2.3

243

a) On geometrinen lukujono, jossa $a_1=-2{,}\ q=3$ , lukujono hajaantuu, koska q=3>1

b) On geometrinen, koska jonon n:s jäsen on muotoa $a_n=bq^n{,}\ missä\ b=5{,}\ q=-0{,}65$ , lukujono suppenee, kun q=-0,65, q∈]-1,1].

$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\left(\frac{5}{4}\right)^{\left(n+1\right)-1}}{\left(\frac{5}{4}\right)^{n-1}}=\frac{\left(\frac{5}{4}\right)^n}{\left(\frac{5}{4}\right)^{n-1}}=\left(\frac{5}{4}\right)^{n-n-1}=\frac{5}{4}$

Lukujonon peräkkäisten jäsenten suhde on vakio, joten lukujono on geometrinen. Suhdeluku q = 5/4. Lukujono ei suppene eli lukujono hajaantuu, koska q > 1.

245

$\frac{16}{15}=1{,}0666...\approx1{,}07$ Suhdeluku |q|=1,07>1, lukujono hajaantuu.

$q=\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{-\frac{1}{2}a_n}{a_n}=-\frac{1}{2}$ Suhdeluku |q|= 1/2<1, lukujono suppenee.

$q=-1{,}5$ Suhdeluku |q|=1,5>1, lukujono hajaantuu.

246
a)
$q=\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\left(-0{,}75\right)^{n+1}}{\left(-0{,}75\right)^n}=\left(-0{,}75\right)^{n+1-n}=-0{,}75<1$
Suhdeluku |q|=0,75<1, lukujono suppenee.
$\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=0$
b)
$q=\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{3\cdot0{,}5^{\left(n+1\right)-1}}{3\cdot0{,}5^{n-1}}=\frac{0{,}5^n}{0{,}5^{n-1}}=0{,}5^{n-\left(n-1\right)}=0{,}5<1$
Suhdeluku |q|=0,5<1, lukujono suppenee.
$\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=0$

$q=\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{-5\cdot2{,}5^{n+1}}{-5\cdot2{,}5^n}=2{,}5^{\left(n+1\right)-n}=2{,}5>1$

Suhdeluku |q|=2,5>1, lukujono hajaantuu, joten sillä ei ole raja-arvoa.

ei ole raja-arvoa

$q=\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\left(-0{,}25\right)^{n+2+1}}{\left(-0{,}25\right)^{n+2}}=\frac{\left(-0{,}25\right)^{n+3}}{\left(-0{,}25\right)^{n+2}}=\left(-0{,}25\right)^{n-n+3-2}=-0{,}25<1$
Suhdeluku |q|=0,25<1, lukujono suppenee.
$\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=0$

$q=\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{4\cdot\left(-1\right)^{n+1+1}}{4\cdot\left(-1\right)^{n+1}}=\frac{\left(-1\right)^{n+2}}{\left(-1\right)^{n+1}}=\left(-1\right)^{n-n+2-1}=-1$

Suhdeluku |-1|=1=1

$\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=a_1=4\cdot\left(-1\right)^{1+1}=4\cdot\left(-1\right)^2=4$

Lukujono on 4, −4, 4, −4, 4, …, ei raja-arvoa

f)
$a_n\rightarrow\infty$

Ei raja-arvoa

248

$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{2n+1+1}{2n+1}=\frac{2n+2}{2n+1}=\frac{2}{1}=2$

Suhdeluku |q|=2>1, lukujono hajaantuu.

Lukujono on geomterinen

ei ole raja-arvoa

$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{5\cdot\left(\frac{e}{\pi}\right)^{n+1-1}}{5\cdot\left(\frac{e}{\ \pi}\right)^{n-1}}=\frac{5\cdot\left(\frac{e}{\pi}\right)^{n-1}-\left(\frac{e}{\pi}\right)^1}{\left(\frac{e}{\pi}\right)^{n-1}}=\frac{e}{\pi}$

Suhdeluku |q|≈087<1, lukujono suppenee.

Lukujono on geomterinen
$\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=0$

$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\left(\sqrt[]{2}\ \right)^{n+1-1}}{\left(\sqrt[]{2}\right)^{n-1}}=\frac{\left(\sqrt[]{2}\right)^n}{\left(\sqrt[]{2}\right)^{n-1}}=\left(\sqrt[]{2}\right)^{n-n-1}=\left(\sqrt[]{2}\right)^{-1}=\frac{\sqrt[]{2}}{2}$

Suhdeluku |q|≈0,71<1, lukujono suppenee.

Lukujono on geomterinen
$\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=0$

$a_n=\frac{2n-1}{n+1}$

$a_1=\frac{2n-1}{n+1}{,}\ a_2=\frac{3}{3}=1{,}\ a_3=\frac{5}{4}$

Lukujono ei ole geometrinen, koska peräkkäisten jäsenten suhde ei ole vakio.

$a_n=\frac{2n-1}{n+1}=\frac{n\left(2-\frac{1}{n}\right)}{n\left(1+\frac{1}{n}\right)}\rightarrow\frac{2-0}{1+0}=\frac{2}{1}=2$

Lukujonon raja-arvo on 2.

249

Harrastelija voi tietää todeksi väitteen: Lukujono ei ole monotoninen. Lukujonossa a1 > a2, mutta a2 < a3, joten lukujono ei voi olla monotoninen. Kahta muuta ei voi laskujen perusteella tietää todeksi.

Osoitetaan, että lukujono on geometrinen, laskemalla lukujonon peräkkäisten termien suhde.

$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\frac{12}{\left(-2\right)^{n+1-1}}}{\frac{12}{\left(-2\right)^{n-1}}}=\frac{12}{\left(-2\right)^n}\cdot\frac{\left(-2\right)^{n-1}}{12}=\left(-2\right)^{n-1-n}=\left(-2\right)^{-1}=-\frac{1}{2}$

Lukujonon peräkkäisten termien suhde on vakio, joten lukujono on geometrinen.

$a_n=\frac{12}{\left(-2\right)^{n-1}}=12\cdot\frac{1}{\left(-2\right)^{n-1}}=12\cdot\frac{1^{n-1}}{\left(-2\right)^{n-1}}\rightarrow12\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}=12\cdot0=0{,}\ \ kun\ n\rightarrow\infty\$

Raja-arvo on 0

250

$0{,}9^{n+1}=0{,}9^n\cdot0{,}9$

Kun positiivinen luku kerrotaan lukua 1 pienemmällä positiivisella luvulla, sen arvo pienenee, eli se on lähempänä nollaa.

$1{,}1^{n+1}=1{,}1^n\cdot1{,}1$

Kun positiivinen luku kerrotaan lukua 1 suuremmalla positiivisella luvulla, sen arvo kasvaa, eli se on etäämpänä nollasta.
c)

a- ja b-kohtien perusteella, kun positiivista lukua kerrotaan lukua 1 pienemmällä positiivisella luvulla, sen arvo pienenee ja raja-arvo on 0. Vastaavasti kun lukua kerrotaan lukua 1 suuremmalla positiivisella luvulla, sen arvo kasvaa rajatta.

251

$\frac{9}{6}=\frac{3}{2}$

$a_n=9\cdot\left(\frac{3}{2}\right)^{n-1}$

Lukujono on vähenevä, koska −1 < q < 1, eli lukujono on monotoninen.

252