Teoria

Teksti

Esim. Sievennä

$e^0=1$

$\ln e=\log_ee=1$
$\ln1=0$

$\left(\frac{1}{4a^2}\right)^{-3}=\left(4a^2\right)^3=4^3a^6=64a^6$

c) Muuta murtopotenssiksi

$\frac{x}{\sqrt[]{x}}=\frac{x}{x^{\frac{1}{2}}}=x^{1-\frac{1}{2}}=x^{\frac{1}{2}}$

d) Muuta juurimuotoon

$x^{\frac{5}{2}}=\sqrt[]{x^5}=\sqrt[]{x^2\cdot x^2\cdot x^1}=x^2\sqrt[]{x}$

$x^{\frac{5}{2}}=x^{2\frac{1}{2}}=x^{2+\frac{1}{2}}=\text{x}^2\cdot x^{\frac{1}{2}}=x^2\sqrt[]{x}$

Esim. Derivoi $3xe^{4x}$

$D3xe^{4x}=3\cdot e^{4x}+3x\cdot e^{4x}\cdot4=3e^{4x}+12xe^{4x}$

- Juurifunktio $f\left(x\right)=n\sqrt[]{x}$

* jatkuva ja kasvava

* n parillinen: Määrittelyehto x≥0, arvojoukko ℝ+

* n pariton: Määritelty kaikilla x, arvojoukko koko ℝ

- Derivoidaan käyttämällä murtopotenssia

Esim.

$D\sqrt[4]{x}=x^{\frac{1}{4}}=\frac{1}{4}x^{\frac{1}{4}-1}=\frac{1}{4}x^{-\frac{3}{4}}=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}=\frac{1}{4\sqrt[4]{x^3}}$

- Parillisen juuriyhtälön ratkaisussa muistettava neliöönkorotusehto

Eim. Ratkaise yhtälö $\sqrt[]{x^2-1}=x+1$
$x^2-1\ge0$

$x^2-1=0$
$x^2=1$

$x^2=\pm1$

$x\le-1\ tai\ x\ge1$

Neiöön korotusehto:

$x+1\ge0$
$x\ge1$

Molemmat ehdot toteutuvat, kun $x=-1\ tai\ x\ge1$

$\sqrt[]{x^2-1}=x+1\ \ \ \ \ \left|\right|\left(\right)^2$

$x^2-1=\left(x+1\right)^2$

$x^2-1=x^2+2x+1$
$2x+2=0$
$2x=-2$
$x=-1$

- Verrannollisuus

Suuret x>0 ja y<0 ovat suoraan verrannolliset, jos

$\frac{y}{x}=k\ eli\ y=kx$

- Kääntäen verrannolliset, jos $yx=k\ eli\ y=\frac{k}{x}$

K=verrannollisuuskerroin

4.4 Logaritmifunktion derivaatta

Lause

$D\ln x=\frac{1}{x}{,}\ kun\ x>0$

$D\ln\left|x\right|=\frac{1}{x}{,}\ kun\ x\ne0$

Esim. Derivoi, kun x>0

$D2\ln x^3=D2\cdot3\ln x=6D\ln x=6\cdot\frac{1}{x}=\frac{6}{x}$

b)
$\ln\ \frac{7x}{3}$
$D\ln\ \frac{7x}{3}=D\ln\ \frac{7}{3}x=\frac{1}{\frac{7x}{3}}\cdot\frac{7}{3}=\left(\frac{7x}{3}\right)^{-1}\cdot\frac{7}{3}=\frac{3}{7x}\cdot\frac{7}{3}=\frac{1}{x}$

$\ln\left(3\sqrt[]{x}\right){,}\ u\left(x\right)=\ln x{,}\ u'\left(x\right)=\frac{1}{x}{,}\ s\left(x\right)=3\sqrt[]{x}=x^{\frac{1}{3}}{,}\ s'\left(x\right)=\frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}$

$D\ln\left(\sqrt[3]{x}\right)=\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}\cdot\frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}=x^{-\frac{1}{3}}\cdot\frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}=\frac{1}{3}\cdot\left(x^{^{-\frac{1}{3}+\left(-\frac{2}{3}\right)}}\right)=\frac{1}{3}\cdot x^{-1}=\frac{1}{3x}$

482.

$f\left(x\right)=\ln\left(x^3-x\right)$

$x^3-x>0{,}\ kun\ -1<x<0\ tai\ x>1\ \left(laskin\right)$

$f'\left(x\right)=\frac{1}{x^3-x}\cdot\left(3x^2-1\right)=\frac{3x^2-1}{x^3-x}$

Ratkaistaan derivaattafunktion nollakohdat

$x=\frac{-\sqrt[]{3}}{3}\ tai\ x=\frac{\sqrt[]{x}}{3}$
$x=-0{,}57735\ tai\ x=0{,}57735$

Ratkaisuista toteuttaa määrittelyehdon vain

$x=-\frac{\sqrt[]{3}}{3}\approx-0{,}577$
Laaditaan funktion f(x) kulkukaavio, Selvitetään kulkukaaviota varten derivaatan merkit testikohtien avulal. Nimetään f'(x)=g(x)

$g\left(2\right)=\frac{11}{6}$

$g\left(-0{,}1\right)=-9{,}79798$
$g\left(-0{,}7\right)=1{,}31653$

$\begin{array}{l|l} &-1&&-\frac{\sqrt[]{3}}{3}&&0&&1&\\ \hline f'\left(x\right)&&+&&-&&\setminus&&+\\ f\left(x\right)&&\nearrow&&\searrow&&\setminus&&\nearrow \end{array}$

Funktiolla on paikallinen maksimiarvo kohdassa

$x=-\frac{\sqrt[]{3}}{3}$

$f\left(-\frac{\sqrt[]{3}}{3}\right)=\frac{\ln\ \frac{4}{27}}{2}$

Sievennetään laskimen antaman tulos

$\frac{\ln\ \frac{4}{27}}{2}=\frac{1}{2}\cdot\ln\ \left(\frac{4}{27}\right)=\ln\ \left(\frac{4}{27}\right)^{\frac{1}{2}}=\sqrt[]{\frac{4}{27}}=\ln\ \frac{\sqrt[]{4}}{\sqrt[]{27}}=\ln\ \frac{2}{\sqrt[]{3\cdot9}}=\ln\ \frac{2}{3\sqrt[]{3}}$

Lause

$D\log_ax=\frac{1}{\ln a}\cdot\frac{1}{x}{,}\ kun\ x>0$

4.3 Logaritmifunktio ja -yhtälö

Lause

Olkoon a>0, a≠1.

Logaritmifunktio $\log_ax$ on määriteltty, kun x>0

- Sen arvojoukko on ℝ.

- Logaritmifunktio on jatkuva ja

* Kasvava, kun a>1

*Vähenevä, kun 0<a<1

Huom:

-Briggsin logaritmi: $\log_{10}x=\lg\ x$

-Binäärilogaritmi: $\log_2x=lb\ x$

Esim.

455. Määritä funktion määrittelyjoukko ja nollakohdat

$f\left(x\right)=\ln\left(x^2-3\right)$

Määrittelyjoukko

$x^2-3>0$
$x^2-3=0$
$x=\pm\sqrt[]{3}$
$x^2-3>0{,}\ kun\ x<-\sqrt[]{3}\ tai\ x>\sqrt[]{3}$

Nollakohdat

$f\left(x\right)=0$
$\ln\left(x^2-3\right)=0$
$\ln\left(x^2-3\right)=0\ \ \ \ \ \left|\right|\log_ax=y\ \leftrightarrow\ a^y=x$
$x^2-3=e^0$
$x^2-3=1$
$x^2=4$
$x=\pm2$

Esim. Ratkaise yhtälö

$\log_{0{,}5}2x=\log_{0{,}5}\left(3x-1\right)$

Määrittelyehto

$2x>0\ eli\ x>0$

$3x-1>0\ eli\ x>\frac{1}{3}$

On siis oltava

$x>\frac{1}{3}$

$\log_{0{,}5}2x=\log_{0{,}5}\left(3x-1\right)$

$2x=3x-1$
$-x=-1$
$x=1$

$3\ln x=\ln\left(x^3-x^2+1\right)$

Määrittelyehto

$x>0$ ja $x^3-x^2+1>0$
$x>-0{,}755\ \left(laskin\right)$

Siis

$x>0$

$3\ln x=\ln\left(x^3-x^2+1\right)$

$\ln x^3=\ln\left(x^3-x^2+1\right)$
$x^3=x^3-x^2+1$
$-x^2+1=0$
$x^2=1$
$x=\pm1$

Hylätään negatiivinen tulos

4.2 Luonnollinen logaritmi

Määritelmä

e-kantaista logaritmia luvusta x>0 kutstaan luonnolliseksi logaritmiksi. Merkitään

$\log_ex=\ln\ x$

Esim. Ratkaise yhtälö

$6e^x-24=0$
$e^x=4\ \ \ \ \ \left|\right|\log_ax=y\ \ \leftrightarrow\ \ a^y=x$
$x=\ln\ 4=\ln2^2=2\ln2$

$\ln\ x=-1$

$x=e^{-1}=\frac{1}{e}$

$e^{5x}-1000e^{2x}=0$

$e^{3x+2x}-1000e^{2x}=0$
$e^{3x}\cdot e^{2x}-1000e^{2x}=0$
$e^{2x}\left(e^{3x}-1000\right)=0$

Tulon nollasäännön nojalla

$e^{2x}=0\left(ei\ ratkaisua\right)$

tai

$e^{3x}-1000=0$

$e^{3x}=1000$

$3x=\ln\ 1000\ \ \ \ \ \left|\right|:3$
$x=\frac{\ln\ 1000}{3}=\frac{\ln10^3}{3}=\frac{3\ln10}{3}=\ln10$

Lause

Kun a, b>0 ja kantaluku k>0, k≠1, niin

$\log_ka=\log_kb\ \ \leftrightarrow\ \ a=b$

436. Lääkeaineen pitoisuus alussa 50 mg/l

pitoisuus alenee 30% tunnissa eli 0,7-kertaiseksi.

x tunnin kuluttua pitoisuus on

$50\cdot0{,}7^x$

Ratkaise milloi pitoisuus on 5% alkuperäisestä eli

$0{,}05\cdot50=2{,}5$

$50\cdot0{,}7^x=0{,}05\cdot50$
$0{,}7^x=0{,}05$

Tapa 1

$x=\log_{0{,}7}0{,}05\approx8{,}399$

Tapa 2

$0{,}7^x=0{,}05$

$\ln0{,}7^x=\ln0{,}05$
$x\ln0{,}7=\ln0{,}05$
$x=\frac{\ln0{,}05}{\ln0{,}7}\approx8{,}399$

Alkuperäisestä lääkeainepitoisuudesta on jälellä alle 5% 9 tunnin kuluttua.

Huom: Logaritmin kantaluku voidaan vaihtaa

$\log_ab=\frac{\log_cb}{\log_ca}$

Esim. Sievnnä

$\log_35+\log_925=\log_35+\frac{\log_325}{\log_39}=\log_3+\frac{\log_35^2}{2}=\log_35+\frac{2\log_35}{2}=\log_35+\log_35=2\log_35$

Lause

$Da^x=\left(\ln a\right)a^x{,}\ a>0$

Todistus

$e^{\ln a}=a$ , joten

$a^x=\left(e^{\ln a}\right)^x=e^{\left(\ln a\right)\cdot x}$

Nimetään

$f\left(x\right)=e^{\left(\ln a\right)\cdot x}$

$f\left(x\right)=u\left(s\left(x\right)\right){,}\ kun\ s\left(x\right)=\left(\ln a\right)\cdot x{,}\ u\left(x\right)=e^x$
$f'\left(x\right)=u'\left(s\left(x\right)\right)\cdot s'\left(x\right)=e^{\left(\ln a\right)x}\cdot\left(\ln a\right)=a^x\cdot\ln\left(a\right)$

siis

$Da^x=\left(\ln a\right)a^x$

4.1 Logaritmi

Määritelmä:

Olkoon

$a>0{,}\ a\ne1\ ja\ b>0$

a-kantainen logaritmi $\log_ab$ tarkoittaa lukua x, joka toteuttaa eksponenttiyhtälön $a^x=b$

Toisin sanoen

$a^x=b\ \leftrightarrow\ \log_ab=x$

Vastaa kysymykseen: ''Mihin potenssiin kantalukua a täytyy korottaa, että tulokseksi saadaan b?''

Logaritmin ominaisuuksia

$\log_a1=0\ \ \ \ \ \left|\left(a^{_0}=1\right)\right|$

$\log_aa=1\ \ \ \ \left|\left(a^1=a\right)\right|$

$\log_aa^x=x\ \ \ \ \ \left|a^x=a^x\right|$

$a^{\log_ax}=x$ |(logaritmin määritelmän nojalla)|

Huomautus

Jos logaritmin kantaluku on 10, merkitään

$\log_{10}^{ }x=\lg\ x\left(=\log\ x\right)$

Esim. Määritä

a) $\log_28$

$2^x=8$

$2^x=2^3$
$x=3$

On se luku, johon 2 pitää korottaa, jotta saadaa 8.

Koska $2^3=8$ , niin $\log_28=3$

b) $\log_5\frac{1}{5}$

Merkitään

$\log_5\frac{1}{5}=y$

$5^y=\frac{1}{5}$
$5^y=5^{-1}$
$y=-1$

Esim. Ratkaise yhtälö

$3^x=8$
$x=\log_38\approx1{,}89$

$2\cdot5^{3x}=30\ \ \ \ \ \left|\right|:2$
$5^{3x}=15$

$3x=\log_515\ \ \ \ \ \left|\right|:3$
$x=\frac{\log_515}{3}\approx0{,}56$

$\log_3x=4$
$x=3^4=81$
Lause

Olkoon a>0, a≠1. Kaikilla x>0 ja y>0 pätee

a)
$\log_a\left(xy\right)=\log_ax+\log_ay$

b)
$\log_a\frac{x}{y}=\log_ax-\log_ay$

c)
$\log_ax^r=r\log_ax$

Todistus: a) ks. Kirja s.99

Merkitään

$\log_ax=u\ \rightarrow\ a^u=x$

$\log_ay=v\ \rightarrow\ a^v=y$

Tällöin

b) $\log_a\frac{x}{y}=\log_a\frac{a^u}{a^v}=\log_aa^{u-v}=u-v=\log_ax-\log_ay$

c) $\log_ax^r=\log_a\left(a^u\right)^r=\log_aa^{ur}=ur=ru=r\log_ax$

Esim. Sievennä

$\log_42+\log_432=\log_4\left(2\cdot32\right)=\log_464=3$

koska
$4^3=64$

$\log_5\sqrt[7]{25}=\log_525^{\frac{1}{7}}=\frac{1}{7}\log_525=\frac{1}{7}\cdot2=\frac{2}{7}$

$\log_e3e^2=\log_e3+\log_ee^2=\log_e3+2\log_ee=\log_e3+2\cdot1=\log_e3+2$

3.2 Neperin luku ja eksponenttifunktion derivaatta

Tehtävä:

Tutki geogebralla onko olemassa kantalukua a, jolle eksponenttifunktio

$f\left(x\right)=a^x$

ja sen dervaattafunktio f' ovat täsmälleen samat.

V: On olemassa. Tämä luku on Neperin luku e=2,71828...

Lause

$D\ e^x=e^x$

Esim. Derivoi

a) $\frac{3e^x}{4}$

$D\ \frac{3e^x}{4}=\frac{3}{4}D\ e^x=\frac{3}{4}e^x$

b) $D\left(4e^{6x}+2e\right)$

$D\left(4e^{6x}+2e\right)=4D\ e^{6x}+2D\ e\ \ \ \ \ \left|\right|s\left(x\right)=6x{,}\ u\left(x\right)=e^x{,}\ s'\left(x\right)=6$

$=4\cdot e^{6x}\cdot6+0=24e^{6x}$

c) $D\left(-\frac{5}{e^x}\right)=-5\cdot D\ \frac{1}{e^x}=-5e^{-x}$

$D-5e^{-x}=-5\cdot e^{-x}\cdot-1=5e^{-x}=\frac{5}{e^x}$

d) $f\left(x\right)=2x^3e^x$ ja etsi paikalliset ääriarvokohdat.

$f'\left(x\right)=6x^2\cdot e^x+2x^3\cdot e^x=e^x\left(6x^2+3x^3\right)$

Derivaatan nollakohdat

$e^x=0$
$e^x\ne0$
$\left(e^x>0\ kaikilla\ x\ arvoilla\right)$

tai
$6x^2+2x^3=0$
$2x^2\left(3+x\right)=0$

$2x^2=0$
$x=0$

tai
$3+x=0$
$x=-3$

Selvitetään derivaatan f' merkit testipisteiden avulla.

$\begin{array}{l|l} x&f'\left(x\right)&merkki\\ \hline -4&-32e^{-4}&-\\ -1&4e^{-1}&+\\ 1&8e&+ \end{array}$

Kulkukaavio

$\begin{array}{l|l} &&-3&&0&\\ \hline f'\left(x\right)&-&&+&&+\\ f\left(x\right)&\searrow&&\nearrow&&\nearrow \end{array}$

Paikallinen minimikohta x=-3

(x=0 on terassikohta)

3.1 Eksoponentiaalinen muutos

Määritelmä

Funktio

$f\left(x\right)=a^x{,}\ a>0{,}\ a\ne1$ on eksponenttifunktio

- f(x) on jatkuva ja määritelty kaikilla x∈ℝ

- Arvojoukko ]0,∞[

- f(x) on kasvava, kun kantaluku a>1 ja vähenevä 0<a<1

314.

Turkin väkiluku kasvaa vuosittain 700 000:lla eli 0,7 miljoonalla henkilöllä. Tansanian väkiluku kasvaa vuosittain 3% eli tulee 1,03 kertaiseksi.

Taulukoidaan maiden väkilukuja

$\begin{array}{l|l} Vuosi&Turkki&Tansania\\ \hline 2013&75\ \left(milj.\right)&49\left(milj.\right)\\ 2014&75+0{,}7&49\cdot1{,}03\\ 2015&75+0{,}7+0{,}7=75+2\cdot0{,}7&49\cdot1{,}03\cdot1{,}03=49\cdot1{,}03^2\\ 2016&75+3\cdot0{,}7&49\cdot1.03^3\\ ...&&\\ 2013+x&75+x\cdot0{,}7&49\cdot1{,}03^x\\ && \end{array}$

Turkin väkilukua kuvaa lineaarinen malli

$f\left(x\right)=0{,}7x+75$

Tansanian väkilukua kuvaa eksponentiaalinen malli

$g\left(x\right)=49\cdot1{,}03^x$

x on aika vuosina vuodesta 2013

Väliluvut ovat yhtä suuret, kun on kulunut 20 vuotta vuodesta 2013 eli vuonna 2033

312

$3^x=\frac{1}{9}$

$3^x=\frac{1}{3^2}$
$3^x=3^{-2}$
$x=-2$

2.3 Sovelluksia

270.

Paraabelin pisteen P= (x,y) etäisyys origosta on

$d=\sqrt[]{\left(x-0\right)^2+\left(y-0\right)^2=\sqrt[]{x^2+y^2}}$

Piste P on paraabelilla, joten

$y=3x-5x^2$
$d=\sqrt[]{x^2+\left(3x-5x^2\right)^2}{,}\ d\ge0\ kaikilla\ x\in\mathbb{R}$
$d=\sqrt[]{25x^4-30x^3+10x^2}$

Etäisyys on suurin, kun juurrettava on suurin. Tutkitaan funktion

$f\left(x\right)=25x^4-30x^3+10x^2$

Kulkua derivaattafunktion avulla

$f'\left(x\right)=100x^3-90x^2+2x$ (laskin)

Funktio f on jatkuva välillä [ $0{,}\ \frac{1}{2}$ ] ja dervoituva välillä ] $0{,}\ \frac{1}{2}$ [. Funktio f saa suurimman arvonsa välin päätepisteissä tai välillä olevissa derivaatan nollakohdissa.

Ratkaistaan derivaatan nollakohdat laskimella

$f'\left(x\right)=0$ , kun x=0 tai $x=\frac{2}{5}$ tai $x=\frac{1}{2}$

Laketaan funktion f arvot derivaatan nollakohdissa ja välin [ $0{,}\ \frac{1}{2}$ ] päätepisteissä

$f\left(0\right)=0$

$f\left(\frac{2}{5}\right)=\frac{8}{25}\approx0{,}32$

$f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{5}{16}\approx0{,}3125$

Pisteen P y-koordinaatti, kun x= $\frac{2}{5}$

$y=3\cdot\frac{2}{5}-5\cdot\left(\frac{2}{5}\right)^2=\frac{2}{5}$

V: Piste ( $\frac{2}{5}{,}\ \frac{2}{5}$ ) on kauimpana origosta

1.3 Murtopotenssi

Määritelmä

Kun a>0 ja n=2,3,4, ... ,niin $a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}$

Määritelmä

Olkoon a>0, m kokonaisluku ja n= 2,3,4, ... Tällöin

$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}=\left(\sqrt[n]{a}\right)^m$

Esim. Esitä murtopotenssia käyttäen.

$\sqrt[]{7^2}=7^{\frac{2}{2}}=7$

$2\sqrt[5]{2^3}=2\cdot2^{\frac{5}{3}}=2^{1+\frac{5}{3}}=2^{\frac{8}{5}}$

$\frac{3}{\sqrt[8]{9}}=\frac{3}{9^{\frac{1}{8}}}=3\cdot\frac{1}{9^{\frac{1}{8}}}=3\cdot9^{-\frac{1}{8}}=3\cdot\left(3^2\right)^{-\frac{1}{8}}=3^1\cdot3^{^{-\frac{1}{4}}}=3^{^{\frac{3}{4}}}$

$\frac{2\sqrt[]{x}}{3x^2}=\frac{2x^{\frac{1}{2}}}{3x^2}=\frac{2}{3}\cdot\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^2}=\frac{2}{3}x^{\frac{1}{2}-2}=\frac{2}{3}x^{-\frac{3}{2}}$

Esim. Esitä juurimerkijtää käyttäen, kun x>0

$x^{\frac{1}{4}}=\sqrt[4]{x}$

$x^{-\frac{5}{2}}=\frac{1}{x^{\frac{5}{2}}}=\frac{1}{\sqrt[5]{x}}=\frac{1}{\sqrt[]{x^2\cdot x^2\cdot x}}=\frac{1}{\sqrt[]{x^2}\cdot\sqrt[]{x^2}\cdot\sqrt[]{x}}=\frac{1}{x^2\sqrt[]{x}}$

Esim. Sievennä

$\sqrt[5]{-\frac{1}{32}}=\frac{\sqrt[5]{-1}}{\sqrt[5]{32}}\ \ \ \ \ \left|\right|Osamäärän\ juuri:\ \sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$
$=\frac{-1}{\sqrt[5]{2^5}}=-\frac{1}{2}$

$\sqrt[4]{4}=\sqrt[4]{2\cdot2}\ \ \ \ \ \left|\right|Tulon\ juuri:\ \sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}$

$=\sqrt[4]{2}\cdot\sqrt[4]{2}=2^{\frac{1}{4}}\cdot2^{\frac{1}{4}}=2^{\frac{1}{2}}=\sqrt[]{2}$