MAY1 (MImm)
Luvut ja lukujonot
- Välitestit 2*6p=12p
- Loppukoe 6*12p=72p
- Kokeessa A osio ilman laskinta
- B-Osiossa laskinohjemistot käytössä
- Koe tehdään omalla tietokoneella, usb-tikulta käynnistettävässä Abitti-ympäristössä
- Laskimena käytetään TI-nspire -ohjelmistoa. Nspire.fi/aloitus
- Toinen ohjelmisto Geogebra. Geogebra.org
- Kirjana Sanomapro: Tekijä
- Taulukkokirjana Otava: MAOL-taulukot
1 - Kokonaisluvut
Luonnolliset luvut
Kokonaisluvut
Rationaaliluvut
Irrationaaliluvut ovat niitä reaalilukuja, jotka eivät ole rationaalilukuja. Ne tunnistaa päättymättömästä, jaksottomasta desimaaliesityksestä.
Reaaliluvut R on edellisten yhdiste
Reaalilukujen laskutoimitukset (yhteenlasku ja kertolasku) ovat vaihdannaisia ja liitännäisiä
Esimerkki 11.
Luvun ja sen vastaluvun summa on nolla.
Itseisarvo ilmaisee luvun etäisyyden lukusuoralla luvusta nolla. Luku ja sen vastaluku ovat lukusuoralla yhtä kaukana luvusta nolla.
Esimerkki 17
Harjoituksia 1, 4, 6, 8, 10, 12 + 18, 20
2 - Reaaliluvut
Luvun ja sen käänteisluvun tulo on yksi
Murtolukujen summa lasketaan
- Lavenna saman nimisiksi
- Laske osoittajat yhteen
Murtolukujen tulo lasketaan
- Supista jos mahdollista
- Kerro osoittajat ja nimittäjät keskenään
Sekaluvut kannattaa muuttaa usein murtoluku muotoon
Esimerkki 30
Esimerkki 33
Esimerkki 41
Harjoituksia 26, 27, 29, 32, 34, 35 + 42, 43
3 - Yhtälö ja epäyhtälö
Kun kaksi lauseketta merkitään yhtä suuriksi, saadaan yhtälö. Tämä voi olla tosi tai epätosi. Muuttujan arvoja, joilla yhtälö on tosi sanotaan yhtälön ratkaisuiksi, eli juuriksi.
Esimerkki 45
Esimerkki 48
Esimerkki 52
Epäyhtälössä ratkaisu keinot ovat samat kunhan muistaa kääntää epäyhtälön suunnan kerrottaessa tai jaettaessa negatiivisella luvulla.
Esimerkki 55
Harjoituksia 46, 51, 54, 58, 60, 61, 62
4 - Potenssi
5 - Potenssin laskusäännöt
6 - Eksponentin ratkaiseminen
Yhtälö jossa muuttuja esiintyy eksponentissa, voidaan ratkaista
- Muuttamalla lausekkeiden kantaluvut yhtä suuriksi
- Käyttämällä apuna logaritmia
Esimerkki 116
Esimerkki 119
Luvun b a-kantainen logaritmi tarkoittaa yhtälön ax = b ratkaisua.
Esimerkki 125
Esimerkki 128
Harjoituksia 115, 120, 123, 124, 126, 133
7 - Prosenttilaskentaa
8 - Prosentuaalinen muutos
Muutos voidaan ilmaista myös prosenttiyksikköinä.
Esimerkiksi jos lainan korko nousee yhden prosenttiyksikön 2 prosentista 3 prosenttiin on muutos yhden prosenttiyksikön mutta muutoksen suuruus prosentteina on (3-2)/2 * 100% = 50%.
Esimerkki 154
Prosenttiyhtälöt voidaan ratkaista lausekkeen
prosenttikerroin x alkuarvo = loppuarvo
Esimerkki 171
Esimerkki 175
Harjoituksia 153, 157, 172, 173, 176
9 - Funktio
Funktio joukosta A joukkoon B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon yhden alkion joukosta B.
Esim.
Ympyrän pinta-ala riippuu sen säteestä, joten ympyrän pinta-ala on säteen funktio ja sääntö voidaan esittää vaikkapa muodossa A(r) = πr2.
Esimerkki 186
Esimerkki 190
Esimerkki 193
Esimerkki 201
Harjoituksia 185, 192, 195, 200, 202
10 - Funktion kuvaaja
Olkoon y x:n funktion, eli y = f(x). Funktion arvoa eri muuttujan arvoilla voidaan havainnollistaa kuvaajan avulla.
Esim.
- f(-5) = 3
- f(-4) = 3
- f(-2) = 2
- f(3) = 4
Huom! Funktiota ei ole määritelty kun -1 < x < 1.
Esimerkki 208
Esimerkki 211
Esimerkki 218 Kuvaajan piirtäminen käsin
Esimerkki 217 Kuvaajan piirtäminen laskimella
Harjoituksia 206, 210, 214, 220, 224, 225
11 - Lukujono
Määritteleminen yleisen jäsenen avulla:
lukujonon jäsenet a1, a2, a3, … , an, … missä on positiivinen kokonaisluku, ilmaistaan yleisen jäsenen an avulla.
Esim.
an = 2n – 1 määrittelee jonon 1, 3, 5, 7, …
an = 1/n määrittelee jonon 1, ½, 1/3, …
Lukujono (an) on
monotoninen = kasvava tai vähenevä
Esim.
Olkoon an = n + (n-1)(n-2)(n-3)(n-4)*(π-5)/24
nyt
a1 = 1
a2 = 2
a3 = 3
a4 = 4
a5 = 5+π
Esimerkki 231
Esimerkki 234
Esimerkki 237
Harjoituksia 230, 233, 235, 236, 241, 243
11 - Rekursiivinen lukujono
12 - Aritmeettinen lukujono
Lukujonoa sanotaan aritmeettiseksi jos sen peräkkäisten jäsenten erotus (differenssi) on vakio.
Esim.
Jono 1,2,3,4,5,… d=1
tai jono 4, 2, 0, -2, -4, … d=-2
Esim. Selvitä aritmeettisen lukujonon 6, 10, 14, … n. jäsen.
Differenssi d saadaan peräkkäisten jäsenten erotuksena 10 – 6 = 4.
a1 = 6
a2 = 6 + 4
a3 = (6 + 4) + 4 = 6 + 2x4
a4 = (6 + 2x4) + 4 = 6 + 3x4
…
an = 6 + (n -1)x4
Huom! Aritmeettisen lukujonon yleinen jäsen an = a1 + (n-1) x d
Esimerkki 269
Esimerkki 272
Esimerkki 273
Esimerkki 277
Esimerkki 284
Harjoituksia 268, 271, 276, 278, 283, 287
13 - Aritmeettinen summa
Lasketaan aritmeettisen lukujonon n ensimmäistä jäsentä yhteen ja kirjoitetaan saatu summalauseke kahdella tavalla.
ja edelleen laskemalla lausekkeet puolittain yhteen
Jaetaan lopuksi saatu yhtälö puolittain kahdella jolloin saamme aritmeettisen summan lausekkeeksi:
Esimerkki
Laske 1+2+3+...+99+100.
Esimerkki 293
Esimerkki 297
Esimerkki 300, 301 (Summamerkintä)
Esimerkki 302
Harjoituksia 291, 296, 300, 301, 303, 310
14 - Geometrinen lukujono
Lukujonoa sanotaan geometriseksi jos sen peräkkäisten jäsenten suhde on vakio.
Esimerkki
Jono 1, 2, 4, 8, 16, … suhdeluku q=2
jono -1, 1, -1, 1, -1, … q=-1
Esimerkki: Selvitä geometrisen lukujonon 1, 2, 4, 8, … n. jäsen.
Suhdeluku saadaan peräkkäisten jäsenten suhteena
Jolloin
a1 = 1
a2 = 1 x 2
a3 = (1 x 2) x 2 = 1 x22
a4 = (1 x22) x 2 = 1 x23
a5 = (1 x23) x 2 = 1 x24
…
an = 1 x2n-1
Huom! Geometrisen jonon yleinen jäsen an = a1 x qn-1
Esimerkki 315
Esimerkki 318
Esimerkki 320
Harjoituksia 317, 321, 322, 325, 326 + 330
15 - Geometrinen summa
Kirjoitetaan ensin summa lausekkeet joista ensimmäisessä on laskettu yhteen n kappaletta geometrisen lukujonon jäseniä ja jälkimmäisessä sama summa on kerrottu luvulla q.
Vähennetään ylemmästä lausekkeesta puolittain alempi, jolloin saadaan
Tästä ottamalla yhteinen tekijä, yhtälö saa muodon
Josta edelleen jakamalla puolittain termillä 1 – q, saadaan geometrisen summan lauseke
Esimerkki
Laske summa 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 + 512.
Esimerkki 340
Esimerkki 343
Esimerkki 345
Harjoituksia 339, 341, 342, 344, 348, 354