4.3 Logaritmifunktio ja -yhtälö

Lause

Olkoon a>0, a≠1.

Logaritmifunktio $\log_ax$ on määriteltty, kun x>0

- Sen arvojoukko on ℝ.

- Logaritmifunktio on jatkuva ja

* Kasvava, kun a>1

*Vähenevä, kun 0<a<1

Huom:

-Briggsin logaritmi: $\log_{10}x=\lg\ x$

-Binäärilogaritmi: $\log_2x=lb\ x$

Esim.

455. Määritä funktion määrittelyjoukko ja nollakohdat

b)

$f\left(x\right)=\ln\left(x^2-3\right)$

Määrittelyjoukko

$x^2-3>0$
$x^2-3=0$
$x=\pm\sqrt[]{3}$
$x^2-3>0{,}\ kun\ x<-\sqrt[]{3}\ tai\ x>\sqrt[]{3}$

Nollakohdat

$f\left(x\right)=0$
$\ln\left(x^2-3\right)=0$
$\ln\left(x^2-3\right)=0\ \ \ \ \ \left|\right|\log_ax=y\ \leftrightarrow\ a^y=x$
$x^2-3=e^0$
$x^2-3=1$
$x^2=4$
$x=\pm2$

Esim. Ratkaise yhtälö

a)

$\log_{0{,}5}2x=\log_{0{,}5}\left(3x-1\right)$

Määrittelyehto

$2x>0\ eli\ x>0$

ja

$3x-1>0\ eli\ x>\frac{1}{3}$

On siis oltava

$x>\frac{1}{3}$

$\log_{0{,}5}2x=\log_{0{,}5}\left(3x-1\right)$

$2x=3x-1$
$-x=-1$
$x=1$

b)

$3\ln x=\ln\left(x^3-x^2+1\right)$

Määrittelyehto

$x>0$ ja $x^3-x^2+1>0$
$x>-0{,}755\ \left(laskin\right)$

Siis

$x>0$

$3\ln x=\ln\left(x^3-x^2+1\right)$

$\ln x^3=\ln\left(x^3-x^2+1\right)$
$x^3=x^3-x^2+1$
$-x^2+1=0$
$x^2=1$
$x=\pm1$

Hylätään negatiivinen tulos