Etäopiskelujakson tehtävät

267

3,146193
b)
$x=2+\ln x$
$\ln x=x-2$
$x=e^{x-2}$

0,1585943

266

10 vuoden päästä talletuksen suuruus on 8964,77€

261

$x=-\ln x$
$-x=\ln x$
$x=e^{-x}$

$g\left(x\right)=e^{-x}$

0,56714

259

a)
Newtonin menetelmä
$x^3=x+2$
$x^3-x-2=0$

1,52138
b)
kiintopistemenetelmä
$x^3=x+2$
$x=\sqrt[3]{x+2}$

1,52137971

255

$x^2+x-3=0$
$x^2=3-x$
$x=\pm\sqrt{3-x}$
koska halutaan positiivinen nollakohta, niin $x=\sqrt{3-x}$

nollakohta on 1,30278

252

vain vaihtoehto C lähestyy yhtä ratkaisua, joka on ~1,18

K18/9

Tarkastellaan funktiota, jonka derivaattafunktio on myös derivoituva.
Soveltamalla Newtonin menetelmää derivaattafunktioon saadaan selville funktion mahdollisen paikallisen ääriarvokohdan likiarvo.

Selvitä Newtonin menetelmällä funktion 𝑓(𝑥)=1/5𝑥^5−2𝑥^2+𝑥 mahdolliset ääriarvokohdat välillä ]0,2[.
Käytä alkuarvoa 0,5, laske kolme iteraatiota ja anna tulos viiden merkitsevän numeron tarkkuudella.

Laske toinen mahdollinen ääriarvokohta samalla tavalla alkuarvoa 1,5 käyttäen.
Määritä näiden tulosten avulla funktion 𝑓(𝑥)paikalliset ääriarvot välillä ]0,2[neljän merkitsevän numeron tarkkuudella

ääriarvokohdat ovat 0,25099 sekä 1,4934

243

236

lähimpänä kohtaa x=-1 on nollakohta x=-0,4425

234

$f\left(x\right)=2x^3+x=2$
$2x^3+x-2=0$

$f'\left(x\right)=6x^2+1$

derivaattafunktio saa aina positiivisia arvoja, eli funktio on kaikkialla kasvava

siispä funktiolla voi olla korkeintaan yksi nollakohta

lasketaan funktion arvot kohdissa x=0 ja x=1

$f\left(0\right)=-2<0$
$f\left(1\right)=1>0$

koska funktio saa erimerkkiset arvot välin ]0, 1[ päätepisteissä, on sillä Bolzanon lauseen nojalla vähintään yksi nollakohta tällä välillä

lisäksi koska funktiolla on korkeintaan yksi nollakohta, on funktion ainoa nollakohta tällä välillä

selvitetään nollakohdan likiarvo Newtonin menetelmällä rekursiokaavaa käyttäen $x_{n+1}=x_n-\frac{f\left(x_n\right)}{f'\left(x_n\right)}{,}\ x_0=1$

nollakohdan likiarvo kuuden desimaalin tarkkuudella on 0,835122
ensimmäinen likiarvo, joka on kuuden desimaalin tarkkuudella sama, kuin sitä seuraava likiarvo, on neljäs likiarvo, kun x_0=1
yhtälöllä ei ole muita ratkaisuja

251

a)

1,15447
b)

7,38905

233

Yhtälöllä on yksi reaalijuuri. Määritä juuri kuuden desimaalin tarkkuudella Newtonin menetelmällä. Jos annettu alkuarvo ei johda haluttuun likiarvoon, valitse toinen alkuarvo.

a) $3x^2+1=x^3+x$ , alkuarvo $x_0=1$

$x^3-3x^2+x-1=0$

$f'\left(x\right)=3x^2-6x+1$
alkuarvo $x_0=1$

$x_{n+1}=x_n-\frac{f\left(x_n\right)}{f'\left(x_n\right)}$
alkuarvo x=1 ei toimi, valitaan alkuarvoksi x=3