1.2

123

$f\left(x\right)=\begin{cases} 2x+3{,}&kun\ x<-1\\ x+1{,}&kun\ x\ \ge1 \end{cases}$

$f'\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow-1-}\lim_{x\rightarrow-1-}\frac{f\left(x\right)-f\left(-1\right)}{x+1}=\lim_{x\rightarrow-1-}\frac{2x+3-1}{x+1}=\lim_{x\rightarrow-1-}\frac{2x+2}{x+1}=\lim_{x\rightarrow-1-}\frac{2\left(x+1\right)}{x+1}=2$

$f'\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow-1+}\frac{f\left(x\right)-f\left(-1\right)}{x+1}=\lim_{x\rightarrow-1+}\frac{x+1+0}{x+1}=\lim_{x\rightarrow-1+}\frac{x+1}{x+1}=1$

$2\ne1$ , funktio ei ole derivoituva.

Määritetään funktion jatkuvuutta

$\lim_{x\rightarrow-1-}2x+3=2\cdot-1+3=-2+3=1$

$\lim_{x\rightarrow-1+}x+1=-1+1=0$
$1\ne0$ , funktio ei ole jatkuva.

$f\left(x\right)=\begin{cases} x^2+1{,}&kun\ x<1\\ -2x{,}&kun\ x\ge-1 \end{cases}$

$f'\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow-1-}\frac{f\left(x\right)-f\left(-1\right)}{x+1}=\lim_{x\rightarrow-1-}\frac{x^2+1-2}{x+1}=\lim_{x\rightarrow-1-}\frac{x^2-1}{x+1}=\lim_{x\rightarrow-1-}=\frac{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}{\left(x+1\right)}=\lim_{x\rightarrow-1-}x-1=-2$

$f'\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow-1+}\frac{f\left(x\right)-f\left(-1\right)}{x+1}=\lim_{x\rightarrow-1+}\frac{-2x-2}{x+1}=\lim_{x\rightarrow-1+}\frac{-2\left(x+1\right)}{x+1}=-2$

$-2=-2$ , funktio on derivoituva, joten se on myös jatkuva.

124

$f\left(x\right)=\begin{cases} x^2-1{,}&kun\ x<2\\ x+1{,}&kun\ x\ge2 \end{cases}$

$f'\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow2-}\frac{x^2-1-3}{x-2}=\lim_{x\rightarrow2-}\frac{x^2-4}{x-2}=\lim_{x\rightarrow2-}\frac{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}{x-2}=\lim_{x\rightarrow2-}x+2=4$

$f'\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow2+}\frac{x+1-3}{x-2}=\lim_{x\rightarrow2+}\frac{x-2}{x-2}=1$

$4\ne1$ , funktio ei ole derivoituva

$f\left(x\right)=\begin{cases} x^2-1{,}&kun\ x<2\\ 4x-5{,}&kun\ x\ge2 \end{cases}$

$f'\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow2-}\frac{x^2-1-\left(4-1\right)}{x-2}=\lim_{x\rightarrow2-}\frac{x^2-1-3}{x-2}=\lim_{x\rightarrow2-}\frac{x^2-4}{x-2}=\lim_{x\rightarrow2-}\frac{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}{\left(x-2\right)}=\lim_{x\rightarrow2-}x+2=2+2=4$

$f'\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow2+}\frac{4x-5-\left(8-5\right)}{x-2}=\lim_{x\rightarrow2+}\frac{4x-5-3}{x-2}=\lim_{x\rightarrow2+}\frac{4x-8}{x-2}=\lim_{x\rightarrow2+}\frac{4\left(x-2\right)}{x-2}=4$

$4=4$ , funktio on derivoituva ja jatkuva

$f'\left(2\right)=4$

127

Kirjoitetaan funktio f paloittain määriteltynä funktiona.

Määritetään funktion nollakohdat

$1-x^2=0$

$x=-1\ tai\ x=1$

$1-x^2=-x^2+1$

Koska vakio x:n kerroin on negatiivinen, funktion kuvaaja on alaspäin aukeava, ja näin ollen

$\begin{array}{l|l} &&-1&&1&\\ \hline f\left(x\right)&-&&+&&- \end{array}$

$f\left(x\right)=\left|1-x^2\right|=\begin{cases} -\left(1-x^2\right){,}&kun\ x<-1\\ 1-x^2{,}&kun\ -1\le x<1\\ -\left(1-x^2\right){,}&kun\ x\ge1 \end{cases}=\begin{cases} x^2-1{,}&kun\ x<-1\\ 1-x^2{,}&kun\ -1\le x<1\\ x^2-1{,}&kun\ x\ge1 \end{cases}$

Funktio f on polynomifunktiona jatkuva väleillä x < −1, −1 < x < 1 ja x > 1. Funktio f on jatkuva kohdissa x = −1 ja x = 1, jos $\lim_{x\rightarrow1}f\left(x\right)=f\left(-1\right)$ ja $\lim_{x\rightarrow1}f\left(x\right)=f\left(1\right)$

$\lim_{x\rightarrow1-}x^2-1=1-1=0$
$\lim_{x\rightarrow1+}1-x^2=1-1=0$

$f\left(-1\right)=1-x^2=1-1=0$

$0=0=0$

Funktio f on jatkuva kohdassa x = −1.

$\lim_{x\rightarrow1-}1-x^2=1-1=0$
$\lim_{x\rightarrow1+}x^2-1=1-1=0$

$f\left(1\right)=x^2-1=1-1=0$
$0=0=0$

Funktio f on jatkuva kohdassa x = 1.

Funktio on kaikialla jatkuva.

$f'\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow-1-}\frac{x^2-1-0}{x+1}=\lim_{x\rightarrow-1-}\frac{x^2-1}{x+1}=\lim_{x\rightarrow-1-}\frac{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}{\left(x+1\right)}=x-1=-2$

$f'\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow-1+}\frac{1-x^2-\left(1-\left(-1\right)^2\right)}{x+1}=\lim_{x\rightarrow-1+}\frac{1-x^2-0}{x+1}=\lim_{x\rightarrow-1+}\frac{\left(1-x\right)\left(1+x\right)}{1+x}=1-x=2$
Funktio f ei ole derivoituva kohdassa x=-1, joten se ei ole derivoituva kaikialla.

128

a) Funktio f on derivoituva kohdassa x = 2, koska erotusosamäärällä on raja-arvo kohdassa x = 2.

b) Funktio f on jatkuva kohdassa x = 2, koska se on derivoituva kohdassa x = 2.

c) $\lim_{x\rightarrow2}f\left(x\right)=3$ , koska funktio on jatkuva, sen raja-arvo kohdassa x = 2 on sama kuin sen arvo kohdassa 2.

131

a) Epätosi. Jatkuva funktio ei välttämättä ole derivoituva. Esimerkiksi funktio f (x) = |x| ei ole derivoituva kohdassa x = 0, vaikka se on jatkuva tässä kohdassa.

b) Tosi. Jatkuvuus on derivoituvuuden välttämätön ehto, joten kaikki derivoituvat funktiot ovat jatkuvia.

c) Tosi. Koska funktion erotusosamäärällä on raja-arvo kohdassa x = a, se on derivoituva ja siten myös jatkuva tässä kohdassa. Koska funktio f on jatkuva kohdassa x = a, sen raja-arvo ja arvo ovat yhtä suuret.

132

$f\left(x\right)=\begin{cases} x^2-3x{,}&kun\ x\le2\\ x+a{,}&kun\ x>2 \end{cases}$

Lasketaa funktiolle raja-arvo

$\lim_{x\rightarrow2-}x^2-3x=2^2-3\cdot2=4-6=-2$

Koska funktion pitäisi olla jatkuva, joten

$2+a=-2$
$a=-4$

ja näin ollen

$\lim_{x\rightarrow2+}x-4=2-4=-2$

$f\left(x\right)=\begin{cases} x^2-3x{,}&kun\ x\le2\\ x-4{,}&kun\ x>2 \end{cases}$

Tarkastellaan funktion derivoituvuutta

$f'\left(x\right)=\lim_{x\ \rightarrow2-}\ \frac{x^2-3x-\left(2^2-3\cdot2\right)}{x-2}=\lim_{x\ \rightarrow2-}\frac{x^2-3x+2}{x-2}=\lim_{x\ \rightarrow2-}\frac{\left(x-2\right)\left(x-1\right)}{x-2}=\lim_{x\ \rightarrow2-}x-1=2-1=1$

$f'\left(x\right)=\lim_{x\ \rightarrow2+}\frac{x-4-\left(2-4\right)}{x-2}=\lim_{x\ \rightarrow2+}\frac{x-4+2}{x-2}=\lim_{x\ \rightarrow2+}\frac{x-2}{x-2}=1$

Funktio on derivoituva kohdassa x=2.

133
A, I, II, IV

B I

C I, II, III

135

137

l38

$f\left(x\right)=\begin{cases} 2x-3{,}&kun\ x\le1\\ x^2-2{,}&kun\ x>1 \end{cases}$

Derivaattafunktio on 2, kun x < 1 ja 2x, kun x > 1

Tarkastellaan funktio dervoituvuutta kohdassa x=1

$f'\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow1-}\frac{2x-3-\left(2\cdot1-3\right)}{x-1}=\lim_{x\rightarrow1-}\frac{2x-3+1}{x-1}=\lim_{x\rightarrow1-}\frac{2x-2}{x-1}=\lim_{x\rightarrow1-}\frac{2\left(x-1\right)}{x-1}=2$

$f'\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow1+}\frac{x^2-2-\left(1^2-2\right)}{x-1}=\lim_{x\rightarrow1+}\frac{x^2-2+1}{x-1}=\lim_{x\rightarrow1+}\frac{x^2-1}{x-1}=\lim_{x\rightarrow1+}\frac{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}{x-1}=\lim_{x\rightarrow1+}x+1=2$

Funktio f on derivoituva myös kohdassa x = 1.

$f'\left(x\right)=\begin{cases} 2{,}&kun\ x\le1\\ 2x{,}&kun\ x>1 \end{cases}$

$f\left(x\right)=\begin{cases} x^2{,}&kun\ x\le2\\ -x^2+8x-8{,}&kun\ x>2 \end{cases}$

Derivaattafunktio on 2x, kun x < 2 ja -2x+8, kun x > 2

Tarkastellaan funktion derivoituvuutta kohdassa x = 2

$f'\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow2-}\frac{x^2-2^2}{x-2}=\lim_{x\rightarrow2-}\frac{x^2-4}{x-2}=\lim_{x\rightarrow2-}\frac{\left(x+2\right)\left(x-2\right)}{x-2}=\lim_{x\rightarrow2-}x+2=4$

$f'\left(x\right)=\lim_{x\rightarrow2+}\frac{-x^2+8x-8-\left(-2\cdot2+8\right)}{x-2}=\lim_{x\rightarrow2+}\frac{-x^2+8x-8-4}{x-2}=\lim_{x\rightarrow2+}\frac{-x^2+8x-12}{x-2}=\lim_{x\rightarrow2+}\frac{\left(x-2\right)\left(-x+6\right)}{x-2}=\lim_{x\rightarrow2+}-x+6=4$

Funktio f on derivoituva myös kohdassa x = 2

$f'\left(x\right)=\begin{cases} 2x{,}&kun\ x\le2\\ -2x+8{,}&kun\ x>2 \end{cases}$