3.4 Ideaalikaasun tilanyhtälö
Suljetun kaasusysteemin tilanyhtälö
Edellä esitellyt isoterminen, isobaarinen ja isokoorinen prosessi voidaan yhdistää yleiseksi kaasujen tilaa kuvaavaksi malliksi. Yleisessä mallissa kaikki kolme tilaa kuvaavaa suuretta (paine, tilavuus ja lämpötila) muuttuvat. Alkutilassa tilanmuuttujien arvoja merkitään tunnuksilla [[$p_1$]], [[$V_1$]] ja [[$T_1$]]. Kaasu käy läpi mielivaltaisen prosessin ja saavuttaa lopputilan, jossa tilanmuuttujien arvot ovat [[$p_2$]], [[$V_2$]] ja [[$T_2$]].
Animaatio on muokattu lähteestä The Concord Consortium (http://concord.org).
Kaasujen tilanyhtälöt käsittelevät ainoastaan kaasun alku- ja lopputilannetta. Niiden välinen prosessi voi olla millainen tahansa. Jaetaan mielivaltainen tilanmuutos isotermiseen ja isobaariseen prosessiin. Tarkastellaan ensin isotermistä prosessia, jonka jälkeen kaasu on tilavuudessa [[$V$]] ja loppupaineessaan. Tämän jälkeen tapahtuu isobaarinen prosessi (eli paine ei enää muutu) ja kaasu on saavuttanut lopputilansa.
Animaatio on muokattu lähteestä The Concord Consortium (http://concord.org).
Isotermisessä prosessissa paine ja tilavuus ovat kääntäen verrannolliset:
[[$ \quad p_1V_1=p_2V $]]
Ratkaistaan välitilan tilavuudelle [[$V$]] lauseke:
[[$ \quad V=\dfrac{V_2T_1}{T_2} $]].
Isobaarisessa prosessissa tilavuus ja lämpötila ovat suoraan verrannolliset:
[[$ \quad \dfrac{V}{T_1}=\dfrac{V_2}{T_2} $]]
Sijoitetaan välitilan tilavuuden lauseke yllä olevaan yhtälöön:
[[$ \quad \begin{align*}p_1V_1&=p_2V &&||V=\dfrac{V_2T_1}{T_2} \\ \, \\ p_1V_1&=p_2\dfrac{V_2T_1}{T_2} &&||:T_1 \\ \, \\ \dfrac{p_1V_1}{T_1}&=\dfrac{p_2V_2}{T_2} && \\ \end{align*}$]]
Sievennetty yhtälö ilmaisee paineen, tilavuuden ja lämpötilan välisen riippuvuuden mielivaltaisessa tilanmuutoksessa.
Suljetun ideaalikaasusysteemin tilanyhtälö
Suljetussa systeemissä kaasun paineella [[$(p)$]], tilavuudella [[$(V)$]] ja lämpötilalla [[$(T)$]] on voimassa seuraava riippuvuus:
[[$ \dfrac{pV}{T}=\text{vakio} $]],
kun lämpötila on yksikössä kelvin.
Avogadron laki
Kaikki esitetyt tilanmuutokset ovat tapahtuneet suljetussa systeemissä. Suljetussa systeemissä kaasun määrä ei muutu. Tutkitaan, miten kaasun määrän muutos vaikuttaa kaasun tilaan.
Tarkastellaan kaasua säiliössä, joka laajenee tai supistuu tilanmuutoksen tapahtuessa. Tällainen säiliö pitää paineen vakiona ja samansuuruisena kuin ulkopuolisen ympäristön kaasun paine. Lisätään säiliöön kaasuhiukkasia siten, että lämpötila säiliössä ei muutu. Tutkitaan säiliön tilavuuden muutosta.
Animaatio on muokattu lähteestä The Concord Consortium (http://concord.org).
Jos kaasuhiukkasten määrää lisätään, hiukkaset törmäilevät useammin kaasuastian seinämiin ja säiliön paine pyrkii kasvamaan. Tällöin säiliö kuitenkin laajenee, jotta paine pysyisi vakiona. Vastaavasti kaasuhiukkasten lukumäärän väheneminen pienentää säiliön tilavuutta. Koska tilavuudessa tapahtuu muutos, eivätkä lämpötila ja paine muutu, vaikuttaa hiukkasten lukumäärä kaasun tilaan.
Kaasun rakenneosien koko on erittäin pieni verrattuna kaasuhiukkasten välisiin etäisyyksiin, joten kaasutyypin vaikutus tilavuuteen on mitätön. Amedeo Avogadro (1776–1856) havaitsi, että vakiopaineessa ja vakiolämpötilassa kaasun tilavuus on suoraan verrannollinen kaasun rakenneosasten lukumäärään eli ainemäärään.
Avogadron laki
Samassa lämpötilassa [[$(T)$]] ja paineessa [[$(p)$]] kaikki kaasut sisältävät yhtä suurissa tilavuuksissa [[$(V)$]] saman ainemäärän [[$(n)$]] eli yhtä monta kaasumolekyylia.
[[$ \dfrac{V}{n}=\text{vakio} $]]
Ainemäärän [[$n$]] yksikkö on mooli. Yhdessä moolissa kaasua on Avogadron vakion verran [[$6{,}022\cdot 10^{23}$]] rakenneosia.
Kaasun massa [[$(m)$]] riippuu kaasutyypistä. Jokaisella aineella on ominainen arvo, joka kertoo aineen massan grammoissa yhtä moolia kohden. Suure on moolimassa [[$M$]]. Ainemäärä voidaan laskea aineen massan ja moolimassan avulla: [[$ n=\dfrac{m}{M} $]]. Toisaalta koska massa on aineen tilavuuden ja tiheyden tulo, niin edellinen riippuvuus voidaan kirjoittaa muotoon [[$ n=\dfrac{\rho V}{M} $]].
Ideaalikaasun tilanyhtälö
Aiemmin nähtiin, että tietyn kaasusysteemin tilan muuttuessa pätee riippuvuus [[$\dfrac{pV}{T}=\text{vakio}$]]. Vakio on kuitenkin erilainen eri kaasusysteemeille.
Avogadron lain avulla tämä ero voidaan ymmärtää. Sen mukaan kaasun tilavuus on suoraan verrannollinen ainemäärään, joten täytyy olla [[$\dfrac{pV}{T}=n\cdot\text{vakio}$]]. Tämän jäljelle jäävän vakiokertoimen pitäisi olla kaasusysteemistä riippumaton vakio. Näin on myös havaittu mittauksissa olevan: vakio on nimeltään yleinen kaasuvakio [[$R$]] ja sen taulukkoarvo on [[$R=8{,}3145\,\dfrac{\text{Pa m}^3}{\text{mol K}}$]].
Paineen, tilavuuden, lämpötilan ja ainemäärän välinen riippuvuus on kaasun yleinen tilanyhtälö.
Yleinen ideaalikaasun tilanyhtälö
[[$ pV=nRT $]],
missä
[[$p$]] on kaasun paine
[[$V$]] on kaasun tilavuus
[[$T$]] on kaasun absoluuttinen lämpötila
[[$n$]] on kaasun ainemäärä
[[$R$]] on yleinen kaasuvakio (toinen nimitys moolinen kaasuvakio), [[$ R=8{,}3145 \, \dfrac{\text{Pa m}^3}{\text{K mol}} $]]
Ideaalikaasu reaalikaasun mallina
Ympäristössä olevat kaasut ovat reaalikaasuja. Ideaalikaasu yksinkertaistaa reaalikaasua ja jättää huomioimatta kaasussa tapahtuvia vuorovaikutuksia. Ideaalikaasun malli on voimassa vain tietyin reunaehdoin, mutta sen avulla kaasun tilan ratkaisu on yksinkertaisempaa. Kaasun yleinen tilanyhtälö on voimassa ideaalikaasua muistuttavalle kaasutyypille. Normaaliolosuhteissa tai niiden läheisyydessä monia kaasuja voidaan tarkastella ideaalikaasuna.
Ideaalikaasun malli perustuu oletuksiin, että kaasumolekyylit
-
- ovat kaikki keskenään samanlaisia
- ovat pistemäisiä
- liikkuvat lämpöliikkeen johdosta täysin satunnaisiin suuntiin
- törmäilevät toisiinsa täysin kimmoisasti (eivät takerru toisiinsa kiinni)
- eivät vuorovaikuta toisiinsa muutoin kuin törmäämällä
- liikkuvat törmäysten välillä tasaisella nopeudella ja suoraviivaisesti.
Kaasut noudattavat ideaalikaasun mallia parhaiten normaaliolosuhteita korkeammassa lämpötilassa ja alhaisemmassa paineessa. Jos kaasua puristetaan kasaan, kaasumolekyylien väliset etäisyydet pienenevät. Molekyylien väliset vuorovaikutukset voimistuvat ja kaasun tilavuus pienenee nopeammin kuin ideaalikaasulaki ennustaa.
Alhaisessa lämpötilassa kaasumolekyylien liike hidastuu. Molekyylien väliset sähköiset vuorovaikutukset ja painovoima vaikuttavat yhä enemmän kaasun liikkeeseen, ja ideaalikaasulaki mallintaa kaasun tilaa heikommin.
Ideaalikaasun tilanyhtälöön päädyttiin kokeellisten lakien pohjalta. Se voidaan myös johtaa suoraan matemaattisesti ideaalikaasun mallin oletuksista.
Pysähdy pohtimaan
Esimerkit
Esimerkki 1
Säähavaintopallo täytettiin heliumilla NTP-olosuhteista 55 litran tilavuuteen. Arvioi sääpallon tilavuutta, kun se on kohonnut 20 km:n korkeuteen.
Esimerkki 2
Säähavaintopallo täytettiin heliumilla. Tyhjän säähavaintopallon massa on 55,0 grammaa ja täytetyn pallon 65,0 grammaa. Kuinka monta moolia heliumkaasua säähavaintopallossa on?
Esimerkki 3
Säähavaintopallo täytettiin heliumilla 55 litran tilavuuteen NTP-olosuhteissa. Laske heliumkaasun ainemäärä.