2.4

265

$q=\frac{12}{48}=\frac{1}{4}$

|q|=0,25<1, lukujono suppenee.

$\sum_{k=1}^{\infty}a_k=\frac{a_1}{1-q}=\frac{48}{1-\frac{1}{4}}=\frac{48}{\frac{3}{4}}=64$

$q=-\frac{3}{9}=-\frac{1}{3}$

|q|=1/3<1, lukujono suppenee.

$\sum_{k=1}^{\infty}a_k=\frac{a_1}{1-q}=\frac{9}{1-\left(-\frac{1}{3}\right)}=\frac{27}{4}$

$q=\frac{6}{2}=3$
|q|=3>1, lukujono hajaantuu.

266

$a_1=\left(\frac{1}{2}\right)^{1-1}=1$

$a_2=\left(\frac{1}{2}\right)^{2-1}=\frac{1}{2}$

$a_3=\left(\frac{1}{2}\right)^{3-1}=\frac{1}{4}$

$q=\frac{\frac{1}{2}}{1}=\frac{1}{2}$

|q|=1/2<1, lukujono suppenee.

$S=\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2$

$a_1=4\cdot\left(\frac{3}{2}\right)^0=4\cdot1=4$

$a_2=4\cdot\left(\frac{3}{2}\right)^1=4\cdot\frac{3}{2}=6$
$a_3=4\cdot\left(\frac{3}{2}\right)^2=4\cdot\frac{9}{4}=9$
$q=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$

|q|=3/2>1, lukujono ei suppene.

$a_1=0{,}3^{1-1}=1$

$a_2=0{,}3^{2-1}=0{,}3$
$a_3=0{,}3^{3-1}=0{,}09$

$q=\frac{0{,}3}{1}=0{,}3$

|q|=0,3<1, lukujono suppenee.

$S=\frac{1}{1-0{,}3}=\frac{1}{0{,}7}=\frac{10}{7}$

267

$1{,}555...=1+0{,}555=1+5\cdot0{,}1+5\cdot0{,}01+5\cdot0{,}001+...$

$=1+5\cdot0{,}1^1+5\cdot0{,}1^2+5\cdot0{,}1^3+...$

$S=\frac{0{,}5}{1-0{,}1}=\frac{5}{9}$

Siis

$1{,}555...=1+0{,}5+0{,}55+0{,}555...=1+\frac{5}{9}=\frac{14}{9}$

$3{,}2121...\ =3+0{,}2121=3+0{,}21+0{,}0021+...$

$=3+21\cdot0{,}01+21\cdot0{,}0001+...$
$=3+21\cdot0{,}01+21\cdot0{,}01^2+...$

Sarja $21\cdot0{,}01+21\cdot0{,}01^2+...$ on geometrinen, jossa

$a_1=0{,}21\ ja\ q=0{,}01$

Koska -1 < q < 1, sarja suppenee. Sarjan summa on

$S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{0{,}21}{1-0{,}01}=\frac{0{,}21}{0{,}99}=\frac{21}{99}$
$3{,}2121...=3+\frac{21}{99}=\frac{318}{99}^{\text{(}3}=\frac{106}{33}$

269

a) Sarja on geometrinen sarja, jonka suhdeluku q=x. Sarja suppenee, kun -1<x<1.

Jotta sarja suppenee, tulee olla −1 < x < 1. Tällöin

$S=\frac{1}{1-x}$
$\frac{1}{1-x}=x+3$
$1=\left(x+3\right)\left(1-x\right)$
$1=-x^2+x+3-3x=-x^2-2x+3$
$x^2+2x-2=0$

$x=-1+\sqrt[]{3}\approx0{,}73\ tai\ x=-1-\sqrt[]{3}<-1$ (Laskin)

Vain ratkaisu $x=-1+\sqrt[]{3}$ kelpaa yhtälön ratkaisuksi.

271

$S=\frac{a_1}{1-q}$
$q=\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{-\frac{2}{5}}{1}=-\frac{2}{5}$
$S=\frac{1}{1-\left(-\frac{2}{5}\right)}=\frac{5}{7}$

$S=\frac{a_1}{1-q}$

$q=\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{-1}{-4}=\frac{1}{4}$
$S=\frac{-4}{1-\frac{1}{4}}=-\frac{16}{3}$

$S=\frac{a_1}{1-q}$

$q=\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\frac{2}{9}}{\frac{1}{6}}=\frac{4}{3}$
$S=\frac{\frac{1}{6}}{1-\frac{4}{3}}=-\frac{1}{2}$

273

$a_1=1$

$q=1-x$

Jotta sarjalla olisi summa, sen tulee olla suppeneva, eli −1 < q < 1.

-1 < 1-x <1

-2 < -x < 0

0 < x < 2

$S=\frac{1}{1-\left(1-x\right)}=\frac{1}{x}$

$\frac{1}{x}=2x+1$

$1=2x^2+x$
$2x^2+x-1=0$

$x=-1\ tai\ x=\frac{1}{2}$

Yhtälön ratkaisu x = 1/2 täyttää suppenemisehdon.

275

Pallon kulkema matka on:

$1+2\cdot0{,}75\cdot1+2\cdot0{,}75\cdot0{,}75\cdot1+...$

$=1+2\cdot0{,}75+2\cdot0{,}75^2+...$

$a_1=2\cdot0{,}75=1{,}5m$
$q=0{,}75$

$S=\frac{1{,}5}{1-q}=\frac{1{,}5m}{1-0{,}75}=6{,}0m$

$1{,}0m+6{,}0m=7{,}0m$

276

$\sum_{n=1}^{\infty}=\frac{2}{3^n}=\sum_{n=1}^{\infty}2\cdot\frac{1}{3^n}=\sum_{n=1}^{\infty}2\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^n$

Sarja on geometerinen sarja, missä $a_1=\frac{2}{3}$ ja $q=\frac{1}{3}$ .

Sarja suppenee, kun -1 < q < 1. Joten summaksi saadaan

$S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{\frac{2}{3}}{1-\frac{1}{3}}=\frac{\frac{2}{3}}{\frac{2}{3}}=1$

Lasketaan sarjan n ensimmäisen jäsenen geometrinen summa.

$S_n=a_1\cdot\frac{1\cdot q^n}{1-q}=\frac{2}{3}\cdot\frac{1-\left(\frac{1}{3}\right)^n}{1-\frac{1}{3}}=1-\left(\frac{1}{3}\right)^n$

$1-\left(1-\left(\frac{1}{3}\right)^n\right)\le0{,}001$

$1-1+\left(\frac{1}{3}\right)^n\le0{,}001$

$\left(\frac{1}{3}\right)^n\le\frac{1}{1000}$
$\log_{\frac{1}{3}}\frac{1}{1000}=n$
$n=6.2877098228685\approx7$

Pitää laskea vähinttäin 7 jäsentä yhteen.

278

Suhdeluku ei ole 2/3 vaan $q=\frac{a_2}{a_1}=\frac{-\frac{1}{2}}{-\frac{1}{3}}=\frac{3}{2}$ . Koska suhdeluku on suurempi kuin yksi(3/2>1), sarja ei suppene, vaan hajaantuu. Sarjalle ei voi laskea summaa, kuten ratkaisuyrityksessä on tehty.

280

a)
$a_1=\frac{1}{1+1}-\frac{1}{1+2}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$

$a_2=\frac{1}{2+1}-\frac{1}{2+2}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=\frac{1}{12}$

$a_3=\frac{1}{3+1}-\frac{1}{3+2}=\frac{1}{4}-\frac{1}{5}=\frac{1}{20}$
$a_4=\frac{1}{4+1}-\frac{1}{4+2}=\frac{1}{5}-\frac{1}{6}=\frac{1}{30}$

$a_5=\frac{1}{5+1}-\frac{1}{5+2}=\frac{1}{6}-\frac{1}{7}=\frac{1}{42}$

$S_5=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=\frac{5}{14}$

$S_n=\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)+...+\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)+\left(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}\right)$

$=\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2}=\frac{n+2}{2\left(n+2\right)}-\frac{2}{2\left(n+2\right)}=\frac{n}{2n+4}$

$S_n=\frac{n}{2n+4}=\frac{1}{2+\frac{4}{n}}\rightarrow\frac{1}{2+0}=\frac{1}{2}{,}\ kun\ n\rightarrow\infty$

281

$a_n=\frac{n}{2n+1}=\frac{1}{2+\frac{1}{n}}\rightarrow\frac{1}{2+0}=\frac{1}{2}$

Koska yleisen termin raja-arvo ei ole 0, sarja ei suppene.

282
a)

$S_n=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}=\frac{n+2}{n\left(n+2\right)}-\frac{n}{n\left(n+2\right)}=\frac{2}{n\left(n+2\right)}=\frac{\frac{2}{n^2}}{n^2\left(1+\frac{2}{n}\right)}\rightarrow\frac{0}{1+0}=0{,}\ kun\ n\rightarrow\infty$

Sarja voi olla suppeneva, määitetään n:n ensimmäisen jäsenen summa

$S_n=\left(1-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right)+\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{6}\right)+...\left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}\right)+\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}\right)$

$1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}=\frac{2\left(n+1\right)\left(n+2\right)+\left(n+1\right)\left(n+2\right)-2\left(n+2\right)-2\left(n+1\right)}{2\left(n+1\right)\left(n+2\right)}$
$=\frac{2n^2+6n+4+n^2+3n+2-2n-4-2n-2}{2\left(n+1\right)\left(n+2\right)}$
$=\frac{3n^2+5n}{2n^2+6n+4}$
$=\frac{3+\frac{5}{n}}{2+\frac{6}{n}+\frac{4}{n^2}}\rightarrow\frac{3+0}{2+0+0}=\frac{3}{2}{,}\ kun\ n\rightarrow\infty$
b)

$S_n=\left(-1\right)^n\frac{3n+1}{2n}$