4.2 Luonnollinen logaritmi

Määritelmä

e-kantaista logaritmia luvusta x>0 kutstaan luonnolliseksi logaritmiksi. Merkitään

$\log_ex=\ln\ x$

Esim. Ratkaise yhtälö

$6e^x-24=0$
$e^x=4\ \ \ \ \ \left|\right|\log_ax=y\ \ \leftrightarrow\ \ a^y=x$
$x=\ln\ 4=\ln2^2=2\ln2$

$\ln\ x=-1$

$x=e^{-1}=\frac{1}{e}$

$e^{5x}-1000e^{2x}=0$

$e^{3x+2x}-1000e^{2x}=0$
$e^{3x}\cdot e^{2x}-1000e^{2x}=0$
$e^{2x}\left(e^{3x}-1000\right)=0$

Tulon nollasäännön nojalla

$e^{2x}=0\left(ei\ ratkaisua\right)$

tai

$e^{3x}-1000=0$

$e^{3x}=1000$

$3x=\ln\ 1000\ \ \ \ \ \left|\right|:3$
$x=\frac{\ln\ 1000}{3}=\frac{\ln10^3}{3}=\frac{3\ln10}{3}=\ln10$

Lause

Kun a, b>0 ja kantaluku k>0, k≠1, niin

$\log_ka=\log_kb\ \ \leftrightarrow\ \ a=b$

436. Lääkeaineen pitoisuus alussa 50 mg/l

pitoisuus alenee 30% tunnissa eli 0,7-kertaiseksi.

x tunnin kuluttua pitoisuus on

$50\cdot0{,}7^x$

Ratkaise milloi pitoisuus on 5% alkuperäisestä eli

$0{,}05\cdot50=2{,}5$

$50\cdot0{,}7^x=0{,}05\cdot50$
$0{,}7^x=0{,}05$

Tapa 1

$x=\log_{0{,}7}0{,}05\approx8{,}399$

Tapa 2

$0{,}7^x=0{,}05$

$\ln0{,}7^x=\ln0{,}05$
$x\ln0{,}7=\ln0{,}05$
$x=\frac{\ln0{,}05}{\ln0{,}7}\approx8{,}399$

Alkuperäisestä lääkeainepitoisuudesta on jälellä alle 5% 9 tunnin kuluttua.

Huom: Logaritmin kantaluku voidaan vaihtaa

$\log_ab=\frac{\log_cb}{\log_ca}$

Esim. Sievnnä

$\log_35+\log_925=\log_35+\frac{\log_325}{\log_39}=\log_3+\frac{\log_35^2}{2}=\log_35+\frac{2\log_35}{2}=\log_35+\log_35=2\log_35$

Lause

$Da^x=\left(\ln a\right)a^x{,}\ a>0$

Todistus

$e^{\ln a}=a$ , joten

$a^x=\left(e^{\ln a}\right)^x=e^{\left(\ln a\right)\cdot x}$

Nimetään

$f\left(x\right)=e^{\left(\ln a\right)\cdot x}$

$f\left(x\right)=u\left(s\left(x\right)\right){,}\ kun\ s\left(x\right)=\left(\ln a\right)\cdot x{,}\ u\left(x\right)=e^x$
$f'\left(x\right)=u'\left(s\left(x\right)\right)\cdot s'\left(x\right)=e^{\left(\ln a\right)x}\cdot\left(\ln a\right)=a^x\cdot\ln\left(a\right)$

siis

$Da^x=\left(\ln a\right)a^x$