Jaollisuus ja jakoyhtälö

Jaollisuus

Luku a on jaollinen luvulla b, jos löytyy sellainen luku c, että

$a=c\cdot b\ \ \left(\frac{a}{b}=c\right){,}\ tässä\ a{,}\ b\ ja\ c\ ovat\ kokonaislukuja\ \left(merkitään\ a{,}b{,}c\in\mathbb{Z}\right)$

Sanotaan myös, että b on a:n tekijä tai b jakaa a:n.

$esim\ \ \ 21=3\cdot7\ \ \left(\frac{21}{7}=3\right){,}\ mutta\$

21 ei ole jaollinen luvulla 5, sillä
$\frac{21}{5}=4+\frac{1}{5}\ \left(=4\frac{1}{5}\right)$

Lukuteoriassa tämä merkitään jakoyhtälön muotoon eli ylläoleva yhtälö kerrotaan luvulla 5

$21=4\cdot5+1$

Huom!

$Parillisia\ lukuja\ merkitään\ yleisesti\ 2n\ ja\ parittomia\ 2n+1\ \left(2n-1\right){,}\ n\in\mathbb{Z}$

Jakoyhtälö

Kun luku a jaetaan luvulla b (luvut ovat kokonaislukuja, jossa b on jakaja ja a jaettava), saadaan

$\frac{a}{b}=q+\frac{r}{b}{,}\ jossa\ myös\ q\ \ ja\ \ r\in\mathbb{Z}$

Kun tämä yhtälö kerrotaan b:llä saadaan jakoyhtälö

$a=q\cdot b+r{,}\ \ 0\le r\le b-1$ (r on jakojäännös)

Jos luku jaetaan luvulla 5 (=b) niin r voi saada arvot 0, 1, 2, 3 tai 4

Lukuteoriassa käytetään usein jakoyhtälöä tälläkin kurssilla.

$jos\ r=0\ niin\ a=q\cdot b\ \ eli\ a\ on\ jaollinen\ b:llä$

esimerkkejä

a) kun luku 37 jaetaan luvulla 5, saadaan jakoyhtälö

$37=7\cdot5+2$

b) kun luku 1828 jaetaan luvulla 6, saadaan jakoyhtälö

$1828=304\cdot6+4$

Kotitehtävät: 109, 204, 205 ja 206

Lukujärjestelmät

Kymmenlukujärjestelmän luku 3861 ajatellaan muodostuvan seuraavasti

$3861\ =\ 3\cdot10^3+8\cdot10^2+6\cdot10^1+1\cdot10^0$

Vastaavasti esim 7-järjestelmän luku ajatellaan muodostuvan seuraavasti, esim

$6532_7=6\cdot7^3+5\cdot7^2+3\cdot7^1+2\cdot7^0=2326_{10}$

Kymmenjärjestelmän luvun muuttaminen johonkin toiseen lukujärjestelmään onnistuu helposti jakoyhtälön avulla

esim. Muutetaan 10-järjestelmän luku 7943 6-järjestelmän luvuksi: Jaetaan 10 järjestelmän luku 6:lla, josta kirjoitetaan jakoyhtälö.

$7943=1323\cdot6+5{,}\ \ nyt\ edelleen\ 1323\ jaetaan\ 6:lla$

$1323=220\cdot6+3{,}\ \ nyt\ 220\ jaetaan\ 6:lla$
220 = 36 * 6 + 4
$36=6\cdot6+0$
$6=1\cdot6+0$
$1=0\cdot6+1$

Nyt 6-järjestelmän luku muodostuu jakojäännöksistä, kun ne luetaan lopusta alkuun päin eli

$7943_{10}=100435_6=1\cdot6^5+0\cdot6^4+0\cdot6^3+4\cdot6^2+3\cdot6+5\left(\cdot6^0\right)$

"Pienet 10-järjestelmän luvut" on suhteellisen helppo muuttaa binäärijärjestelmään (2-lukujärjestelmä) päättelemällä esim

$87_{10}=1\cdot2^{^6}+0\cdot2^5+1\cdot2^4+0\cdot2^3+1\cdot2^2+1\cdot2^1+1\cdot2^0=1010111_2$

16-lukujärjestelmän luvuissa voivat esiintyä jakojäännökset 10 - 15, joita merkitään aakkosten alkupään kirjaimilla eli

10 =A, 11 = B, 12 = C, 13 = D, 14 = E ja 15 = F

$16-järjestelmän\ luku\ voi\ olla\ esim\ ABBA$

$ABBA_{16}=10\cdot16^3+11\cdot16^2+11\cdot16+10\cdot16^0=43962_{10}$

Kotitehtävät: 215, 217 ja 222

Teoriaa lukujärjestelmistä

Kymmen- eli desimaalijärjestelmässä kaikki luvut esitetään numeroita 0, 1, 2, ... , 8, 9 käytäen. Numeron paikka
luvussa ilmaisee eri kantaluvun 10 potenssin kerrointa, joista viimeinen numero on 10^0 kerroin.

$Esimerkiksi\ luku\ 2508=2\cdot10^3+5\cdot10^2+0\cdot10^1+8\cdot10^0$

Lukuja voidaan esittää myös muissa lukujärjestelmässä esimerkiksi oktaali- eli 8-lukujärjestelmässä, jossa esiintyy
vain numeroita 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 tai 7.

$Esimerkiksi\ 8-järjestelmän\ luku\ 1234\ =1\cdot8^3+2\cdot8^2+3\cdot8^1+4\cdot8^0\$

eli se koostuu eri kantaluvun 8 potenssien kertoimista. Tämä 8-järjestelmän luku voidaan helposti laskimella
laskien muuttaa kymmenjärjestelmän luvuksi eli

$1234_8=1\cdot8^3+2\cdot8^2+3\cdot8^1+4\cdot8^0=668_{10}\ \left(alaindeksi\ kuvaa\ kantalukua\right)$

Tehtävä, jossa apuvälineenä on laskin

Muuta 6-järjestelmän luku 12433 kymmenjärjestelmän luvuksi.
Tämä luku on lukon koodi, jolla pääsette luokasta pois.