1. Polynomi

Mikä on polynomi?

Polynomin määritelmä

Polynomiksi kutsutaan summalauseketta, jonka termien muuttujaosissa esiintyvät potenssit ovat kaikki ei-negatiivisia kokonaislukuja, eli lukuja [[$ \{0,1,2,...n\}$]]. Käytäntönä on, että korkeimman potenssin omaava termi kirjoitetaan ensimmäiseksi ja loput termit alenevassa potenssijärjestyksessä.

[[$a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_2 x^2 + a_1 x + a_0$]]

Esimerkki 1.

------------ Lauseke -----------polynomi?selitys
[[${3x^3+4x+2}$]]kyllä3. asteen trinomi
[[$-x^{100}$]]kyllä100. asteen monomi
[[$x^2+5$]]kyllä2. asteen binomi
[[$-9$]]kyllävakiotermi
[[$x^7-4x^4-99x^3+5x$]]kyllä7. asteen polynomi
[[$\frac{2}{x}+1$]]eimuuttuja on nimittäjässä, joten sen asteluku on -1
[[$\sqrt{x}$]]eimuuttujan potenssi on [[$\frac{1}{2}$]]
[[$axy^3+5ax+2a^2x^2y$]]kylläsummalauseke, jossa kokonaislukupotensseja
​

Polynomeihin liittyyvää sanastoa

  • Vakiotermi on se termi, jonka muuttujaosan potenssi on nolla. Koska [[$x^0=1$]], vakiotermin​
    lukuarvo ei riipu muuttujan arvosta. Esimerkiksi polynomin [[$x^2+4x+7$]] vakiotermi on [[$7$]].
  • Monomi tarkoittaa samaa kuin termi, eli lyhyin mahdollinen polynomi. Sisältää yhden kertoimen ja muuttujaosan, jonka potenssi on ei-negatiivinen kokonaisluku. Esimerkiksi [[$3x^7, 5x $]] ja [[$ -9$]] ovat monomeja.
  • Binomi tarkoittaa polynomia, jossa on kaksi termiä.
  • Trinomi tarkoittaa polynomia, jossa on kolme termiä.
  • Polynomin aste on suurin potenssi, joka polynomissa esiintyy. Esimerkiksi [[$-7x-2$]] on 1. asteen polynomi ja [[$2x^5-3x^2+7x-4$]] on 5. asteen polynomi.
  • Polynomin nollakohtia ovat ne muuttujan arvot, joilla polynomin arvo on nolla.

Esimerkki 2.
  • Trinomi [[$3x^4+2x+3$]] on 4. asteen polynomi.
  • Kaikki reaaliluvut ovat nollannen asteen monomeja.
  • Viidennen asteen polynomilla voi olla sievennetyssä muodossa korkeintaan kuusi termiä.

Polynomien nimeäminen

Kun polynomilausekkeelle annetaan nimi, sitä merkitään kirjaimella ja sulkeissa olevalla muuttujan symbolilla. Esimerkiksi lauseke [[$3x^2-2x+3$]] voitaisiin nimetä vaikkapa polynomiksi [[$P$]] seuraavasti:
[[$P(x)=3x^2-2x+3$]]
Merkintä [[$P(a)$]] tarkoittaa polynomin [[$P$]] arvoa, kun [[$x=a$]].

Esimerkki 3.
Olkoon polynomit [[$P(x)=3x^2+x$]] ja [[$Q(x)=2x+5$]].
Laske [[$P(3)+Q(-2)$]].

Ratkaisu:

[[$P(3)+Q(-2)=\underbrace{3\cdot 3^2+3}_{P(3)}+\underbrace{2\cdot(-2)+5}_{Q(-2)}=3\cdot9+3-4+5=31$]]
Vihje
Voit määritellä polynomin funktioksi symboliseen laskimeen ja viitata siihen antamallasi nimellä.
TI Nspire:
Casio Classpad II:
Määritellyt muuttujat tai funktiot voi poistaa käytön jälkeen komennolla:
DELVAR [nimi]