1. Logiikkaa

Loogiset konnektiivit ja totuustaulu

Määritelmä

Logiikka on oppi muodollisesti oikeasta päättelystä. Perinteinen logiikka tutkii erilaisten suljettujen lauseiden eli propositioiden totuutta. Suljetulla lauseella on aina totuusarvo eli se on joko tosi, merkitään 1 (T) tai epätosi, merkitään 0 (E). Suljettu lause voi olla yksittäinen lause tai useammasta yksittäisestä lauseesta loogisten konnektiivien avulla muodostettu yhdistetty lause.

Loogiset konnektiivit

1. Negaatio, ¬

- negaatio muuttaa suljetun lauseen totuusarvon

esim.

Tarkastellaan suljettua lausetta: Ulkona paistaa aurinko, jota merkitään A

Nyt negaatio A eli ¬A tarkoittaa, että ulkona ei paista aurinko

2. Konjunktio, ∧ (ja -konnektiivi)

3. Disjunktio, ∨ (tai-konnektiivi)

4. Implikaatio, ⇒

merkintä A ⇒ B tarkoittaa, että A:sta seuraa B (tai jos A niin B)

5. Ekvivalenssi, ⇔

merkintä A ⇔ B tarkoittaa, että A:sta seuraa B ja päinvastoin ((A⇒B) ∧ (B⇒A))

merkintä A ⇔ B voidaan lukea myös: A jos ja vain jos B

esim.

Ajatellaan, että A (on suljettu lause), joka tarkoittaa: ulkona paistaa aurinko ja B tarkoittaa: menen ulos

Nyt A ⇒ B tarkoittaa, että jos ulkona paistaa aurinko niin menen ulos

Vastaavasti A ⇔ B tarkoittaa, että jos ulkona paistaa aurinko niin menen ulos ja jos menen ulos niin ulkona paistaa aurinko (Ulkona paistaa aurinko jos ja vain jos menen ulos)

A ∧ B tarkoittaa: Ulkona paistaa aurinko ja menen ulos

A ∨ B tarkoittaa: Ulkona paistaa aurinko tai menen ulos

Yhdistetyn lauseen totuustaulukko (totuusarvo)

Yhdistetyssä lauseessa on ainakin kaksi suljettua lausetta, jotka on liitetty toisiinsa loogisilla konnektiiveilla.
Loogisilla konnektiiveilla on seuraava suoritusjärjestys, jos sulkeet eivät toisin määrää
1. Negaatiot
2. Konjunktiot ja disjunktiot
3. Implikaatiot ja ekvivalenssit

Eri konnektiivien totuustaulukot löytyvät taulukkokirjasta ja kirjasta s. 12, 22 ja 23

Muodosta lauseen ¬A ∧ B totuustaulukko.

$\begin{array}{l|l} A&B&\neg A&\neg A\wedge B\\ \hline 1&1&\ \ 0&\ \ \ \ 0\\ 1&0&\ \ 0&\ \ \ \ 0\\ 0&1&\ \ 1&\ \ \ \ 1\\ 0&0&\ \ 1&\ \ \ \ 0 \end{array}$

Totuustaulukko kertoo, että lause on tosi vain, kun A on epätosi ja B tosi. Muilla A:n ja B:n totuusarvoilla tämä lause on epätosi.

Lyhennetty tapa totuustaulukon esittämiseksi

$\begin{array}{l|l} \neg&A&\wedge&B\\ \hline 0&1&\ 0&1\\ 0&1&\ 0&0\\ 1&0&\ 1&1\\ 1&0&\ 0&0\\ 2.&1.&3.&1. \end{array}$

Huom!

Kaksi lausetta, jolla on sama totuusarvo, ovat keskenään loogisesti ekvivalentit eli lauseet tarkoittavat samaa.

Jos yhdistetty lause on aina tosi (kaikilla suljettujen lauseiden A, B, C, jne totuusarvoilla) niin lausetta sanotaan tautologiaksi. Tautologia esittää loogisen yleispätevän totuuden. Jos kaksi lausetta ovat loogisesti ekvivalentit eli saavat saman totuusarvon, ja nämä lauseet yhdistetään toisiinsa ekvivalenssimerkillä niin näin saatu yhdistetty lause on tautologia.

Osoita, että lauseet ovat loogisesti ekvivalentit
$A\Leftrightarrow B\ \ \ ja\ \ \ \left(A\Rightarrow B\right)\wedge\left(\neg A\Rightarrow\neg B\right)$

Kotitehtävät 144 ja 146

Onko seuraava lause tautologia
a)
$\left(A\Rightarrow B\right)\wedge\neg A\Rightarrow\neg B$

$\begin{array}{l|l} \left(A\ \Rightarrow\ B\right)&\wedge&\neg&A&\Rightarrow&\neg&B\\ \hline \ \ 1\ \ 1\ \ \ 1&0&0&1&1&0&1\\ \ \ 1\ \ 0\ \ \ 0&0&0&1&1&1&0\\ \ \ 0\ \ 1\ \ \ 1&1&1&0&0&0&1\\ \ \ 0\ \ 1\ \ \ 0&1&1&0&1&1&0\\ \ \ \ \ \ \ 3.&4.&2.&&5.&2.& \end{array}$

Lause ei ole tautologia, sillä se on epätosi, kun A on epätosi ja B on tosi.
b)
$\neg\left(A\vee B\right)\Leftrightarrow\neg A\wedge\neg B$

Päättely

Päättelyssä johtopäätös tehdään tiettyjen oletusten perusteella.

Oletukset (yhdistettyjä lauseita) yhdistetään toisiinsa konjunktiolla (ja-konnektiivi)
Oletukset ja johtopäätös yhdistetään implikaatiolla toisiinsa

Näin saadaan laajempi yhdistetty lause. Päättely on pätevä, jos tämä yhdistetty lause on tautologia (aina tosi).