MAA6 (MImm)

Derivaatta

Kurssiarvostellaan kurssikokeen pohjalta joka tehdään koeviikkolla. Lisäksi kurssin suorittaminen edellyttää aktiivista osallistumista tunneille.

Derivaatta



Huom! Funktion derivaatta kohdassa x0 on siis funktion kuvaajalla kyseiseen kohtaan asetetun tangentin kulmakerroin.

Funktion derivaatalla tarkoitetaan derivaattafunktiota, joka kertoo derivaatan arvon mielivaltaisessa pisteessä x. Derivaattaa merkitään useilla eri tavoin kuten Df, f’, dy/dx jne.

Esim. 157
Esim. 160
Esim. 163

Harjoituksia 159, 162, 165, 166, 171, 174

Polynomifunktion derivaatta



Esim. 181
Esim. 187

Funktioiden tulolle voidaan johtaa derivoimissääntö D(fg)=f’g+fg’.
Esim. 188

Harjoituksia 180, 182, 183, 186, 193, 199

Funktion kulku


Esim. Tutkitaan funktion f(x)=x2 kulkua.
Esim. Tutkitaan funktion f(x)=x3 kulkua.



Esimerkki 209
Esimerkki 212

Harjoituksia 203, 205, 207, 208, 220, 222

Funktion suurin ja pienin arvo

Jatkuvan funktion suljetulla välillä saamien arvojen joukossa on aina suurin ja pienin arvo. Lisäksi funktio saa tällä välillä kaikki arvot suurimman ja pienimmän väliltä. Avoimella välillä tai jos funktio on epäjatkuva, ei suurinta tai pienintä arvoa välttämättä ole.

Esimerkki 239
Esimerkki 241

Harjoituksia 227, 228, 229, 230, 234, 242

Tangentin yhtälö

Tangentti on käyrä joka sivuaa käyrää yhdessä pisteessä. Sen kulmakerroin voidaan määrittää derivaatan avulla.

Esimerkki 261
Esimerkki 265
Esimerkki 258

Harjoituksia 252, 254, 256, 267, 269

Osamäärän derivaatta


Esimerkki 287
Esimerkki 292
Esimerkki 285

Harjoituksia 273, 275, 278, 280 + rästitehtäviä

Rationaalifunktion kulku

Rationaalifunktioiden kulkua tutkiessa noudatetaan samoja periaatteita kuin polynomifunktioiden tapauksessa. Lisäksi tulee huomioida, että nimittäjän nollakohtiin muodostuu pystysuoria asymptootteja ja ne voivat osuessaan tarkasteluvälille vaikuttaa suurimman ja pienimmän arvon olemassa oloon.

Tapaus 1: Ei suurinta arvoa

Tapaus 2: Ei suurinta eikä pienintä arvoa

Tapaus 3: Ei pienintä arvoa


Esimerkki 304
Esimerkki 297

Harjoituksia 299, 303, 306, 307

Esimerkki 317
Esimerkki 321

Harjoituksia 309, 310, 318, 322