2.3 Sovelluksia

270.

Paraabelin pisteen P= (x,y) etäisyys origosta on

$d=\sqrt[]{\left(x-0\right)^2+\left(y-0\right)^2=\sqrt[]{x^2+y^2}}$

Piste P on paraabelilla, joten

$y=3x-5x^2$
$d=\sqrt[]{x^2+\left(3x-5x^2\right)^2}{,}\ d\ge0\ kaikilla\ x\in\mathbb{R}$
$d=\sqrt[]{25x^4-30x^3+10x^2}$

Etäisyys on suurin, kun juurrettava on suurin. Tutkitaan funktion

$f\left(x\right)=25x^4-30x^3+10x^2$

Kulkua derivaattafunktion avulla

$f'\left(x\right)=100x^3-90x^2+2x$ (laskin)

Funktio f on jatkuva välillä [ $0{,}\ \frac{1}{2}$ ] ja dervoituva välillä ] $0{,}\ \frac{1}{2}$ [. Funktio f saa suurimman arvonsa välin päätepisteissä tai välillä olevissa derivaatan nollakohdissa.

Ratkaistaan derivaatan nollakohdat laskimella

$f'\left(x\right)=0$ , kun x=0 tai $x=\frac{2}{5}$ tai $x=\frac{1}{2}$

Laketaan funktion f arvot derivaatan nollakohdissa ja välin [ $0{,}\ \frac{1}{2}$ ] päätepisteissä

$f\left(0\right)=0$

$f\left(\frac{2}{5}\right)=\frac{8}{25}\approx0{,}32$

$f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{5}{16}\approx0{,}3125$

Pisteen P y-koordinaatti, kun x= $\frac{2}{5}$

$y=3\cdot\frac{2}{5}-5\cdot\left(\frac{2}{5}\right)^2=\frac{2}{5}$

V: Piste ( $\frac{2}{5}{,}\ \frac{2}{5}$ ) on kauimpana origosta