti kohtaa [[$x=0$]] lukuun ottamatta. Näin paraabeli on symmetrinen [[$y$]]-akselin suhteen.

---

Seuraavan sovelman avulla tutkitaan toisen asteen yhtälön [[$y=ax^2+bx+c$]] kertoimien [[$a,b, \textrm{ ja } c$]] vaikutusta kuvaajan kulkuun. Kiinnitä huomiota paraabelin aukeamissuuntaan, leveyteen sekä sijaintiin [[$y$]]-suunnassa.

​


​Kuvaajasta nähdään, että paraabeli voi leikata [[$x$]]-akselin kahdessa kohdassa. Nämä ovat toisen asteen polynomifunktion nollakohtia, joissa [[$P(x)=0$]].

Nollakohtien ratkaisemista tarkastellaan kahdessa seuraavassa kappaleessa.

Esimerkki 1

Määritä paraabelien a) [[$y=2x^2-3x^2-4$]] b) [[$y=x-x^2$]] aukeamissuunta.

Ratkaisu:
a) Paraabelin toisen asteen termin kerroin 2 on positiivinen, joten paraabeli aukeaa ylöspäin.
b) Paraabelin yhtälön termit pitää järjestää normaalimuotoon. [[$y=-x^2+x$]]. Toisen asteen termin kerroin [[$a=-1$]]. Näin paraabeli aukeaa alaspäin.

Esimerkki 2

Laske funktion [[$y=-x^2+2x+1$]] arvoja välillä [[$x \in [-3,4] $]] ja päättele niiden avulla paraabelin huipun koordinaatit.

Ratkaisu:

[[$x$]]	[[$y=-x^2+2x+1$]]
[[$-2$]]	[[$-7$]]
[[$-1$]]	[[$-2$]]
[[$0$]]	[[$1$]]
[[$1$]]	[[$2$]]
[[$2$]]	[[$1$]]
[[$3$]]	[[$-2$]]

Taulukon mukaan funktion saa saman arvon esimerkiksi kohdissa [[$x=0$]] ja [[$x=2$]]. Koska paraabeli on symmetrinen, huipun pitää olla näiden kohtien puolivälissä, eli kohdassa [[$x=1$]].

Huippu sijaitsee näin pisteessä (1,2)