Teksti

Esim. Sievennä

a)

$e^0=1$

$\ln e=\log_ee=1$
$\ln1=0$

b)

$\left(\frac{1}{4a^2}\right)^{-3}=\left(4a^2\right)^3=4^3a^6=64a^6$

c) Muuta murtopotenssiksi

$\frac{x}{\sqrt[]{x}}=\frac{x}{x^{\frac{1}{2}}}=x^{1-\frac{1}{2}}=x^{\frac{1}{2}}$

d) Muuta juurimuotoon

$x^{\frac{5}{2}}=\sqrt[]{x^5}=\sqrt[]{x^2\cdot x^2\cdot x^1}=x^2\sqrt[]{x}$

$x^{\frac{5}{2}}=x^{2\frac{1}{2}}=x^{2+\frac{1}{2}}=\text{x}^2\cdot x^{\frac{1}{2}}=x^2\sqrt[]{x}$

Esim. Derivoi $3xe^{4x}$

$D3xe^{4x}=3\cdot e^{4x}+3x\cdot e^{4x}\cdot4=3e^{4x}+12xe^{4x}$

- Juurifunktio $f\left(x\right)=n\sqrt[]{x}$

* jatkuva ja kasvava

* n parillinen: Määrittelyehto x≥0, arvojoukko ℝ+

* n pariton: Määritelty kaikilla x, arvojoukko koko ℝ

- Derivoidaan käyttämällä murtopotenssia

Esim.

$D\sqrt[4]{x}=x^{\frac{1}{4}}=\frac{1}{4}x^{\frac{1}{4}-1}=\frac{1}{4}x^{-\frac{3}{4}}=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}=\frac{1}{4\sqrt[4]{x^3}}$

- Parillisen juuriyhtälön ratkaisussa muistettava neliöönkorotusehto

Eim. Ratkaise yhtälö $\sqrt[]{x^2-1}=x+1$
$x^2-1\ge0$

$x^2-1=0$
$x^2=1$

$x^2=\pm1$

$x\le-1\ tai\ x\ge1$

Neiöön korotusehto:

$x+1\ge0$
$x\ge1$

Molemmat ehdot toteutuvat, kun $x=-1\ tai\ x\ge1$

$\sqrt[]{x^2-1}=x+1\ \ \ \ \ \left|\right|\left(\right)^2$

$x^2-1=\left(x+1\right)^2$

$x^2-1=x^2+2x+1$
$2x+2=0$
$2x=-2$
$x=-1$

- Verrannollisuus

Suuret x>0 ja y<0 ovat suoraan verrannolliset, jos

$\frac{y}{x}=k\ eli\ y=kx$

- Kääntäen verrannolliset, jos $yx=k\ eli\ y=\frac{k}{x}$

K=verrannollisuuskerroin