MAA3 (MImm)
Peruskäsitteitä
Kulma on kahden samasta pisteestä lähtevän puolisuoran rajaama tason osa. Kulmaa jonka suuruus on alle 90° sanotaan teräväksi ja yli 90° kulmaa sanotaan tylpäksi.
Esim.
Kulma alfa on terävä
Kulma A on suora
Kulma ABC on tylppä
Suorakulma on 90°, oikokulma 180° ja täysikulma 360°. Oikokulmaa pienemmät kulmat ovat koveria ja suuremmat kuperia.
Vieruskulmien summa on 180°. Kulmat ovat toistensa suplementtikulmia. Jos kulmien summa on 90° sanotaan kulmia komplementtikulmiksi ja jos kulmien summa on 360° eksplementtikulmiksi.
Ristikulmat ovat yhtä suuret
Samankohtaiset kulmat ovat yhtä suuret jos ja vain jos leikattavat suorat ovat yhdensuuntaiset.
Esimerkki 3
Esimerrki 10
Esimerrki 17
Harjoituksia 4, 5, 9, 11, 18, 24
Monikulmiot
Kolmion kulmien summa on 180°. Nelikulmio voidaan jakaa kahteen kolmioon joten sen kulmien summa on 360°. Viisikulmio voidaan jakaa kolmeen kolmioon joten kulmien summa on 540° jne.
Suunnikas on nelikulmio jonka vastakkaiset sivut ovat yhdensuuntaiset.
Esim.
Esimerkki 21
Esimerkki 29
Esimerkki 37
Esimerkki: yksikkömuunnoksia
Harjoituksia 26, 27, 31, 32, 34 + 40
Mittakaava
Kuviot jotka saadaan toisistaan siirtämällä, kiertämällä, peilaamalla tai kokoa muuttamalla ovat yhdenmuotoiset.
Huom! Jos yhdenmuotoisten kuvioiden vastinosat ovat yhtä pitkät (eli kokoa ei ole muutettu) sanotaan kuvioita yhteneviksi.
Esim. Kolmion peilaus pisteen suhteen
Yhdenmuotoisten kuvioiden vastinosien pituuksien suhdetta sanotaan mittakaavaksi.
Kolmiot ovat yhdenmuotoiset jos niissä on kaksi samaa kulmaa (kk).
Esim.
Kolmiot ovat yhden muotoiset koska niissä on kaksi samaa kulmaa a ja b (kk).
Tällöin vastinosien suhde on vakio eli
josta
Esimerkki 54
Esimerkki 63
Harjoituksia 49, 53, 55, 56, 58, 65
Pinta-alojen ja tilavuuksien suhde
A1=1
A2=4 kun sivu kaksinkertaistuu, pinta-ala nelinkertaistuu
A3=9 kun sivu kolminkertaistuu, pinta-ala yhdeksänkertaistuu
Yleistettynä: pinta-alojen suhde on mittakaavan neliö k2=A1/A2
Esimerkki 75
Esimerkki 79
V1=1
V2=8 kun sivu kaksinkertaistuu, tilavuus muuttuu 8 kertaiseksi
V3=27 kun sivu kolminkertaistuu, tilavuus muuttuu 27 kertaiseksi
Yleistettynä: tilavuuksien suhde on mittakaavan kuutio V1/V2=k3
Esimerkki 93
Harjoituksia 72, 76, 77, 81
Suorakulmainen kolmio
Suorakulmainen kolmio voidaan ratkaista trigonometrisilla funktioilla ja Pythagoraan lauseella
Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa
Pythagoraan lause
Kolmiot ovat yhdenmuotoisia. Suorakulma ja yhteinen kulma.
A3/A1=(a/c)2 eli A3=A1(a/c)2
A2/A1=(b/c)2 eli A2=A1(b/c)2
Ja nyt A1 = A2 + A3
A1 = A1(b/c)2 + A1(a/c)2
kerrotaan puolittain c2 ja jaetaan A1:lla.
Siis c2 = a2 + b2
Esimerkki 95
Esimerkki 106
Esimerkki 98
Harjoituksia 94, 96, 99, 102, 107, 110
Vinokulmainen kolmio
Koska
ja edelleen
niin kolmion pinta-alalle voidaan kirjoittaa
Esimerkki 115
Sinilause:
Esimerkki 122
Sinifunktio voidaan määritellä tylpille kulmille yksikköympyrän avulla niin että sinifunktion arvokulmalle a tarkoittaa kehäpisteen y-koordinaattia.
tällöin saamme tuloksen
Esimerkki 130
Harjoituksia 120, 121, 123, 124
Kosinilause
Ratkaistaan Pythagoraan lauseella h:n neliö vasemmasta pikkukolmiosta
ja vastaavasti oikeanpuoleisesta pikkukolmiosta
Jolloin saadaan
Edelleen termejä siirtelemällä saadaan
Huom! Tapaus jossa gamma on tylppä löytyy kirjasta.
Saatiin kosinilause, tunnetaan myös nimellä laajennettu Pythagoraan lause
Huom! Jos c2 = a2 + b2 on 
eli gamma on 90° ja kolmio suorakulmainen.
Esimerkki 136
Esimerkki 148
Esimerkki 152
Harjoituksia 135, 138, 141, 142, 150
Kolmioon liittyviä lauseita
Kolmion kulman puolittaja jakaa vastaisen sivun viereisten sivujen suhteeseen.
Todistus Kolmion kulman puolittaja jakaa alkuperäisen kolmion kahdeksi kolmioksi
Käytetään kuvan merkintöjä. Sovelletaan väritettyihin kolmioihin sinilausetta.
Jaetaan saadut yhtälöt puolittain.
siis; Kolmion kulman puolittaja jakaa vastaisen sivun viereisten sivujen suhteeseen.
Esimerkki 157
Esimerkki 170
Harjoituksia 156, 158, 160, 161
Ympyrä
Ympyrä on niiden pisteiden joukko jotka ovat säteen etäisyydellä ympyrän keskipisteestä.
Ympyrän kehän pituuden ja halkaisijan suhdetta sanotaan piiksi jolloin ympyrän piiri saadaan
p=πd,
missä d on halkaisijan pituus.
Kaksi sädettä rajaa sektorin ja jänne jakaa ympyrän kahteen segmenttiin.
Ympyrän pinta-ala saadaan A = πr2,
missä r on ympyrän säde.
Esimerkki 180
Esimerkki 189
Harjoituksia 176, 179, 182, 183, 184 + 185
Esimerkki 203
Esimerkki 208
Esimerkki 213
Harjoituksia 198, 199, 202, 207 + 217
Ympyrään liittyviä kulmia
Huom! Tangentti on aina kohtisuorassa ympyrän sädettä vastaan.
Esimerkki 221
Kehäkulma on puolet vastaavasta keskuskulmasta.
Huom! Samaa kaartaa vastaavat kehäkulmat yhtä suuria.
Huom! Puoliympyrää vastaava kehäkulma on suora.
Esimerkki 224
Esimerkki 225
Harjoituksia 218, 220, 223, 227+ 229, 230
Kulma avaruudessa
Esimerkki 250
Harjoituksia 241, 243, 248, 256
Avaruuskappaleet
Esimerkki 270
Esimerkki 272
Harjoituksia 261, 263, 264, 267
Esimerkki 292
Esimerkki 307
Harjoituksia 284, 285, 289, 304, 310 +282