4.1

403

$y=2x+4$
$x=\frac{y-4}{2}=\frac{y}{2}-2=\frac{1}{2}y-2$

Sijoitetaan y:n paikalle x, funktiot ovat tällöin täsmälleen samat

joten ne ovat toistensa käänteisfunktiot.

$y=\sqrt[]{x+1}$

$y^2=x+1$
$x=y^2-1$
$x^2-1\ne x^2+1$

funktit eivät ole toistensa käänteisfunktiot

405

a) 4

b) 1

c) x=-1

d) x=2

e) -1

412

Funktio f kuvaaja on suora, jonka kulmakerroin on 0,5. Funktio on kasvava, joten se saa pienimmän arvonsa kohdassa x=0.

f(0)=2

Funktio ei saavuta suurinta arvoaan, mutta saavuttaa kasvavuuden ja jatkuvuuden peusteella kaikki arvot lukuun $\lim_{x\rightarrow6}f\left(x\right)=5$ saakka.

Funktion f arvojoukko on [2,5[

$y=0{,}5x+2$
$x=f^{-1}\left(x\right)=\frac{y-2}{0{,}5}=\frac{1}{0{,}5}y-\frac{2}{0{,}5}=2y-4{,}\ 0\le x<6$

Käänteisfunktion määrittelyjoukko on sama kuin funktion f arvojoukko

c) Käänteisfunktio arvojoukko on funktion f määrittelyjoukko, eli [0,6[

413
$y=\frac{x+2}{x-3}$
$y\left(x-3\right)=x+2$
$x+2=yx-3y$
$x-yx=-3y-2$
$x\left(1-y\right)=-3y-2$
$x=\frac{-3y-2}{1-y}$
$x=\frac{3y-2}{y-1}$
$\lim_{x\rightarrow3+}\frac{x+2}{x-3}=\infty$
$\lim_{x\rightarrow3-}\frac{x+2}{x-3}=\frac{x\left(1+\frac{2}{x}\right)}{x\left(1-\frac{3}{x}\right)}=\frac{1+0}{1-0}=1$

Jatkuvan ja vähenevän funktion f arvojoukko on ]1, ∞[, joten tämä on käänteisfunktion määrittelyjoukko.

$f^{-1}\left(x\right)=\frac{3x+2}{x-1}{,}\ x>1$

$f^{-1}\left(f\left(x\right)\right)=\frac{3x+2}{x-1}=\frac{3\cdot\frac{x+2}{x-3}+2}{\frac{x+2}{x-3}-1}=\frac{3\cdot\frac{x+2}{x-3}-2\cdot\frac{x-3}{x-3}}{\frac{x+2}{x-3}-\frac{x-3}{x-3}}=\frac{\frac{5x}{x-3}}{\frac{5}{x-3}}=\frac{5x}{5}=x$

416

a) Koska $f'\left(x\right)=5x^4+3x^2+1>0$ kaikkialla, funktio on kasvava ja sillä on käänteisfunktio.

b) $f^{-1}\left(-2\right)=-1$ , koska $f\left(-1\right)=-2$

c) $\left(f^{-1}\right)'\left(-2\right)=\frac{1}{f'\left(-1\right)}=\frac{1}{5\cdot\left(-1\right)^4+3\cdot\left(-1\right)^2+1}=\frac{1}{9}$

d) Tangentin kulmakerroin on derivaatan arvo, eli $\frac{1}{9}$