1.1

101

a) 4

b) raja-arvoa ei ole

c) 3

d) 1

e) 1

f) 2

102

A III

B I

C II

D IV

106
a)
$\lim_{x\rightarrow1}\frac{1}{\left(x-1\right)^2}=\frac{1}{0}\$ , joten voidaan oleta, että funktiolla ei ole tavallista raja-arvoa.

Kun x lähestyy arvoa 1 oikealta tai vasemmalta, lähestyy (x − 1)² arvoa 0 positiiviselta puolelta. Funktiolla on epäoleellinen raja-arvo ∞ kohdassa x = 1.

$\frac{1-x^2}{x-1}=\frac{1-1}{1-1}=\frac{0}{0}$ , funktiota täytyy sieventä

$\lim_{x\rightarrow1}\frac{1-x^2}{x-1}=\frac{-\left(x-1\right)\left(1+x\right)}{x-1}=-1+x\rightarrow-1-1=-2$ , kun x→1

$\lim_{x\rightarrow1}\frac{x-2}{1-x}=\frac{1-2}{1-1}=\frac{-1}{0}$ :

Kun x lähestyy arvoa 1, osoittaja lähestyy arvoa 1 − 2 = −1. Kun x lähestyy arvoa 1 oikealta, lähestyy nimittäjä arvoa 0 negatiiviselta puolelta ja kun x lähestyy arvoa 1 vasemmalta, lähestyy nimittäjä arvoa 0 positiiviselta puolelta.

Funktiolla f on epäoleellinen oikeanpuoleinen raja-arvo ∞ ja epäoleellinen vasemmanpuoleinen raja-arvo −∞ kohdassa x = 1. Funktiolla f ei ole raja-arvoa kohdassa x = 1.
d)

$\lim_{x\rightarrow1}\frac{x-1}{x}=\frac{1-1}{1}=\frac{0}{1}=0$ , kun x→1

108

Funktiolla f on raja-arvo kohdassa x = 3, jos sen toispuoliset raja-arvot ovat samat.

$\lim_{x\rightarrow3-}2^x+a=2^3+a=8+a$

$\lim_{x\rightarrow3+}\sqrt[]{4x-8}=\sqrt[]{12-8}=\sqrt[]{4}=2$

$8+a=2$

$a=2-8$
$a=-6$

$f\left(3\right)=\sqrt[]{4\cdot3-8}=2$

Funktio on polynomifunktiona jatkuva välillä x < 3 ja juurifunktion ja polynomifunktio yhdistettynä funktiona jatkuva välillä x > 3. Kun a = -6, funktiolla on raja-arvo 2 kohdassa x=3 ja f(3)=2. Funktio on jatkuva kohdassa x = 3, joten funktio f on jatkuva.

109

$f\left(x\right)=\left|x\right|=\begin{cases} -x{,}&kun\ x<0\\ x{,}&kun\ x\ge0 \end{cases}$

Kun x lähesty kohtaa nolla, myös |x| lähestyy arvoa 0. Funktiolla f on raja-arvo 0 kohdassa x = 0.

$f\left(x\right)=\left|x\right|+x=\begin{cases} -x+x{,}&kun\ x<0\\ x+x{,}&kun\ge0 \end{cases}=\begin{cases} 0{,}&kun\ x<0\\ 2x{,}\ &kun\ x\ge0 \end{cases}$

Kun x lähesty kohtaa nolla vasemmalta, funktion f arvo on 0 ja kun x lähestyy kohtaa nolla oikealta, funktion arvot lähestyvät nollaa. Funktiolla f on raja-arvo 0 kohdassa x = 0.

$f\left(x\right)=\frac{\left|x\right|}{x}=\begin{cases} \frac{-x}{x}{,}&kun\ x<0\\ \frac{x}{x}{,}&kun\ge0 \end{cases}=\begin{cases} -1{,}&kun\ x<0\\ 1{,}\ &kun\ x\ge0 \end{cases}$

Funktion f vasemmanpuoleinen raja-arvo kohdassa x = 0 on −1 ja oikeanpuoleinen on 1. Funktiolla f ei ole raja-arvoa kohdassa x = 0.

112

$\lim_{x\rightarrow0}\frac{e^{2x}-1}{e^x-1}=\frac{\left(e^x\right)^2-1}{e^x-1}=\frac{\left(e^x-1\right)\left(e^x+1\right)}{e^x-1}=e^0+1=2$

$\lim_{x\rightarrow1}\frac{\ln x^3}{\ln x}=\frac{3\ln x}{\ln x}=\lim_{x\rightarrow1}3=3$

$\lim_{x\rightarrow3}\frac{\left|2x-6\right|}{x-3}=\lim_{x\rightarrow3}\frac{2\left|x-3\right|}{x-3}=\lim_{x\rightarrow3}\frac{2\left(x-3\right)}{x-3}=2$

$\lim_{x\rightarrow3}\frac{\left|2x-6\right|}{x-3}=\lim_{x\rightarrow3}\frac{-2\left|x-3\right|}{x-3}=\lim_{x\rightarrow3}\frac{-2\left(x-3\right)}{x-3}=-2$