2.1

205

$a=\frac{n-2}{n}$

a) Koordinaatiston piirretään pisteitä, jotka esittävät lukujonon jäseniä. Pisteen x-koordinaatti n lukuhonon jäsenen järejestysnumero n ja y.koordinaatti on jäsen $a_n$ .

Pisteet ovat muotoa $\left(n{,}a_n\right)$

Kuvaajan mukaan lukujonon raja-arvo on kohdassa x=1

$\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{n-2}{n}=\lim_{x\rightarrow\infty}\left(\frac{n}{n}-\frac{2}{n}\right)=\lim_{x\rightarrow\infty}\left(1-\frac{2}{n}\right)=1-0=1$

Lukujen a ja b etäisyys on $\left|a-b\right|$

Määritetään monnesta jäsenestä alkaen lukujonon jäsenen etäisyys raja-arvosta 1 on alle 0,01. Ratkaistaan n epäyhtälöstä

$\left|\frac{n-2}{n}-1\right|<0{,}01$

$\left|\frac{n-2}{n}-\frac{n}{n}\right|<0{,}01$
$\left|\frac{n-2-n}{n}\right|<0{,}01$
$\left|-\frac{2}{n}\right|<0{,}01$
$-\left(-\frac{2}{n}\right)<0{,}01$
$\frac{2}{n}<0{,}01$
$0{,}01n>2$
$n>200$

201. jäsenestä alkaen

206

$a_n=\frac{3n^3+n-2}{n^2-1}=\frac{n^2\left(3n+\frac{1}{n}-\frac{2}{n^2}\right)}{n^2\left(1-\frac{1}{n^2}\right)}\rightarrow\infty{,}\ kun\ n\rightarrow\infty$

Raja-arvoa ei ole.

$a_n=\frac{2n^3+n-2}{6n^3-n^2}=\frac{n^3\left(2+\frac{1}{n^2}-\frac{2}{n^3}\right)}{n^3\left(6-\frac{1}{n}\right)}\rightarrow\frac{2}{6}=\frac{1}{3}{,}\ kun\ n\rightarrow\infty$

$a_n=\frac{4n^3+1}{n^4+1}=\frac{n^4\left(\frac{4}{n}+\frac{1}{n^4}\right)}{n^4\left(1+\frac{1}{n^4}\right)}\rightarrow\frac{0}{1}=0{,}\ kun\ n\rightarrow\infty$

207

$a_n=n^2-100n\rightarrow n^2\left(1-\frac{100}{n^2}\right){,}\ kun\ n\rightarrow\infty$

Lukujonon $a_n$ jäsenet kasvavat rajatta, joten lukujono hajaantuu.

$a_n=n^2-n^3=\rightarrow n^3\left(\frac{1}{n}-1\right){,}\ kun\ n\rightarrow-\infty$

Lukujonon $a_n$ jäsenet vähenevät rajatta, joten lukujono hajaantuu.

$\left(-1\right)^n$ on −1 parittomilla eksponenteilla ja 1 parillisilla eksponenteilla. Lukujonon $a_n$ jäsenet ovat vuorotellen 1 − 1 = 0 ja 1 + 1 = 2, joten lukujono hajaantuu.

208

A III ja V

B IV,

C I ja V

210

$a_n=\cos\left(\frac{\pi}{3}+n\cdot2\pi\right)=\frac{1}{2}+n\cdot1=\frac{1}{2}+n$

Koska kosinin jakso on 2π, ja cos2π=1/2, näin ollen lukujonon kaikki jäsenet ovat 1/2 , joten lukujono raja-arvo on 1/2.

$a_n=\cos\left(n\cdot\frac{\pi}{2}\right)=0$

Lukujonossa toistuvat jäsenet 0, −1, 0 ja 1 tässä järjestyksessä. Lukujonolla ei ole raja-arvoa.

$a_n=\cos\frac{\pi}{n}$

Kun n kasvaa, $\frac{\pi}{n}$ lähestyy nollaa, jolloin $\cos\frac{\pi}{n}$ lähestyy arvoa 1.

213

Lukujonon jäsenten nimittäjä on yhtä suurempi kuin jäsenen järjestysluku ja osoittajat muodostavat aritmeettisen lukujonon, jossa peräkkäisten jäsenten erotus on 3. Nimittäjä on siis muotoa n + 1 ja osoittaja

$1+\left(n-1\right)\cdot3=3n-2$

Lukujonon n:s jäsen onm $a_n=\frac{3n-2}{n+1}$

Lukujonon raja-arvo:

$a_n=\frac{3n-2}{n+1}=\frac{3-\frac{2}{n}}{1+\frac{1}{n}}\rightarrow-\frac{3-0}{1+0}=3{,}\ kun\ n\rightarrow\infty$

Luku jonon jäsenet ovat pienempiä kuin raja-arvo.

Ratkaistaan epäyhtälö $3-a_n<0{,}001$

$3-\left(\frac{3n-2}{n+1}\right)<\frac{1}{1000}$
$\frac{3n+3-3n+2}{n+1}<\frac{1}{1000}$
$\frac{5}{n+1}<\frac{1}{1000}\ \ \ \ \ \left|\right|\cdot1000$
$5000<n+1$
$n>4999$

Lukujonon jäsenen poikkeama raja-arvosta on itseisarvoltaan pienempi kuin 0,001 lukujonon 5000. jäsenestä alkaen.

216

$a_n=\sqrt[]{n+1}-\sqrt[]{n}=\frac{\left(\sqrt[]{n+1}-\sqrt[]{n}\right)\left(\sqrt[]{n+1}+\sqrt[]{n}\right)}{\sqrt[]{n+1}+\sqrt[]{n}}=\frac{\left(n+1\right)-n}{\sqrt[]{n+1}+\sqrt[]{n}}=\frac{1}{\sqrt[]{n+1}+\sqrt[]{n}}\rightarrow0{,}\ kun\ n\rightarrow\infty$

$a_n=\frac{2n-1}{\sqrt[]{n^2+4}}=\frac{n\left(2-\frac{1}{n}\right)}{n\sqrt[]{1+\frac{4}{n^2}}}=\frac{2-\frac{1}{n}}{\sqrt[]{1+\frac{4}{n^2}}}=\frac{2-0}{\sqrt[]{1+0}}\rightarrow2{,}\ kun\ n\rightarrow\infty$
c)

$a_n=n-\sqrt[]{n^2+3n+1}=\frac{\left(n+\sqrt[]{n^2+3n+1}\right)\left(n-\sqrt[]{n^2+3n+1}\right)}{n+\sqrt[]{n^2+3n+1}}=\frac{n^2-\left(n^2+3n+1\right)}{n+\sqrt[]{n^2+3n+1}}=\frac{-3n-1}{n+n\sqrt[]{1+\frac{3}{n}+\frac{1}{n^2}}}=\frac{-3-\frac{1}{n}}{1+\sqrt[]{1+\frac{3}{n}+\frac{1}{n^2}}}=\frac{-3-0}{1+\sqrt[]{1+0+0}}\rightarrow-\frac{3}{2}{,}\ kun\ n\rightarrow\infty$

$a_n=\frac{e^n-1}{e^n}=1-\frac{1}{e^n}=1-0\rightarrow1{,}\ kun\ n\rightarrow\infty$