Ma7 / 5. jakso (Janne)

Funktio (s.81-83)

Funktio tarkoittaa sääntöä, jolla jokaiselle lausekkeen muuttujan arvolle (x) saadaan laskettua funktion arvo (y).

Funktiolla annetaan jokin nimi (yleensä f) ja sulkeisiin merkitään muuttujan kirjain (yleensä x) ja annetaan funktiolle jokin lauseke.


Esimerkiksi: Funktio [[$ f(x)=3x-4 $]].

a) Laske funktion arvo, kun [[$ x=-3 $]]​.

​[[$ f(-3)=3\cdot(-3)-4=-9-4=-13 $]]

Vastaus: [[$ f(-3)=-13 $]]​

b) Millä muuttujan x arvolla funktion arvo on 11?

​Tehdään yhtälö

​[[$ 3x-4 = 11 \parallel +4 $]] ​
​[[$ 3x = 15 \parallel :3 $]]
[[$ x = 5 $]]

Vastaus: [[$ f(x) = 11 $]], kun ​[[$ x=5 $]]. Voidaan myös kirjoittaa [[$ f(5)=11 $]].​

Jäikö kysymyksiä? Voit jättää kommentin alapuolelle.

Funktion arvojen lukeminen kuvaajasta (s.84-90)

Voimme lukea funktion arvoja kuvaajasta, vaikka emme tietäisi funktion lauseketta.

Kuvaajalla muuttujan arvo luetaan x-akselilta ja sitä vastaava funktion arvo y-akselilta.



Esimerkiksi yllä olevan funktion f kuvaajassa funktiolla on piste A, jonka koordinaatti on [[$ (2, -3) $]].
Voimme siis merkitä [[$ f(2)=-3 $]]. Tämä tarkoittaa, että funktion arvo kohdassa 2 on -3.​

Kysymys: [[$ f(4) $]]​? Tämä tarkoittaa, että mikä on funktion arvo kohdassa x=4?

Katsotaan funktiolta kohta, jossa x:n arvo on neljä. Tämän funktion pisteen koordinaatti on  [[$ (4, 5) $]]. Siispä funktion arvo (y) on tässä kohdassa 5.

Vastaus: [[$ f(4)=5 $]]​

Kysymys: [[$ f(x)=-3 $]]​? Tämä tarkoittaa, että millä muuttujan arvolla (x) funktion arvo on -3?

Katsotaan funktiolta kohta, jossa y:n arvo on -3. Huomataan, että tällaisia pisteitä on funktiolla kaksi: [[$ (0, -3) $]] ja [[$ (-2, -3) $]]. Siispä funktion arvo (y) on -3 kohdissa x = 0 ja x = 2.

Vastaus: [[$ f(x) = -3 $]], kun [[$ x=0 $]] ja [[$ x=2 $]]​​.

Voidaan myös vastata: [[$ f(0)=-3 $]] ja [[$ f(2)=-3 $]] ​.

Jäikö kysymyksiä? Voit jättää kommentin alapuolelle.

Funktion nollakohdat ja positiivisuus/negatiivisuus (s.86-90)

Funktion nollakohdiksi kutsutaan pisteitä, joissa funktion arvo (y) on 0. Nämä pisteet löytyvät x-akselilta.



Funktion nollakohdat ovat [[$ x=-1 $]] ja [[$ x=3 $]]. Näissä kohdissa funktion​​ arvo on 0.

Kuvaajasta näemme, että nollakohtien välissä olevilla x:n arvoilla saamme negatiivisia y:n arvoja.
Funktion arvot ovat negatiivisia (pienempiä kuin 0), kun x:n arvot ovat suurempia kuin -1 mutta pienempiä kuin 3.

Vastaavasti positiivisia funktion arvoja (y) saamme nollakohdan [[$ x=-1 $]] vasemmalla puolella olevilla muttujan (x) arvoilla,​ eli arvoilla jotka ovat pienempiä kuin -1. Myös nollakohan [[$ x=3 $]] oikealla puolella funktion saa positiivisia arvoja, eli silloin, kun x:n arvot ovat suurempia kuin 3.

Kysymys: Funktion nollakohdat ( [[$ f(x)=0 $]] ) ?​
Vastaus: Nollakohdat ovat [[$ x=-1 $]] ja [[$ x=3 $]].

Kysymys: Milloin funktion arvot ovat negatiivisia ( [[$ f(x)<0 $]] ) ?
Vastaus: Kun [[$ -1 < x < 3 $]].

Kysymys: Milloin funktion arvot ovat positiivia ( [[$ f(x)>0 $]] ) ?
Vastaus: Kun [[$ x<-1 $]] ja ​[[$ x > 3 $]].​

Jäikö kysymyksiä? Voit jättää kommentin alapuolelle.

Funktion kulku (s.86-90)

Jos muuttujan arvon (x) kasvaessa myös funktion arvo suurenee, funktio on kasvava.
Jos muuttujan arvon kasvaessa funktion arvo pienenee, funktio on vähenevä.

Jos kuvaaja on suora, puhutaan nousevasta (koko ajan kasvava) ja laskevasta (koko ajan vähenevä) suorasta.



Tutkitaan funktion kuvaajaa. Kuljettessa x-akselilla vasemmalta oikealle funktio vähenee kohtaan x=1 asti, jonka jälkeen funktio kasvaa. Funktio on siis vähenevä niillä muuttujan arvoilla, kun x on pienempi kuin 1 ja kasvava kun x on suurempi kuin 1.

Pisteessä, jossa funtio vaihtaa suuntaa, löydämme funktion ääriarvon. Tässä tapauksessa pisteessä [[$ (1, -4) $]] löydämme funktion pienimmän arvon (-4). Suurinta arvoa emme voi määrittää, koska kuvaaja jatkuu äärettömästi ylöspäin.

Kysymys: Milloin funktio on vähenevä?
Vastaus: Kun x<1.

Kysymys: Milloin funktion on kasvava?
Vastaus: Kun x>1.

Kysymys: Mitkä ovat funktion suurin ja pienin arvo?
Vastaus: Pienin arvo on -4. Suurinta arvoa ei voida määritellä.

Jäikö kysymyksiä? Voit jättää kommentin alapuolelle.

Funktion kuvaajan piirtäminen (s.91-93)

Funktion kuvaaja piirretään koordinaatistoon.

Esimerkki: Piirretään funktion [[$ f(x) = 2x-1 $]] kuvaaja.​

Lasketaan funktion lausekkeen avulla sopiva määrä x:n arvoja vastaavia y:n arvoja.
Arvot voit valita itse, mutta yleensä 0, 1, 2 ovat hyviä sijoitettavia. Kannattaa laskea ainakin kolme arvoa.

Esimerkiksi:

x [[$ f(x) = 2x-1 $]] (x, y)
0 [[$ f(0)=2\cdot0-1=0-1=-1 $]]​ (0, -1)
1 [[$ f(1)=2\cdot1-1=2-1=1 $]]​ (1, 1)
2 [[$ f(2)=2\cdot2-1=4-1=3 $]]​ (2, 3)


Piirretään koordinaatisto. Muista käyttää viivotinta ja valmiita ruutuja apuna!

Sijoitetaan pisteet koordinaatistoon:




Piirretään suora pisteiden kautta.



Näin saimme piirrettyä funktion kuvaajan, joka oli tässä tapauksessa suora.

Jäikö kysymyksiä? Voit jättää kommentin alapuolelle.