Tehtävät

Laskulappu

MAA13Laskulappu.ods

4.2

428

$f\left(2{,}3\right)=2^3-3^2+5=8-9+5=4$

$f\left(-2{,}1\right)=\left(-2\right)^3-1^2+5=-8-1+5=-4{,}\ On$

$f\left(3{,}-1\right)=3^3-\left(-1\right)^2+5=9-1+5=13{,}\ Ei\ ole$

z-akselilla x- ja y-koordinaatti ovat 0.

$f\left(0{,}0\right)=0^3-0^2+5=5$

Kuvaaja leikkaa z-akselin pisteessä (0, 0, 5).

430

$f\left(6{,}-10\right)=-18$
$f\left(14{,}-5\right)=-15{,}\ Suurempi$

$f\left(10{,}-10\right)=-20$

$Esim.\ f\left(6{,}-15\right){,}\ f\left(8{,}-15\right){,}\ f\left(10{,}-15\right)$

434

$D_xf\left(x{,}y\right)=3-0+0=3$

$D_yf\left(x{,}y\right)=0-7+0=-7$

439

442

448

4.1

403

$y=2x+4$
$x=\frac{y-4}{2}=\frac{y}{2}-2=\frac{1}{2}y-2$

Sijoitetaan y:n paikalle x, funktiot ovat tällöin täsmälleen samat

joten ne ovat toistensa käänteisfunktiot.

$y=\sqrt[]{x+1}$

$y^2=x+1$
$x=y^2-1$
$x^2-1\ne x^2+1$

funktit eivät ole toistensa käänteisfunktiot

405

a) 4

b) 1

c) x=-1

d) x=2

e) -1

412

Funktio f kuvaaja on suora, jonka kulmakerroin on 0,5. Funktio on kasvava, joten se saa pienimmän arvonsa kohdassa x=0.

f(0)=2

Funktio ei saavuta suurinta arvoaan, mutta saavuttaa kasvavuuden ja jatkuvuuden peusteella kaikki arvot lukuun $\lim_{x\rightarrow6}f\left(x\right)=5$ saakka.

Funktion f arvojoukko on [2,5[

$y=0{,}5x+2$
$x=f^{-1}\left(x\right)=\frac{y-2}{0{,}5}=\frac{1}{0{,}5}y-\frac{2}{0{,}5}=2y-4{,}\ 0\le x<6$

Käänteisfunktion määrittelyjoukko on sama kuin funktion f arvojoukko

c) Käänteisfunktio arvojoukko on funktion f määrittelyjoukko, eli [0,6[

413
$y=\frac{x+2}{x-3}$
$y\left(x-3\right)=x+2$
$x+2=yx-3y$
$x-yx=-3y-2$
$x\left(1-y\right)=-3y-2$
$x=\frac{-3y-2}{1-y}$
$x=\frac{3y-2}{y-1}$
$\lim_{x\rightarrow3+}\frac{x+2}{x-3}=\infty$
$\lim_{x\rightarrow3-}\frac{x+2}{x-3}=\frac{x\left(1+\frac{2}{x}\right)}{x\left(1-\frac{3}{x}\right)}=\frac{1+0}{1-0}=1$

Jatkuvan ja vähenevän funktion f arvojoukko on ]1, ∞[, joten tämä on käänteisfunktion määrittelyjoukko.

$f^{-1}\left(x\right)=\frac{3x+2}{x-1}{,}\ x>1$

$f^{-1}\left(f\left(x\right)\right)=\frac{3x+2}{x-1}=\frac{3\cdot\frac{x+2}{x-3}+2}{\frac{x+2}{x-3}-1}=\frac{3\cdot\frac{x+2}{x-3}-2\cdot\frac{x-3}{x-3}}{\frac{x+2}{x-3}-\frac{x-3}{x-3}}=\frac{\frac{5x}{x-3}}{\frac{5}{x-3}}=\frac{5x}{5}=x$

416

a) Koska $f'\left(x\right)=5x^4+3x^2+1>0$ kaikkialla, funktio on kasvava ja sillä on käänteisfunktio.

b) $f^{-1}\left(-2\right)=-1$ , koska $f\left(-1\right)=-2$

c) $\left(f^{-1}\right)'\left(-2\right)=\frac{1}{f'\left(-1\right)}=\frac{1}{5\cdot\left(-1\right)^4+3\cdot\left(-1\right)^2+1}=\frac{1}{9}$

d) Tangentin kulmakerroin on derivaatan arvo, eli $\frac{1}{9}$

3.2

331

$f\left(x\right)=\begin{cases} \frac{1}{x^4}{,}&kun\ x<-1\ tai\ x>1\\ a{,}&\ kun\ -1\le x\le1 \end{cases}$

Jotta f(x) olisi tiheysfunktio , on oltava f(x)≥0

$x^4\ge0$ kaikilla x. Siten $\frac{1}{x^4}>0$ , kun x < -1 tai x > 1

Lisäksi valitaan a siten, että a ≥ 0, kun -1 ≤ x ≤ 1.

Jotta f(x) olisi tiheysfnktio, on myös oltava

$\int_{-\infty}^{\infty}f\left(x\right)dx=1$

$\int_{-\infty}^{\infty}f\left(x\right)dx=\int_{-\infty}^{-1}\frac{1}{x^4}dx+\int_{-1}^1adx+\int_1^{\infty}\frac{1}{x^4}dx$

$=\lim_{t\rightarrow\infty}\int_t^{-1}x^{-4}dx+\int_{-1}^1adx+\lim_{s\rightarrow\infty}\int_1^sx^{-4}dx$

$=\lim_{t\rightarrow-\infty}\bigg/_{\!\!\!\!\!t}^{-1}-\frac{1}{3x^3}+\bigg/_{\!\!\!\!\!{-1}}^1ax+\lim_{s\rightarrow\infty}\bigg/_{\!\!\!\!\!1}^3-\frac{1}{3x^3}$

$=\lim_{t\rightarrow-\infty}\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{3t^2}\right)+\left(a-a\left(a\cdot-1\right)\right)+\lim_{s\rightarrow\infty}\left(-\frac{1}{3s^3}+\frac{1}{3}\right)$
$=\frac{1}{3}+a+a+\frac{1}{3}=\frac{2}{3}+2a$

$\frac{2}{3}+2a=1$
$2a=1-\frac{2}{3}$
$a=\frac{1}{6}$

Tällöin

$f\left(x\right)\begin{cases} \frac{1}{x^4{,}}&kun\ x<-1\ tai\ x>1\\ \frac{1}{6}{,}&kun\ -1\le x\le1 \end{cases}$
$P\left(0\le X\le2\right)=\int_0^2f\left(x\right)dx$
$=\int_0^1\frac{1}{6}dx+\int_1^2\frac{1}{x^4}dx$

$=\frac{11}{24}\approx0{,}46$

332

$f\left(t\right)\begin{cases} 6\left(0{,}25-\left(t-1{,}5\right)^2\right){,}&kun\ 1\le t\le2\\ 0&muualla \end{cases}$

Merkitään todennäköisyyttä, että vähintään 1300 tuntia,

$P\left(X\ge1{,}3\right)$
$P\left(X\ge1{,}3\right)=\int_{1{,}3}^{\infty}f\left(t\right)dt$

$=\int_{1{,}3}^2f\left(t\right)dt+\int_2^{\infty}f\left(t\right)dt$
$=\int_{1{,}3}^26\left(0{,}25-\left(t-1{,}5\right)^2dt+\ \int_2^{\infty}0dt\right)$
$=0{,}784$

Todennäköisyys on noin 0,78

333

$F\left(x\right)=P\left(X\le x\right)=\int_{-\infty}^xf\left(t\right)dt$

$f\left(x\right)\begin{cases} 0{,}&kun\ x\le1\\ \frac{1}{2x\sqrt[]{x}}{,}&kun\ x>1 \end{cases}$

Kun x≤1, niin

$\int_{-\infty}^xf\left(t\right)dt=\int_{-\infty}^x0dt=0$

Kun x>1, niin

$\int_{-\infty}^xf\left(t\right)dt=\ \int_{-\infty}^1f\left(t\right)dt+\int_1^xf\left(t\right)dt=0+\int_1^x\frac{1}{2t\sqrt[]{t}}dt=\bigg/_{\!\!\!\!\!1}^x-\frac{1}{\sqrt[]{t}}=\frac{\sqrt[]{x}-1}{\sqrt[]{x}}=1-\frac{1}{\sqrt[]{x}}$

$F\left(x\right)\begin{cases} 0{,}&kun\ x\le1\\ 1-\frac{1}{\sqrt[]{x}}{,}&kun\ x>1 \end{cases}$

$P\left(X\ge4\right)=1-F\left(4\right)=1-\left(1-\frac{1}{\sqrt[]{4}}\right)=\frac{1}{2}$

$P\left(-1<X\le2{,}25\right)=F\left(2{,}25\right)-F\left(-1\right)=1-\frac{1}{\sqrt[]{2{,}25}}-0=\frac{1}{3}$

335

$F\left(x\right)=P\left(X\le x\right)=\int_{-\infty}^xf\left(t\right)dt$

$f\left(x\right)\begin{cases} \frac{1}{2}-\frac{1}{8}x{,}&kun\ 0\le x\le4\\ 0&mulloin \end{cases}$

Kun x≤0, niin

$\int_{-\infty}^xf\left(t\right)dt=\int_{-\infty}^x0dt$

Kun 0≤x≤4

$\int_{-\infty}^xf\left(t\right)dt=\int_{-\infty}^0f\left(t\right)dt+\int_0^xf\left(t\right)dt$

336

338

3.1

305
Lasketaan eri puolien pinta-alojen raja-arvot

Koska funktio ei ole määritelty kohdassa x ≤ 0, pinta-ala saadaan seuraavasti

$\lim_{t\rightarrow0}\int_t^1\frac{1}{4\sqrt[]{x}}dx=\lim_{t\rightarrow0}\int_t^1\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}dx=\lim_{t\rightarrow0}\int_t^1x^{-\frac{1}{4}}dx=\lim_{t\rightarrow0}\bigg/_{\!\!\!\!\!t}^1\frac{4}{3}x^{\frac{3}{4}}=\lim_{t\rightarrow0}\left(\frac{4}{3}-\frac{4}{3}t^{\frac{4}{3}}\right)=\frac{4}{3}-0=\frac{4}{3}$

$\lim_{i\rightarrow\infty}\int_1^i\frac{1}{\sqrt[4]{x}}dx=\lim_{i\rightarrow\infty}\int_1^i\frac{1}{^{x^{\frac{1}{4}}}}dx=\lim_{i\rightarrow\infty}\int_1^ix^{-\frac{1}{4}}dx=\lim_{i\rightarrow\infty}\bigg/_{\!\!\!\!\!1}^i\frac{4}{3}x^{\frac{3}{4}}=\lim_{i\rightarrow\infty}\left(\ \frac{4}{3}i^{\frac{3}{4}}-\frac{4}{3}\right)=\infty$

Ensimmäinen pinta-ala on äärellinen, toinen on ääretön

306

$V=\pi\int_0^{\ t}\left(\frac{1}{\sqrt[]{e^x}}\right)^2dx=\pi\int_0^{\ t}\frac{1}{e^x}dx=\pi\int_0^{\ t}\frac{1}{e^x}dx=\pi\int_0^{\ t}e^{-x}dx=\pi\bigg/_{\!\!\!\!\!0}^t-e^{-x}$
$=\pi\left(-e^{-t}-\left(-e^0\right)\right)=\pi\left(1-\frac{1}{e^t}\right)$

$\pi\left(1-\frac{1}{e^t}\right)\rightarrow\pi\left(1-0\right)=\pi$

310

Kuvaaja on x-akselin alapuolella, joten pinta-ala on integraalin vastaluku

$-\int_0^1\frac{x^2-1}{\sqrt[]{x}}dx=\lim_{t\rightarrow0+}\int_t^1\frac{x^2-1}{\sqrt[]{x}}dx$

$=-\lim_{t\rightarrow0+}\int_t^1\frac{x^2}{\sqrt[]{x}}-\frac{1}{\sqrt[]{x}}dx$

$=-\lim_{t\rightarrow0+}\int_t^1\left(x^{\frac{3}{2}}-x^{-\frac{1}{2}}\right)dx$

$=-\lim_{t\rightarrow0+}\bigg/_{\!\!\!\!\!t}^1\left(\frac{2}{5}x^{\frac{5}{2}}-2x^{\frac{1}{2}}\right)dx$

$=-\lim_{t\rightarrow0+}\bigg/_{\!\!\!\!\!t}^1\left(\frac{2}{5}x^2\sqrt[]{x}-2\sqrt[]{x}\right)dx$

$=-\lim_{t\rightarrow0+}\left(\frac{2}{5}\cdot1-2\cdot1-\left(\frac{2}{5}t^2\sqrt[]{t}-2\sqrt[]{t}\right)\right)$
$=-\left(\frac{2}{5}-2-0\right)$
$=1\frac{3}{5}$

$\int_{-1}^1\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}dx=\int_{-1}^0\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}dx+\int_0^1\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}dx$

$=\lim_{t\rightarrow0-}\int_{-1}^tx^{-\frac{2}{3}}dx+\lim_{t\rightarrow0+}\int_t^1x^{-\frac{2}{3}}dx$

$=\lim_{t\rightarrow0-}\bigg/_{\!\!\!\!\!{-1}}^t3x^{\frac{1}{3}}+\lim_{t\rightarrow0+}\bigg/_{\!\!\!\!\!t}^13x^{\frac{1}{3}}$

$=\lim_{t\rightarrow0-}\bigg/_{\!\!\!\!\!{-1}}^t3\sqrt[3]{x}+\lim_{t\rightarrow0+}\bigg/_{\!\!\!\!\!t}^13\sqrt[3]{x}$

$=\lim_{t\rightarrow0-}\left(3\sqrt[3]{t}-3\sqrt[3]{1}\right)+\lim_{t\rightarrow0+}\left(3\sqrt[3]{1}-3\sqrt[3]{t}\right)dx$

$=3\cdot0-3\cdot\left(-1\right)+3\cdot1-3\cdot0$

$=6$

313

316

319

2.4

265

$q=\frac{12}{48}=\frac{1}{4}$

|q|=0,25<1, lukujono suppenee.

$\sum_{k=1}^{\infty}a_k=\frac{a_1}{1-q}=\frac{48}{1-\frac{1}{4}}=\frac{48}{\frac{3}{4}}=64$

$q=-\frac{3}{9}=-\frac{1}{3}$

|q|=1/3<1, lukujono suppenee.

$\sum_{k=1}^{\infty}a_k=\frac{a_1}{1-q}=\frac{9}{1-\left(-\frac{1}{3}\right)}=\frac{27}{4}$

$q=\frac{6}{2}=3$
|q|=3>1, lukujono hajaantuu.

266

$a_1=\left(\frac{1}{2}\right)^{1-1}=1$

$a_2=\left(\frac{1}{2}\right)^{2-1}=\frac{1}{2}$

$a_3=\left(\frac{1}{2}\right)^{3-1}=\frac{1}{4}$

$q=\frac{\frac{1}{2}}{1}=\frac{1}{2}$

|q|=1/2<1, lukujono suppenee.

$S=\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2$

$a_1=4\cdot\left(\frac{3}{2}\right)^0=4\cdot1=4$

$a_2=4\cdot\left(\frac{3}{2}\right)^1=4\cdot\frac{3}{2}=6$
$a_3=4\cdot\left(\frac{3}{2}\right)^2=4\cdot\frac{9}{4}=9$
$q=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$

|q|=3/2>1, lukujono ei suppene.

$a_1=0{,}3^{1-1}=1$

$a_2=0{,}3^{2-1}=0{,}3$
$a_3=0{,}3^{3-1}=0{,}09$

$q=\frac{0{,}3}{1}=0{,}3$

|q|=0,3<1, lukujono suppenee.

$S=\frac{1}{1-0{,}3}=\frac{1}{0{,}7}=\frac{10}{7}$

267

$1{,}555...=1+0{,}555=1+5\cdot0{,}1+5\cdot0{,}01+5\cdot0{,}001+...$

$=1+5\cdot0{,}1^1+5\cdot0{,}1^2+5\cdot0{,}1^3+...$

$S=\frac{0{,}5}{1-0{,}1}=\frac{5}{9}$

Siis

$1{,}555...=1+0{,}5+0{,}55+0{,}555...=1+\frac{5}{9}=\frac{14}{9}$

$3{,}2121...\ =3+0{,}2121=3+0{,}21+0{,}0021+...$

$=3+21\cdot0{,}01+21\cdot0{,}0001+...$
$=3+21\cdot0{,}01+21\cdot0{,}01^2+...$

Sarja $21\cdot0{,}01+21\cdot0{,}01^2+...$ on geometrinen, jossa

$a_1=0{,}21\ ja\ q=0{,}01$

Koska -1 < q < 1, sarja suppenee. Sarjan summa on

$S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{0{,}21}{1-0{,}01}=\frac{0{,}21}{0{,}99}=\frac{21}{99}$
$3{,}2121...=3+\frac{21}{99}=\frac{318}{99}^{\text{(}3}=\frac{106}{33}$

269

a) Sarja on geometrinen sarja, jonka suhdeluku q=x. Sarja suppenee, kun -1<x<1.

Jotta sarja suppenee, tulee olla −1 < x < 1. Tällöin

$S=\frac{1}{1-x}$
$\frac{1}{1-x}=x+3$
$1=\left(x+3\right)\left(1-x\right)$
$1=-x^2+x+3-3x=-x^2-2x+3$
$x^2+2x-2=0$

$x=-1+\sqrt[]{3}\approx0{,}73\ tai\ x=-1-\sqrt[]{3}<-1$ (Laskin)

Vain ratkaisu $x=-1+\sqrt[]{3}$ kelpaa yhtälön ratkaisuksi.

271

$S=\frac{a_1}{1-q}$
$q=\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{-\frac{2}{5}}{1}=-\frac{2}{5}$
$S=\frac{1}{1-\left(-\frac{2}{5}\right)}=\frac{5}{7}$

$S=\frac{a_1}{1-q}$

$q=\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{-1}{-4}=\frac{1}{4}$
$S=\frac{-4}{1-\frac{1}{4}}=-\frac{16}{3}$

$S=\frac{a_1}{1-q}$

$q=\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\frac{2}{9}}{\frac{1}{6}}=\frac{4}{3}$
$S=\frac{\frac{1}{6}}{1-\frac{4}{3}}=-\frac{1}{2}$

273

$a_1=1$

$q=1-x$

Jotta sarjalla olisi summa, sen tulee olla suppeneva, eli −1 < q < 1.

-1 < 1-x <1

-2 < -x < 0

0 < x < 2

$S=\frac{1}{1-\left(1-x\right)}=\frac{1}{x}$

$\frac{1}{x}=2x+1$

$1=2x^2+x$
$2x^2+x-1=0$

$x=-1\ tai\ x=\frac{1}{2}$

Yhtälön ratkaisu x = 1/2 täyttää suppenemisehdon.

275

Pallon kulkema matka on:

$1+2\cdot0{,}75\cdot1+2\cdot0{,}75\cdot0{,}75\cdot1+...$

$=1+2\cdot0{,}75+2\cdot0{,}75^2+...$

$a_1=2\cdot0{,}75=1{,}5m$
$q=0{,}75$

$S=\frac{1{,}5}{1-q}=\frac{1{,}5m}{1-0{,}75}=6{,}0m$

$1{,}0m+6{,}0m=7{,}0m$

276

$\sum_{n=1}^{\infty}=\frac{2}{3^n}=\sum_{n=1}^{\infty}2\cdot\frac{1}{3^n}=\sum_{n=1}^{\infty}2\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^n$

Sarja on geometerinen sarja, missä $a_1=\frac{2}{3}$ ja $q=\frac{1}{3}$ .

Sarja suppenee, kun -1 < q < 1. Joten summaksi saadaan

$S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{\frac{2}{3}}{1-\frac{1}{3}}=\frac{\frac{2}{3}}{\frac{2}{3}}=1$

Lasketaan sarjan n ensimmäisen jäsenen geometrinen summa.

$S_n=a_1\cdot\frac{1\cdot q^n}{1-q}=\frac{2}{3}\cdot\frac{1-\left(\frac{1}{3}\right)^n}{1-\frac{1}{3}}=1-\left(\frac{1}{3}\right)^n$

$1-\left(1-\left(\frac{1}{3}\right)^n\right)\le0{,}001$

$1-1+\left(\frac{1}{3}\right)^n\le0{,}001$

$\left(\frac{1}{3}\right)^n\le\frac{1}{1000}$
$\log_{\frac{1}{3}}\frac{1}{1000}=n$
$n=6.2877098228685\approx7$

Pitää laskea vähinttäin 7 jäsentä yhteen.

278

Suhdeluku ei ole 2/3 vaan $q=\frac{a_2}{a_1}=\frac{-\frac{1}{2}}{-\frac{1}{3}}=\frac{3}{2}$ . Koska suhdeluku on suurempi kuin yksi(3/2>1), sarja ei suppene, vaan hajaantuu. Sarjalle ei voi laskea summaa, kuten ratkaisuyrityksessä on tehty.

280

a)
$a_1=\frac{1}{1+1}-\frac{1}{1+2}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$

$a_2=\frac{1}{2+1}-\frac{1}{2+2}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=\frac{1}{12}$

$a_3=\frac{1}{3+1}-\frac{1}{3+2}=\frac{1}{4}-\frac{1}{5}=\frac{1}{20}$
$a_4=\frac{1}{4+1}-\frac{1}{4+2}=\frac{1}{5}-\frac{1}{6}=\frac{1}{30}$

$a_5=\frac{1}{5+1}-\frac{1}{5+2}=\frac{1}{6}-\frac{1}{7}=\frac{1}{42}$

$S_5=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=\frac{5}{14}$

$S_n=\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)+...+\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)+\left(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}\right)$

$=\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2}=\frac{n+2}{2\left(n+2\right)}-\frac{2}{2\left(n+2\right)}=\frac{n}{2n+4}$

$S_n=\frac{n}{2n+4}=\frac{1}{2+\frac{4}{n}}\rightarrow\frac{1}{2+0}=\frac{1}{2}{,}\ kun\ n\rightarrow\infty$

281

$a_n=\frac{n}{2n+1}=\frac{1}{2+\frac{1}{n}}\rightarrow\frac{1}{2+0}=\frac{1}{2}$

Koska yleisen termin raja-arvo ei ole 0, sarja ei suppene.

282
a)

$S_n=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}=\frac{n+2}{n\left(n+2\right)}-\frac{n}{n\left(n+2\right)}=\frac{2}{n\left(n+2\right)}=\frac{\frac{2}{n^2}}{n^2\left(1+\frac{2}{n}\right)}\rightarrow\frac{0}{1+0}=0{,}\ kun\ n\rightarrow\infty$

Sarja voi olla suppeneva, määitetään n:n ensimmäisen jäsenen summa

$S_n=\left(1-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right)+\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{6}\right)+...\left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}\right)+\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}\right)$

$1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}=\frac{2\left(n+1\right)\left(n+2\right)+\left(n+1\right)\left(n+2\right)-2\left(n+2\right)-2\left(n+1\right)}{2\left(n+1\right)\left(n+2\right)}$
$=\frac{2n^2+6n+4+n^2+3n+2-2n-4-2n-2}{2\left(n+1\right)\left(n+2\right)}$
$=\frac{3n^2+5n}{2n^2+6n+4}$
$=\frac{3+\frac{5}{n}}{2+\frac{6}{n}+\frac{4}{n^2}}\rightarrow\frac{3+0}{2+0+0}=\frac{3}{2}{,}\ kun\ n\rightarrow\infty$
b)

$S_n=\left(-1\right)^n\frac{3n+1}{2n}$

Takastellaan yhteenlaskettavien termien osaa $\frac{3n+1}{2n}$

$\frac{3n+1}{2n}=\frac{3+\frac{1}{n}}{2}\rightarrow\frac{3+0}{2}=\frac{3}{2}{,}\ kun\ n\rightarrow\infty$

Yhteenlaskettavat luvut $a_n$ eivät lähesty nollaa, joten sarja ei suppene.
c)

Määritetään yhteenlaskettavan $a_n$ raja-arvo

$\ln\frac{n+1}{n}=\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)\rightarrow\ln\left(1+0\right)=\ln1=0$

Yleisen termin raja-arvo on 0, joten sarja voi supeta

$S_n=\ln\frac{n+1}{n}=\ln\left(n+1\right)-\ln n$

$=\left(\ln2-\ln1\right)+\left(\ln3-\ln2\right)+\left(\ln4-\ln3\right)$
$=-\ln1+\ln\left(n+1\right)\rightarrow\ln\left(n+1\right)=\infty$

Sarja ei suppene

2.3

243

a) On geometrinen lukujono, jossa $a_1=-2{,}\ q=3$ , lukujono hajaantuu, koska q=3>1

b) On geometrinen, koska jonon n:s jäsen on muotoa $a_n=bq^n{,}\ missä\ b=5{,}\ q=-0{,}65$ , lukujono suppenee, kun q=-0,65, q∈]-1,1].

$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\left(\frac{5}{4}\right)^{\left(n+1\right)-1}}{\left(\frac{5}{4}\right)^{n-1}}=\frac{\left(\frac{5}{4}\right)^n}{\left(\frac{5}{4}\right)^{n-1}}=\left(\frac{5}{4}\right)^{n-n-1}=\frac{5}{4}$

Lukujonon peräkkäisten jäsenten suhde on vakio, joten lukujono on geometrinen. Suhdeluku q = 5/4. Lukujono ei suppene eli lukujono hajaantuu, koska q > 1.

245

$\frac{16}{15}=1{,}0666...\approx1{,}07$ Suhdeluku |q|=1,07>1, lukujono hajaantuu.

$q=\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{-\frac{1}{2}a_n}{a_n}=-\frac{1}{2}$ Suhdeluku |q|= 1/2<1, lukujono suppenee.

$q=-1{,}5$ Suhdeluku |q|=1,5>1, lukujono hajaantuu.

246
a)
$q=\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\left(-0{,}75\right)^{n+1}}{\left(-0{,}75\right)^n}=\left(-0{,}75\right)^{n+1-n}=-0{,}75<1$
Suhdeluku |q|=0,75<1, lukujono suppenee.
$\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=0$
b)
$q=\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{3\cdot0{,}5^{\left(n+1\right)-1}}{3\cdot0{,}5^{n-1}}=\frac{0{,}5^n}{0{,}5^{n-1}}=0{,}5^{n-\left(n-1\right)}=0{,}5<1$
Suhdeluku |q|=0,5<1, lukujono suppenee.
$\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=0$

$q=\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{-5\cdot2{,}5^{n+1}}{-5\cdot2{,}5^n}=2{,}5^{\left(n+1\right)-n}=2{,}5>1$

Suhdeluku |q|=2,5>1, lukujono hajaantuu, joten sillä ei ole raja-arvoa.

ei ole raja-arvoa

$q=\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\left(-0{,}25\right)^{n+2+1}}{\left(-0{,}25\right)^{n+2}}=\frac{\left(-0{,}25\right)^{n+3}}{\left(-0{,}25\right)^{n+2}}=\left(-0{,}25\right)^{n-n+3-2}=-0{,}25<1$
Suhdeluku |q|=0,25<1, lukujono suppenee.
$\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=0$

$q=\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{4\cdot\left(-1\right)^{n+1+1}}{4\cdot\left(-1\right)^{n+1}}=\frac{\left(-1\right)^{n+2}}{\left(-1\right)^{n+1}}=\left(-1\right)^{n-n+2-1}=-1$

Suhdeluku |-1|=1=1

$\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=a_1=4\cdot\left(-1\right)^{1+1}=4\cdot\left(-1\right)^2=4$

Lukujono on 4, −4, 4, −4, 4, …, ei raja-arvoa

f)
$a_n\rightarrow\infty$

Ei raja-arvoa

248

$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{2n+1+1}{2n+1}=\frac{2n+2}{2n+1}=\frac{2}{1}=2$

Suhdeluku |q|=2>1, lukujono hajaantuu.

Lukujono on geomterinen

ei ole raja-arvoa

$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{5\cdot\left(\frac{e}{\pi}\right)^{n+1-1}}{5\cdot\left(\frac{e}{\ \pi}\right)^{n-1}}=\frac{5\cdot\left(\frac{e}{\pi}\right)^{n-1}-\left(\frac{e}{\pi}\right)^1}{\left(\frac{e}{\pi}\right)^{n-1}}=\frac{e}{\pi}$

Suhdeluku |q|≈087<1, lukujono suppenee.

Lukujono on geomterinen
$\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=0$

$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\left(\sqrt[]{2}\ \right)^{n+1-1}}{\left(\sqrt[]{2}\right)^{n-1}}=\frac{\left(\sqrt[]{2}\right)^n}{\left(\sqrt[]{2}\right)^{n-1}}=\left(\sqrt[]{2}\right)^{n-n-1}=\left(\sqrt[]{2}\right)^{-1}=\frac{\sqrt[]{2}}{2}$

Suhdeluku |q|≈0,71<1, lukujono suppenee.

Lukujono on geomterinen
$\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=0$

$a_n=\frac{2n-1}{n+1}$

$a_1=\frac{2n-1}{n+1}{,}\ a_2=\frac{3}{3}=1{,}\ a_3=\frac{5}{4}$

Lukujono ei ole geometrinen, koska peräkkäisten jäsenten suhde ei ole vakio.

$a_n=\frac{2n-1}{n+1}=\frac{n\left(2-\frac{1}{n}\right)}{n\left(1+\frac{1}{n}\right)}\rightarrow\frac{2-0}{1+0}=\frac{2}{1}=2$

Lukujonon raja-arvo on 2.

249

Harrastelija voi tietää todeksi väitteen: Lukujono ei ole monotoninen. Lukujonossa a1 > a2, mutta a2 < a3, joten lukujono ei voi olla monotoninen. Kahta muuta ei voi laskujen perusteella tietää todeksi.

Osoitetaan, että lukujono on geometrinen, laskemalla lukujonon peräkkäisten termien suhde.

$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\frac{12}{\left(-2\right)^{n+1-1}}}{\frac{12}{\left(-2\right)^{n-1}}}=\frac{12}{\left(-2\right)^n}\cdot\frac{\left(-2\right)^{n-1}}{12}=\left(-2\right)^{n-1-n}=\left(-2\right)^{-1}=-\frac{1}{2}$

Lukujonon peräkkäisten termien suhde on vakio, joten lukujono on geometrinen.

$a_n=\frac{12}{\left(-2\right)^{n-1}}=12\cdot\frac{1}{\left(-2\right)^{n-1}}=12\cdot\frac{1^{n-1}}{\left(-2\right)^{n-1}}\rightarrow12\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}=12\cdot0=0{,}\ \ kun\ n\rightarrow\infty\$

Raja-arvo on 0

250

$0{,}9^{n+1}=0{,}9^n\cdot0{,}9$

Kun positiivinen luku kerrotaan lukua 1 pienemmällä positiivisella luvulla, sen arvo pienenee, eli se on lähempänä nollaa.

$1{,}1^{n+1}=1{,}1^n\cdot1{,}1$

Kun positiivinen luku kerrotaan lukua 1 suuremmalla positiivisella luvulla, sen arvo kasvaa, eli se on etäämpänä nollasta.
c)

a- ja b-kohtien perusteella, kun positiivista lukua kerrotaan lukua 1 pienemmällä positiivisella luvulla, sen arvo pienenee ja raja-arvo on 0. Vastaavasti kun lukua kerrotaan lukua 1 suuremmalla positiivisella luvulla, sen arvo kasvaa rajatta.

251

$\frac{9}{6}=\frac{3}{2}$

$a_n=9\cdot\left(\frac{3}{2}\right)^{n-1}$

Lukujono on vähenevä, koska −1 < q < 1, eli lukujono on monotoninen.

252

2.2

224

$a_n=n-n^2$

Lukujono on

1. kasvava, jos $a_{n+1}>a_n$ kaikialla n=1,2,3, ...

2. vähenevä, jos $a_{n+1}<a_n$ kaikialla n=1,2,3,...

Koska kyseessä olevassa funktiossa yritetään vähentämään n² n:stä, ja n² on melkein aina suurempi kuin n(paitsi lukujonon ensimmäinen jäsen 1, silloin n²=1²=1)

Näin ollen funktio on vähenevä kaikialla, ja se on monotoninen.

$n-n^2=n^2\left(\frac{1}{n}-1\right)\rightarrow\infty\left(0-1\right)=-\infty{,}\ kun\ n\rightarrow\infty$

Funktio ei suppenee, se hajantuu.

225

$a_n=\frac{n}{2n+1}$

$a_{n+1}-a_n$

$=\frac{n+1}{2\left(n+1\right)+1}-\frac{n}{2n+1}$
$=\frac{n+1}{2n+2+1}-\frac{n}{2n+1}$
$=\frac{n+1}{2n+3}-\frac{n}{2n+1}$
$=\frac{\left(2n+1\right)\left(n+1\right)-\left(2n+3\right)n}{\left(2n+3\right)\left(2n+1\right)}=\frac{2n^2+n+2n+1-2n^2-3n}{\left(2n+3\right)\left(2n+1\right)}=\frac{1}{\left(2n+3\right)\left(2n+1\right)}$

Koska n≥1, 2n+3>0 ja 2n+1>0, joten $a_{n+1}-a_n>0$ ja lukujono on kasvava.

$\frac{a_{n+1}}{a_n}$
$=\frac{\frac{n+1}{2\left(n+1\right)+1}}{\frac{n}{2n+1}}$

$=\frac{n+1}{2n+3}\cdot\frac{2n+1}{n}$

$=\frac{2n^2+3n+1}{2n^2+3n}=1+\frac{1}{2n^2+3n}$

Koska n≥1, 2n+3>0 ja 2n+1>0, joten $a_{n+1}-a_n>0$ ja lukujono on kasvava.

c) $\frac{n}{2n+1}=\frac{n\cdot1}{n\left(2+\frac{1}{n}\right)}\rightarrow\frac{1}{2+\frac{1}{n}}=\frac{1}{2+0}=\frac{1}{2}{,}\ kun\ n\rightarrow\infty$

226

A–I, B–ei kumpikaan, C–II, D–ei kumpikaan, E–I

228

Tarkaistellaan lukujonon tyyppiä laskemalla kahden peräkkäisten jäsennen erotusta

$a_{n+1}-a_n$

$=\left(1-2\left(n+1\right)\right)-\left(1-2n\right)$
$=\left(1-2n+2\right)-\left(1-2n\right)$
$=1-2n-2-1+2n=-2$
Lukujono on aritmeettien

Koska peräkkäisten jäsenten erotus on negatiivinen, lukujono on vähenevä, eli se on monotoninen.

Kun n→∞, $a_n=1-2n\rightarrow-\infty$ . Lukujono hajaantuu.

Tarkaistellaan lukujonon tyyppiä laskemalla kahden peräkkäisten jäsennen erotusta
$a_{n+1}-a_n$

$=2+\left(-1\right)^{n+1}-\left(2+\left(-1\right)^n\right)$

$=\left(-1\right)^n\left(-1\right)-\left(-1\right)^n=-\left(-1\right)^n\cdot1-\left(-1\right)^n$

$=-\left(-1\right)^n-\left(-1\right)^n$
$=-2\left(-1\right)^n$

Lukujono ei ole aritmeettinen, koska kahden peräkkäisten jäsenten erotus ei ole vakio.

Lukujonon peräkkäisten jäsenten erotuksen merkki riippuu siitä, onko n parillinen vai pariton. Lukujono ei ole monotoninen.

Lukujono on 2, −2, 2, −2, 2, …, joten lukujono ei suppene.

Tarkaistellaan lukujonon tyyppiä laskemalla kahden peräkkäisten jäsennen erotusta
$a_{n+1}-a_n$

$=\left(\left(n+1\right)-\frac{1}{n+1}\right)-\left(n-\frac{1}{n}\right)$
$=n+1-\frac{1}{n+1}-n+\frac{1}{n}=1-\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n}$
$=1-\frac{n}{n\left(n+1\right)}+\frac{n+1}{n\left(n+1\right)}$
$=1+\frac{-n+n+1}{n\left(n+1\right)}=1+\frac{1}{n\left(n+1\right)}$

Peräkkäisten jäsenten erotus ei ole vakio, joten lukujono ei ole aritmeettinen. Koska n ≥ 1, peräkkäisten jäsenten erotus on aina positiivinen. Lukujono on kasvava, eli se on monotoninen. Kun n→∞, $a_n=n-\frac{1}{n}\rightarrow\infty$ . Lukujono hajaantuu.

230
a)
$a_n=e^{\frac{1}{n}}\rightarrow e^0=1{,}\ kun\ n\rightarrow\infty$
$\frac{a_{n+1}}{a_n}$
$=\frac{e^{\frac{1}{n+1}}}{e^n}=e^{\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}}=e^{\frac{n-\left(n+1\right)}{n\left(n+1\right)}}=e^{-\frac{1}{n\left(n+1\right)}}=\frac{1}{e^{\frac{1}{n\left(n+1\right)}}}$
Koska n ≥ 1, $\frac{1}{n\left(n+1\right)}>0{,}\ jolloin\ e^{\frac{1}{n\left(n+1\right)}}>1\ ja\ \frac{1}{e^{\frac{1}{n\left(n+1\right)}}}<1.$ Lukujono on vähenevä eli monotoninen.

$a_n=\sqrt[n]{2^{n+1}}=2^{\frac{n+1}{n}}\rightarrow2^{1+\frac{1}{n}}=2^{1+0}=2{,}\ kun\ n\rightarrow\infty$

$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{2^{\frac{n+2}{n+1}}}{2^{\frac{n+1}{n}}}=2^{\frac{n+2}{n+1}-\frac{n+1}{n}}=2^{\frac{n\left(n+2\right)-\left(n+1\right)^2}{n\left(n+1\right)}}=2^{\frac{n^2+2n-n^2-2n-1}{n\left(n+1\right)}}=2^{-\frac{1}{n\left(n+1\right)}}=\frac{1}{2^{\frac{1}{n\left(n+1\right)}}}$
Koska n ≥ 1, $\frac{1}{n\left(n+1\right)}>0{,}\ jolloin\ 2^{\frac{1}{n\left(n+1\right)}}>1\ ja\ \frac{1}{2^{\frac{1}{n\left(n+1\right)}}}<1.$

Lukujono on vähenevä eli monotoninen.

233

Tarkastellaan funktiota

$f\left(x\right)=\sqrt[]{x^2+1}-x{,}\ x\ge1$

$f'\left(x\right)=\frac{x}{\sqrt[]{x^2+1}}-1{,}\ x>1$

Ratkaistaan derivaatan nollakodat

$\frac{x}{\sqrt[]{x^2+1}}-1=0$
$\frac{x}{\sqrt[]{x^2+1}}=1$

$x=\sqrt[]{x^2+1}$
$x^2=x^2+1$
$0=1$

Deivaatalla ei ole nollakohtia. Derivaatan merkki ei vaihdu määrittelyjoukossa x>1

$f'\left(2\right)=\frac{2}{\ \sqrt[]{5}}-1<0$

Derivaatan merkki on negatiivinen, joten funktio f on vähenevä

Vastaava lukujono on myös vähenevä, joten lukujonon ensimmäinen säsen on suurin

Nyt

$a_1=\sqrt[]{1^2+1}-1=\sqrt[]{2}-1$

$a_n=\sqrt[]{n^2+1}-n=\sqrt[]{n^2\left(1+\frac{1}{n^2}\right)}-n=n\left(\sqrt[]{1+\frac{1}{n^2}}-1\right)\rightarrow0{,}\ kun\ n\rightarrow\infty$

Koska n ≥ 1, niin $\sqrt[]{1+\frac{1}{n^2}}>1\$ ja $\ \sqrt[]{1+\frac{1}{n^2}}-1>0$ . Lukujonon kaikki arvot ovat positiivisia. Lukujonon jäsenet ovat hyvin lähellä nollaa ja positiivisia.

236

$a_n=\frac{n+10}{n!}$

$a_{n+1}-a_n=\frac{\left(n+1\right)+10}{\left(n+1\right)!}-\frac{n+10}{n!}$

$=\frac{n+11}{\left(n+1\right)n!}-\frac{n+10}{n!}$

$=\frac{n+11-\left(n+1\right)\left(n+10\right)}{\left(n+1\right)n!}$
$=\frac{n+11-n^2-11n-10}{\left(n+1\right)!}$

$=\frac{-n^2-10n+1}{\left(n+1\right)!}$

Koska n ≥ 1, (n+1)!>0

Tutkitaan osoittajan -n²-10n+1 merkkiä

$-n^2-10n+1=0$

$n\approx-10{,}1\ tai\ n\approx0{,}1$

Kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli. Kun n ≥ 1, lausekkeen -n²-10n+1 merkki on negatiivinen.

Lukujonon kahden peräkkäisen termin erotus on siis negatiivinen, joten lukujono on vähenevä.

241
$a_n=\frac{n^4}{2^n}{,}\ n=1{,}\ 2{,}\ 3{,}...$

Tarkstellaan funktiota

$f\left(x\right)=\frac{x^4}{2^x}$
$f'\left(x\right)=\frac{4x^3\cdot2^x-x^4\cdot2^x\cdot\ln2}{\left(2^x\right)^2}=\frac{2^x\cdot x^3\left(4-x\ln2\right)}{2^{2x}}=\frac{x^3\left(4-x\ln2\right)}{2^x}$

Koska x ≥1, niin x³ > 0 ja $2^x>0$ , joten derivaatan merkki riippuu vain lausekkeen 4-xln2 merkistä.

$4-x\ln2=0$

$x\ln2=4$
$x=\frac{4}{\ln2}\approx5{,}77$

$f'\left(5\right)\approx2{,}1>0$

$f'\left(6\right)\approx-0{,}5<0$
$\begin{array}{l|l} &1&&\frac{4}{\ln2}&\\ \hline f'\left(x\right)&&+&&-\\ f\left(x\right)&&\nearrow&&\searrow \end{array}$

Funktio f saa suurimman arvonsa derivaatan nollakohdassa $x=\frac{4}{\ln2}\approx5{,}77$ . Lukujonon suurin jäsen on siten $a_5$ tai $a_6$

$a_5\approx19{,}5$

$a_6\approx20{,}25$

Lukujopnon suurin jäsen on $a_6$

2.1

205

$a=\frac{n-2}{n}$

a) Koordinaatiston piirretään pisteitä, jotka esittävät lukujonon jäseniä. Pisteen x-koordinaatti n lukuhonon jäsenen järejestysnumero n ja y.koordinaatti on jäsen $a_n$ .

Pisteet ovat muotoa $\left(n{,}a_n\right)$

Kuvaajan mukaan lukujonon raja-arvo on kohdassa x=1

$\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{n-2}{n}=\lim_{x\rightarrow\infty}\left(\frac{n}{n}-\frac{2}{n}\right)=\lim_{x\rightarrow\infty}\left(1-\frac{2}{n}\right)=1-0=1$

Lukujen a ja b etäisyys on $\left|a-b\right|$

Määritetään monnesta jäsenestä alkaen lukujonon jäsenen etäisyys raja-arvosta 1 on alle 0,01. Ratkaistaan n epäyhtälöstä

$\left|\frac{n-2}{n}-1\right|<0{,}01$

$\left|\frac{n-2}{n}-\frac{n}{n}\right|<0{,}01$
$\left|\frac{n-2-n}{n}\right|<0{,}01$
$\left|-\frac{2}{n}\right|<0{,}01$
$-\left(-\frac{2}{n}\right)<0{,}01$
$\frac{2}{n}<0{,}01$
$0{,}01n>2$
$n>200$

201. jäsenestä alkaen

206

$a_n=\frac{3n^3+n-2}{n^2-1}=\frac{n^2\left(3n+\frac{1}{n}-\frac{2}{n^2}\right)}{n^2\left(1-\frac{1}{n^2}\right)}\rightarrow\infty{,}\ kun\ n\rightarrow\infty$

Raja-arvoa ei ole.

$a_n=\frac{2n^3+n-2}{6n^3-n^2}=\frac{n^3\left(2+\frac{1}{n^2}-\frac{2}{n^3}\right)}{n^3\left(6-\frac{1}{n}\right)}\rightarrow\frac{2}{6}=\frac{1}{3}{,}\ kun\ n\rightarrow\infty$

$a_n=\frac{4n^3+1}{n^4+1}=\frac{n^4\left(\frac{4}{n}+\frac{1}{n^4}\right)}{n^4\left(1+\frac{1}{n^4}\right)}\rightarrow\frac{0}{1}=0{,}\ kun\ n\rightarrow\infty$

207

$a_n=n^2-100n\rightarrow n^2\left(1-\frac{100}{n^2}\right){,}\ kun\ n\rightarrow\infty$

Lukujonon $a_n$ jäsenet kasvavat rajatta, joten lukujono hajaantuu.

$a_n=n^2-n^3=\rightarrow n^3\left(\frac{1}{n}-1\right){,}\ kun\ n\rightarrow-\infty$

Lukujonon $a_n$ jäsenet vähenevät rajatta, joten lukujono hajaantuu.

$\left(-1\right)^n$ on −1 parittomilla eksponenteilla ja 1 parillisilla eksponenteilla. Lukujonon $a_n$ jäsenet ovat vuorotellen 1 − 1 = 0 ja 1 + 1 = 2, joten lukujono hajaantuu.

208

A III ja V

B IV,

C I ja V

210

$a_n=\cos\left(\frac{\pi}{3}+n\cdot2\pi\right)=\frac{1}{2}+n\cdot1=\frac{1}{2}+n$

Koska kosinin jakso on 2π, ja cos2π=1/2, näin ollen lukujonon kaikki jäsenet ovat 1/2 , joten lukujono raja-arvo on 1/2.

$a_n=\cos\left(n\cdot\frac{\pi}{2}\right)=0$

Lukujonossa toistuvat jäsenet 0, −1, 0 ja 1 tässä järjestyksessä. Lukujonolla ei ole raja-arvoa.

$a_n=\cos\frac{\pi}{n}$

Kun n kasvaa, $\frac{\pi}{n}$ lähestyy nollaa, jolloin $\cos\frac{\pi}{n}$ lähestyy arvoa 1.

213

Lukujonon jäsenten nimittäjä on yhtä suurempi kuin jäsenen järjestysluku ja osoittajat muodostavat aritmeettisen lukujonon, jossa peräkkäisten jäsenten erotus on 3. Nimittäjä on siis muotoa n + 1 ja osoittaja

$1+\left(n-1\right)\cdot3=3n-2$

Lukujonon n:s jäsen onm $a_n=\frac{3n-2}{n+1}$

Lukujonon raja-arvo:

$a_n=\frac{3n-2}{n+1}=\frac{3-\frac{2}{n}}{1+\frac{1}{n}}\rightarrow-\frac{3-0}{1+0}=3{,}\ kun\ n\rightarrow\infty$

Luku jonon jäsenet ovat pienempiä kuin raja-arvo.

Ratkaistaan epäyhtälö $3-a_n<0{,}001$

$3-\left(\frac{3n-2}{n+1}\right)<\frac{1}{1000}$
$\frac{3n+3-3n+2}{n+1}<\frac{1}{1000}$
$\frac{5}{n+1}<\frac{1}{1000}\ \ \ \ \ \left|\right|\cdot1000$
$5000<n+1$
$n>4999$

Lukujonon jäsenen poikkeama raja-arvosta on itseisarvoltaan pienempi kuin 0,001 lukujonon 5000. jäsenestä alkaen.

216

$a_n=\sqrt[]{n+1}-\sqrt[]{n}=\frac{\left(\sqrt[]{n+1}-\sqrt[]{n}\right)\left(\sqrt[]{n+1}+\sqrt[]{n}\right)}{\sqrt[]{n+1}+\sqrt[]{n}}=\frac{\left(n+1\right)-n}{\sqrt[]{n+1}+\sqrt[]{n}}=\frac{1}{\sqrt[]{n+1}+\sqrt[]{n}}\rightarrow0{,}\ kun\ n\rightarrow\infty$

$a_n=\frac{2n-1}{\sqrt[]{n^2+4}}=\frac{n\left(2-\frac{1}{n}\right)}{n\sqrt[]{1+\frac{4}{n^2}}}=\frac{2-\frac{1}{n}}{\sqrt[]{1+\frac{4}{n^2}}}=\frac{2-0}{\sqrt[]{1+0}}\rightarrow2{,}\ kun\ n\rightarrow\infty$
c)

$a_n=n-\sqrt[]{n^2+3n+1}=\frac{\left(n+\sqrt[]{n^2+3n+1}\right)\left(n-\sqrt[]{n^2+3n+1}\right)}{n+\sqrt[]{n^2+3n+1}}=\frac{n^2-\left(n^2+3n+1\right)}{n+\sqrt[]{n^2+3n+1}}=\frac{-3n-1}{n+n\sqrt[]{1+\frac{3}{n}+\frac{1}{n^2}}}=\frac{-3-\frac{1}{n}}{1+\sqrt[]{1+\frac{3}{n}+\frac{1}{n^2}}}=\frac{-3-0}{1+\sqrt[]{1+0+0}}\rightarrow-\frac{3}{2}{,}\ kun\ n\rightarrow\infty$

$a_n=\frac{e^n-1}{e^n}=1-\frac{1}{e^n}=1-0\rightarrow1{,}\ kun\ n\rightarrow\infty$

1.3

150

$\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{3}{2x+1}=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x\left(\frac{3}{x}\right)}{x\left(2+\frac{1}{x}\right)}=\lim_{x\rightarrow\infty}\left(\frac{3}{\frac{x}{2+\frac{1}{x}}}\right)=\frac{0}{2+0}==\frac{0}{2}=0$

$\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{x}{1-2x}=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{x\cdot1}{x\left(\frac{1}{x}-2\right)}=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{1}{\frac{1}{x}-2}=\frac{1}{0-2}=-\frac{1}{2}$

$\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x^2-5x}{2x^2+x}=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x^2\left(1-\frac{5}{x}\right)}{x^2\left(2+\frac{1}{x}\right)}=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{1-5\cdot\frac{1}{x}}{2+\frac{1}{x}}=\frac{1-0}{2+0}=\frac{1}{2}$

152
A–II, B–I, C–I, D–II, E–II, F–II

153

$\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{-3x+1}{2x+5}=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x\left(-3+\frac{1}{x}\right)}{x\left(2+\frac{5}{x}\right)}=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{-3+\frac{1}{x}}{2+5\cdot\frac{1}{x}}=\frac{-3+0}{2+0}=-\frac{3}{2}$

$\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x^3-3x^2-1}{x^3+1}=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x^3\left(1-\frac{3}{x}-\frac{1}{x^3}\right)}{x^3\left(1+\frac{1}{x^3}\right)}=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{1-\frac{3}{x}-\frac{1}{x^3}}{1+\frac{1}{x^3}}=\frac{1-0-0}{1+0}=\frac{1}{1}=1$

$\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{-x^2+5x}{x+1}=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x^2\left(-1+\frac{5}{x}\right)}{x^2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}\right)}=\frac{-1}{0}=\infty$

154

$\lim_{x\rightarrow\infty}\left(x^2-x^3\right)=x^3\left(\frac{1}{x}-1\right)=\infty\left(0-1\right)=\infty$

$\lim_{x\rightarrow2}\frac{x^2-4}{x-2}=\frac{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}{\left(x-2\right)}=x+2=2+2=4$

c)
$\lim_{x\rightarrow2}\frac{x^2+4}{x-2}=\frac{2^2+4}{2-2}=\frac{8}{0}$ eli raja-arvoa ei eole olemassa. Tutkitaan onko funktiola epäoleellinen raja.arvo laskemalla toispuliset raja-arvot.

Lasketaan funtkion $f\left(x\right)=\frac{x^2+4}{x-2}$ arvoja, kun x→2- ja x→2+

$\lim_{x\rightarrow2-}\frac{x^2+4}{x-2}=-\infty$

$\lim_{x\rightarrow2+}\frac{x^2+4}{x-2}=\infty$

Toispuoleiset raja-arvot ovat eri suuret, joten funktiolla ei ole epäoleellista raja-arvoa kohdassa x=2

155

$\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{1}{e^x}=0$

$\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{1}{e^{-x}}=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{1}{\frac{1}{e^x}}=\lim_{x\rightarrow-\infty}1\cdot\frac{e^x}{1}=e^x=0$

c)
$\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{e^x+1}{e^x}=\frac{e^x}{e^x}+\frac{1}{e^x}=1+\left(\frac{1}{e}\right)^x=\infty$

159

$\lim_{x\rightarrow\infty}R\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{9x^2-1}{3x^2-5x-2}=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{9-\frac{1}{x^2}}{3-\frac{5}{x}-\frac{2}{x^2}}=\frac{9-0}{3-0-0}=3$

$\lim_{x\rightarrow-\frac{1}{3}}R\left(x\right)=\frac{\left(3x-1\right)\left(3x+1\right)}{\left(3x+1\right)\left(x-2\right)}=\frac{3x-1}{x-2}=\frac{3\cdot\left(-\frac{1}{3}\right)-1}{-\frac{1}{3}-2}=\frac{-1-1}{-\frac{7}{3}}=\frac{6}{7}$

160

$f'\left(x\right)=\frac{e^x\left(1+e^x\right)-e^x\cdot e^x}{\left(1+e^x\right)^2}=\frac{e^x+e^{2x}-e^{2x}}{\left(1+e^x\right)^2}=\frac{e^x}{\left(1+e^x\right)^2}$

funktion f derivaatta on kaikkialla positiviinen, joten f on aidosti kasvava

$\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{e^x}{1+e^x}=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{1}{\frac{1}{e^x}+1}=\frac{1}{0+1}=1$

$f\left(10\right)=\frac{e^{10}}{1+e^{10}}=0{,}999954...>0{,}99$

Koska funktio f on aidosti kasvava, kaikille x ≥ 10, f(x) ≥ f(10). Väite pätee.

161

$f'\left(t\right)=\frac{2e^{0{,}05t}}{\left(e^{0{,}05t}+4\right)^2}$

f''(t) on kaikialla t:n arvoilla positiivinen, joten fuynktio f kasvaa loputtomasti.

$\lim_{t\rightarrow\infty}f\left(t\right)=\lim_{t\rightarrow\infty}\frac{10e^{0{,}05t}}{e^{0{,}05t}+4}=\lim_{t\rightarrow\infty}\frac{10}{1+\frac{4}{e^{0{,}05t}}}=\frac{10}{1+0}=10$

Yläraja on 10 000 yksilöä.

163
a)

Takastellaan funktion jatkuvuutta kohdassa x=1. Jotta funktio olisi jatkuva, $f\left(-1\right)=\lim_{x\rightarrow-1}f\left(x\right)$

$f\left(-1\right)=a\cdot\left(-1\right)^2=a$

$\lim_{x\rightarrow-1-}ax^2=a\cdot\left(-1\right)^2=a$

$\lim_{x\rightarrow-1+}\frac{x^2}{1+x^2}=\frac{\left(-1\right)^2}{1+\left(-1\right)^2}=\frac{1}{2}$

Jotta funktio olisi jatkuva, a on oltava 1/2.

$kun\ a=\frac{1}{2}{,}\ f\left(x\right)=\begin{cases} \frac{1}{2}x^2{,}&x\le-1\\ \frac{x^2}{1+x^2}{,}&x>-1 \end{cases}$

Tarkastellaan funktion dervoituvuutta kohdassa x = -1

$\lim_{x\rightarrow-1-}\frac{f\left(x\right)-f\left(-1\right)}{x-\left(-1\right)}=\lim_{x\rightarrow-1-}\frac{\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}\cdot\left(-1\right)^2}{x+1}=\lim_{x\rightarrow-1-}\frac{\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}}{x+1}=\lim_{x\rightarrow-1-}\frac{\frac{1}{2}\left(x+1\right)\left(x-1\right)}{x+1}=\lim_{x\rightarrow-1-}\frac{1}{2}\left(x-1\right)=\frac{1}{2}\left(-1-1\right)=-1$

$\lim_{x\rightarrow-1+}\frac{f\left(x\right)-f\left(-1\right)}{x-\left(-1\right)}=\lim_{x\rightarrow-1+}\frac{\frac{x^2}{1+x^2}-\frac{\left(-1\right)^2}{1+\left(-1\right)^2}}{x-\left(-1\right)}=\lim_{x\rightarrow-1+}\frac{\frac{x^2}{1+x^2}-\frac{1}{2}}{x+1}=\lim_{x\rightarrow-1+}\frac{\frac{2x^2}{2\left(1+x^2\right)}-\frac{1+x^2}{2\left(1+x^2\right)}}{x+1}=\lim_{x\rightarrow-1+}\frac{x^2-1}{2\left(1+x^2\right)\left(x+1\right)}=\lim_{x\rightarrow-1+}\frac{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}{2\left(1+x^2\right)\left(x+1\right)}=\lim_{x\rightarrow-1+}\frac{\left(x-1\right)}{2\left(1+x^2\right)}=\frac{-1-1}{2\left(1+\left(-1\right)^2\right)}=\frac{-2}{4}=-\frac{1}{2}$

Funktio ei ole derivoituva kohdassa x=-a, koska sen erotusosamäärän toispuoleiset raja-arvot eivät ole samat. Funtkio f ei ole derfoituva kaikkialla.
c)
$\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x^2}{1+x^2}=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x^2\cdot1}{x^2\cdot\left(\frac{1}{x^2}+1\right)}=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{1}{\frac{1}{x^2}+1}=\frac{1}{0+1}=1$

164

Tarkastellaan funktion f kulkua derivaatan avulla.

$f'\left(x\right)=\frac{\left(6x+1\right)\left(x^2+1\right)-\left(3x^2+x+3\right)\cdot2x}{\left(x^2+1\right)^2}=\frac{-x^2+1}{\left(x^2+1\right)^2}$

Derivaatan lausekkeen nimittäjä on positiivinen kaikilla x:n arvoilla, joten derivaatan merkkiin vaikuttaa vain osoittajan merkki.

$-x^2+1=0$

$x=-1\ tai\ x=1$

Funktio f on kasvava välillä x ≤ −1, vähenevä välillä −1 ≤ x ≤ 1 ja kasvava välillä x ≥ 1.

Funktiolla on paikallinen minimiarvo

$f\left(-1\right)=2\frac{1}{2}$ ja paikallinen maksimiarvo $f\left(1\right)=3\frac{1}{2}$

Funktiolla f on nollakohta osoittajan nollakohdissa.

$3x^2+x+3=0$

ei ratkaisuja

Funktiolal ei ole nollakohtia

Tarkastellaan vielä, mitä arvoja funktio saa, kun muuttuja x kasvaa tai pienenee rajatta.

$\lim_{x\rightarrow\pm\infty}f\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow\pm\infty}\frac{3x^2+x+3}{x^2+1}=\lim_{x\rightarrow\pm\infty}\frac{x^2\left(3+\frac{1}{x}+\frac{3}{x^2}\right)}{x^2\left(1+\frac{1}{x^2}\right)}=\lim_{x\rightarrow\pm\infty}\frac{3+\frac{1}{x}+\frac{3}{x^2}}{1+\frac{1}{x^2}}=\frac{3+0+0}{1+0}=3$

Funktion pienin arvo on $\frac{5}{2}=2\frac{1}{2}$ ja suurin $\frac{7}{2}=3\frac{1}{2}$ .

167
$\lim_{x\rightarrow\infty}\left(\ln\left(4x+3\right)-\ln\left(3x+4\right)\right)=\lim_{x\rightarrow\infty}\left(\ln\frac{4x+3}{3x+4}\right)=\lim_{x\rightarrow\infty}\left(\ln\frac{4+\frac{3}{x}}{3+\frac{4}{x}}\right)=\ln\frac{4+0}{3+0}=\ln\frac{4}{3}$

1.2

123

$f\left(x\right)=\begin{cases} 2x+3{,}&kun\ x<-1\\ x+1{,}&kun\ x\ \ge1 \end{cases}$

$f'\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow-1-}\lim_{x\rightarrow-1-}\frac{f\left(x\right)-f\left(-1\right)}{x+1}=\lim_{x\rightarrow-1-}\frac{2x+3-1}{x+1}=\lim_{x\rightarrow-1-}\frac{2x+2}{x+1}=\lim_{x\rightarrow-1-}\frac{2\left(x+1\right)}{x+1}=2$

$f'\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow-1+}\frac{f\left(x\right)-f\left(-1\right)}{x+1}=\lim_{x\rightarrow-1+}\frac{x+1+0}{x+1}=\lim_{x\rightarrow-1+}\frac{x+1}{x+1}=1$

$2\ne1$ , funktio ei ole derivoituva.

Määritetään funktion jatkuvuutta

$\lim_{x\rightarrow-1-}2x+3=2\cdot-1+3=-2+3=1$

$\lim_{x\rightarrow-1+}x+1=-1+1=0$
$1\ne0$ , funktio ei ole jatkuva.

$f\left(x\right)=\begin{cases} x^2+1{,}&kun\ x<1\\ -2x{,}&kun\ x\ge-1 \end{cases}$

$f'\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow-1-}\frac{f\left(x\right)-f\left(-1\right)}{x+1}=\lim_{x\rightarrow-1-}\frac{x^2+1-2}{x+1}=\lim_{x\rightarrow-1-}\frac{x^2-1}{x+1}=\lim_{x\rightarrow-1-}=\frac{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}{\left(x+1\right)}=\lim_{x\rightarrow-1-}x-1=-2$

$f'\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow-1+}\frac{f\left(x\right)-f\left(-1\right)}{x+1}=\lim_{x\rightarrow-1+}\frac{-2x-2}{x+1}=\lim_{x\rightarrow-1+}\frac{-2\left(x+1\right)}{x+1}=-2$

$-2=-2$ , funktio on derivoituva, joten se on myös jatkuva.

124

$f\left(x\right)=\begin{cases} x^2-1{,}&kun\ x<2\\ x+1{,}&kun\ x\ge2 \end{cases}$

$f'\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow2-}\frac{x^2-1-3}{x-2}=\lim_{x\rightarrow2-}\frac{x^2-4}{x-2}=\lim_{x\rightarrow2-}\frac{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}{x-2}=\lim_{x\rightarrow2-}x+2=4$

$f'\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow2+}\frac{x+1-3}{x-2}=\lim_{x\rightarrow2+}\frac{x-2}{x-2}=1$

$4\ne1$ , funktio ei ole derivoituva

$f\left(x\right)=\begin{cases} x^2-1{,}&kun\ x<2\\ 4x-5{,}&kun\ x\ge2 \end{cases}$

$f'\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow2-}\frac{x^2-1-\left(4-1\right)}{x-2}=\lim_{x\rightarrow2-}\frac{x^2-1-3}{x-2}=\lim_{x\rightarrow2-}\frac{x^2-4}{x-2}=\lim_{x\rightarrow2-}\frac{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}{\left(x-2\right)}=\lim_{x\rightarrow2-}x+2=2+2=4$

$f'\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow2+}\frac{4x-5-\left(8-5\right)}{x-2}=\lim_{x\rightarrow2+}\frac{4x-5-3}{x-2}=\lim_{x\rightarrow2+}\frac{4x-8}{x-2}=\lim_{x\rightarrow2+}\frac{4\left(x-2\right)}{x-2}=4$

$4=4$ , funktio on derivoituva ja jatkuva

$f'\left(2\right)=4$

127

Kirjoitetaan funktio f paloittain määriteltynä funktiona.

Määritetään funktion nollakohdat

$1-x^2=0$

$x=-1\ tai\ x=1$

$1-x^2=-x^2+1$

Koska vakio x:n kerroin on negatiivinen, funktion kuvaaja on alaspäin aukeava, ja näin ollen

$\begin{array}{l|l} &&-1&&1&\\ \hline f\left(x\right)&-&&+&&- \end{array}$

$f\left(x\right)=\left|1-x^2\right|=\begin{cases} -\left(1-x^2\right){,}&kun\ x<-1\\ 1-x^2{,}&kun\ -1\le x<1\\ -\left(1-x^2\right){,}&kun\ x\ge1 \end{cases}=\begin{cases} x^2-1{,}&kun\ x<-1\\ 1-x^2{,}&kun\ -1\le x<1\\ x^2-1{,}&kun\ x\ge1 \end{cases}$

Funktio f on polynomifunktiona jatkuva väleillä x < −1, −1 < x < 1 ja x > 1. Funktio f on jatkuva kohdissa x = −1 ja x = 1, jos $\lim_{x\rightarrow1}f\left(x\right)=f\left(-1\right)$ ja $\lim_{x\rightarrow1}f\left(x\right)=f\left(1\right)$

$\lim_{x\rightarrow1-}x^2-1=1-1=0$
$\lim_{x\rightarrow1+}1-x^2=1-1=0$

$f\left(-1\right)=1-x^2=1-1=0$

$0=0=0$

Funktio f on jatkuva kohdassa x = −1.

$\lim_{x\rightarrow1-}1-x^2=1-1=0$
$\lim_{x\rightarrow1+}x^2-1=1-1=0$

$f\left(1\right)=x^2-1=1-1=0$
$0=0=0$

Funktio f on jatkuva kohdassa x = 1.

Funktio on kaikialla jatkuva.

$f'\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow-1-}\frac{x^2-1-0}{x+1}=\lim_{x\rightarrow-1-}\frac{x^2-1}{x+1}=\lim_{x\rightarrow-1-}\frac{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}{\left(x+1\right)}=x-1=-2$

$f'\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow-1+}\frac{1-x^2-\left(1-\left(-1\right)^2\right)}{x+1}=\lim_{x\rightarrow-1+}\frac{1-x^2-0}{x+1}=\lim_{x\rightarrow-1+}\frac{\left(1-x\right)\left(1+x\right)}{1+x}=1-x=2$
Funktio f ei ole derivoituva kohdassa x=-1, joten se ei ole derivoituva kaikialla.

128

a) Funktio f on derivoituva kohdassa x = 2, koska erotusosamäärällä on raja-arvo kohdassa x = 2.

b) Funktio f on jatkuva kohdassa x = 2, koska se on derivoituva kohdassa x = 2.

c) $\lim_{x\rightarrow2}f\left(x\right)=3$ , koska funktio on jatkuva, sen raja-arvo kohdassa x = 2 on sama kuin sen arvo kohdassa 2.

131

a) Epätosi. Jatkuva funktio ei välttämättä ole derivoituva. Esimerkiksi funktio f (x) = |x| ei ole derivoituva kohdassa x = 0, vaikka se on jatkuva tässä kohdassa.

b) Tosi. Jatkuvuus on derivoituvuuden välttämätön ehto, joten kaikki derivoituvat funktiot ovat jatkuvia.

c) Tosi. Koska funktion erotusosamäärällä on raja-arvo kohdassa x = a, se on derivoituva ja siten myös jatkuva tässä kohdassa. Koska funktio f on jatkuva kohdassa x = a, sen raja-arvo ja arvo ovat yhtä suuret.

132

$f\left(x\right)=\begin{cases} x^2-3x{,}&kun\ x\le2\\ x+a{,}&kun\ x>2 \end{cases}$

Lasketaa funktiolle raja-arvo

$\lim_{x\rightarrow2-}x^2-3x=2^2-3\cdot2=4-6=-2$

Koska funktion pitäisi olla jatkuva, joten

$2+a=-2$
$a=-4$

ja näin ollen

$\lim_{x\rightarrow2+}x-4=2-4=-2$

$f\left(x\right)=\begin{cases} x^2-3x{,}&kun\ x\le2\\ x-4{,}&kun\ x>2 \end{cases}$

Tarkastellaan funktion derivoituvuutta

$f'\left(x\right)=\lim_{x\ \rightarrow2-}\ \frac{x^2-3x-\left(2^2-3\cdot2\right)}{x-2}=\lim_{x\ \rightarrow2-}\frac{x^2-3x+2}{x-2}=\lim_{x\ \rightarrow2-}\frac{\left(x-2\right)\left(x-1\right)}{x-2}=\lim_{x\ \rightarrow2-}x-1=2-1=1$

$f'\left(x\right)=\lim_{x\ \rightarrow2+}\frac{x-4-\left(2-4\right)}{x-2}=\lim_{x\ \rightarrow2+}\frac{x-4+2}{x-2}=\lim_{x\ \rightarrow2+}\frac{x-2}{x-2}=1$

Funktio on derivoituva kohdassa x=2.

133
A, I, II, IV

B I

C I, II, III

135

137

l38

$f\left(x\right)=\begin{cases} 2x-3{,}&kun\ x\le1\\ x^2-2{,}&kun\ x>1 \end{cases}$

Derivaattafunktio on 2, kun x < 1 ja 2x, kun x > 1

Tarkastellaan funktio dervoituvuutta kohdassa x=1

$f'\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow1-}\frac{2x-3-\left(2\cdot1-3\right)}{x-1}=\lim_{x\rightarrow1-}\frac{2x-3+1}{x-1}=\lim_{x\rightarrow1-}\frac{2x-2}{x-1}=\lim_{x\rightarrow1-}\frac{2\left(x-1\right)}{x-1}=2$

$f'\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow1+}\frac{x^2-2-\left(1^2-2\right)}{x-1}=\lim_{x\rightarrow1+}\frac{x^2-2+1}{x-1}=\lim_{x\rightarrow1+}\frac{x^2-1}{x-1}=\lim_{x\rightarrow1+}\frac{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}{x-1}=\lim_{x\rightarrow1+}x+1=2$

Funktio f on derivoituva myös kohdassa x = 1.

$f'\left(x\right)=\begin{cases} 2{,}&kun\ x\le1\\ 2x{,}&kun\ x>1 \end{cases}$

$f\left(x\right)=\begin{cases} x^2{,}&kun\ x\le2\\ -x^2+8x-8{,}&kun\ x>2 \end{cases}$

Derivaattafunktio on 2x, kun x < 2 ja -2x+8, kun x > 2

Tarkastellaan funktion derivoituvuutta kohdassa x = 2

$f'\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow2-}\frac{x^2-2^2}{x-2}=\lim_{x\rightarrow2-}\frac{x^2-4}{x-2}=\lim_{x\rightarrow2-}\frac{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}{x-2}=\lim_{x\rightarrow2-}x+2=4$

$f'\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow2+}\frac{-x^2+8x-8-\left(-2\cdot2+8\right)}{x-2}=\lim_{x\rightarrow2+}\frac{-x^2+8x-8-4}{x-2}=\lim_{x\rightarrow2+}\frac{-x^2+8x-12}{x-2}=\lim_{x\rightarrow2+}\frac{\left(x-2\right)\left(-x+6\right)}{x-2}=\lim_{x\rightarrow2+}-x+6=4$

Funktio f on derivoituva myös kohdassa x = 2

$f'\left(x\right)=\begin{cases} 2x{,}&kun\ x\le2\\ -2x+8{,}&kun\ x>2 \end{cases}$

1.1

101

a) 4

b) raja-arvoa ei ole

c) 3

d) 1

e) 1

f) 2

102

A III

B I

C II

D IV

106
a)
$\lim_{x\rightarrow1}\frac{1}{\left(x-1\right)^2}=\frac{1}{0}\$ , joten voidaan oleta, että funktiolla ei ole tavallista raja-arvoa.

Kun x lähestyy arvoa 1 oikealta tai vasemmalta, lähestyy (x − 1)² arvoa 0 positiiviselta puolelta. Funktiolla on epäoleellinen raja-arvo ∞ kohdassa x = 1.

$\frac{1-x^2}{x-1}=\frac{1-1}{1-1}=\frac{0}{0}$ , funktiota täytyy sieventä

$\lim_{x\rightarrow1}\frac{1-x^2}{x-1}=\frac{-\left(x-1\right)\left(1+x\right)}{x-1}=-1+x\rightarrow-1-1=-2$ , kun x→1

$\lim_{x\rightarrow1}\frac{x-2}{1-x}=\frac{1-2}{1-1}=\frac{-1}{0}$ :

Kun x lähestyy arvoa 1, osoittaja lähestyy arvoa 1 − 2 = −1. Kun x lähestyy arvoa 1 oikealta, lähestyy nimittäjä arvoa 0 negatiiviselta puolelta ja kun x lähestyy arvoa 1 vasemmalta, lähestyy nimittäjä arvoa 0 positiiviselta puolelta.

Funktiolla f on epäoleellinen oikeanpuoleinen raja-arvo ∞ ja epäoleellinen vasemmanpuoleinen raja-arvo −∞ kohdassa x = 1. Funktiolla f ei ole raja-arvoa kohdassa x = 1.
d)

$\lim_{x\rightarrow1}\frac{x-1}{x}=\frac{1-1}{1}=\frac{0}{1}=0$ , kun x→1

108

Funktiolla f on raja-arvo kohdassa x = 3, jos sen toispuoliset raja-arvot ovat samat.

$\lim_{x\rightarrow3-}2^x+a=2^3+a=8+a$

$\lim_{x\rightarrow3+}\sqrt[]{4x-8}=\sqrt[]{12-8}=\sqrt[]{4}=2$

$8+a=2$

$a=2-8$
$a=-6$

$f\left(3\right)=\sqrt[]{4\cdot3-8}=2$

Funktio on polynomifunktiona jatkuva välillä x < 3 ja juurifunktion ja polynomifunktio yhdistettynä funktiona jatkuva välillä x > 3. Kun a = -6, funktiolla on raja-arvo 2 kohdassa x=3 ja f(3)=2. Funktio on jatkuva kohdassa x = 3, joten funktio f on jatkuva.

109

$f\left(x\right)=\left|x\right|=\begin{cases} -x{,}&kun\ x<0\\ x{,}&kun\ x\ge0 \end{cases}$

Kun x lähesty kohtaa nolla, myös |x| lähestyy arvoa 0. Funktiolla f on raja-arvo 0 kohdassa x = 0.

$f\left(x\right)=\left|x\right|+x=\begin{cases} -x+x{,}&kun\ x<0\\ x+x{,}&kun\ge0 \end{cases}=\begin{cases} 0{,}&kun\ x<0\\ 2x{,}\ &kun\ x\ge0 \end{cases}$

Kun x lähesty kohtaa nolla vasemmalta, funktion f arvo on 0 ja kun x lähestyy kohtaa nolla oikealta, funktion arvot lähestyvät nollaa. Funktiolla f on raja-arvo 0 kohdassa x = 0.

$f\left(x\right)=\frac{\left|x\right|}{x}=\begin{cases} \frac{-x}{x}{,}&kun\ x<0\\ \frac{x}{x}{,}&kun\ge0 \end{cases}=\begin{cases} -1{,}&kun\ x<0\\ 1{,}\ &kun\ x\ge0 \end{cases}$

Funktion f vasemmanpuoleinen raja-arvo kohdassa x = 0 on −1 ja oikeanpuoleinen on 1. Funktiolla f ei ole raja-arvoa kohdassa x = 0.

112

$\lim_{x\rightarrow0}\frac{e^{2x}-1}{e^x-1}=\frac{\left(e^x\right)^2-1}{e^x-1}=\frac{\left(e^x-1\right)\left(e^x+1\right)}{e^x-1}=e^0+1=2$

$\lim_{x\rightarrow1}\frac{\ln x^3}{\ln x}=\frac{3\ln x}{\ln x}=\lim_{x\rightarrow1}3=3$

$\lim_{x\rightarrow3}\frac{\left|2x-6\right|}{x-3}=\lim_{x\rightarrow3}\frac{2\left|x-3\right|}{x-3}=\lim_{x\rightarrow3}\frac{2\left(x-3\right)}{x-3}=2$

$\lim_{x\rightarrow3}\frac{\left|2x-6\right|}{x-3}=\lim_{x\rightarrow3}\frac{-2\left|x-3\right|}{x-3}=\lim_{x\rightarrow3}\frac{-2\left(x-3\right)}{x-3}=-2$