1.2 Polynomien jaollisuus

126

A4
B2
C3
D1

123

a)

$3x^2-6x+3=3\left(x-1\right)\left(x-1\right)$

b)

$2x^2-7x-4$

lasketaan nollakohdat

$x=4\ tai\ x=-\frac{1}{2}$

$2\left(x-4\right)\left(x+\frac{1}{2}\right)$

c)

$x^3-2x^2+3x$
$x\left(x^2-2x+3\right)$

121

a)

$P\left(x\right)=2x^2+8x+8$

jaetaan tekijöihin laskemalla nollakohdat

$x=-2$

$2\left(x+2\right)\left(x+2\right)=\left(2x+4\right)\left(x+2\right)$
$\frac{P\left(x\right)}{x+2}=2x+4$
b)

selvitetään onko polynomi P(x) jaollinen polynomilla x+1

$P\left(x\right)=x^2+2x+2$
$P\left(-1\right)=2\ne0$

ei ole jaollinen

122

a)

polynomi on jaollinen

$P\left(x\right)=3x^2-x-2$

$Q\left(x\right)=x-1$

$P\left(1\right)=0$

jaetaan polynomi P(x) tekijöihin nollakohtien avulla

$P\left(x\right)=0$
$x=-\frac{2}{3}\ tai\ x=1$

$P\left(x\right)=3\left(x-\left(-\frac{2}{3}\right)\right)\left(x-1\right)$
$P\left(x\right)=\left(3x+2\right)\left(x-1\right)$

b)

$Q\left(x\right)=x-2$

$P\left(x\right)=3x^2-x-2$

$P\left(2\right)=8\ne0$

polynomi ei ole jaollinen
c)

$Q\left(x\right)=2x-2$ , voidaan muuttaa muotoon $x-1$
$P\left(x\right)=3x^2-x-2$
$P\left(1\right)=0$
polynomi on jaollinen

jaetaan polynomi P(x) tekijöihin nollakohtien avulla
$P\left(x\right)=0$
$x=-\frac{2}{3}\ tai\ x=1$

$P\left(x\right)=3\left(x-\left(-\frac{2}{3}\right)\right)\left(x-1\right)$
$P\left(x\right)=\left(2x-2\right)\left(\frac{3x}{2}+1\right)$

esmes

a)

$Q\left(x\right)=x+2=x-\left(-2\right)$

Q(x) on polynomin P(x) tekijä jos ja vain jos P(-2)=0

$P\left(-2\right)=\left(-2\right)^3-3\cdot\left(-2\right)^2-5\cdot\left(-2\right)+15=5$

siis, P(x) ei ole jaollinen polynomilla Q(x)

b)

$Q\left(x\right)=x-3$
$P\left(3\right)=0$

polynomi P(x) on jaollinen Q(x)