LibreOffice calc ja lukujonot
Lukujonoja
Huom! Yksinkertaiset lukujonotehtävät tapaavat olla yo-kokeen A-osassa, jossa LibreOffice Calcia ei saa käyttää.
Lukujonoista käsitellään lukiomatematiikassa kolmenlaisia: aritmeettisia, geometrisia ja rekursiivisia.
Aritmeettisessa lukujonossa edeltävään lukuun lisätään aina sama luku, esimerkiksi 7,11,15,19,..., jossa lisättävä luku on 4.
Geometrisessa lukujonossa edletävä luku kerrotaan aina samalla luvulla, esimerkiksi 2,6,18,54,..., jossa kertoja on 3.
Rekursiivisessa lukujonossa uusi luku saadan jollakin tavalla edeltävistä luvuista. Aritmeettiset ja geometriset lukujonot ovat siis rekursiivisia, mutta on muitakin rekursiivia lukujonoja, kuuluisimpana varmaankin Fibonaccin lukujono, joka alkaa 1,1, ja jossa uusi luku saadaan aina laskemalla kaksi edeltävää yhteen, eli 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,... Fibonaccin lukujono ei ole aritmeettiinen eikä geometrinen.
Lasketaan LibreOffice Calcin avulla lukujonon 7,11,15,19,... sadas jäsen:
Geometriselle jonolle maalaamistaktiikka ei onnistu, koska LibreOffice Calc ei ymmärrä, miten lukujonon pitäisi jatkua.
Esim. 2.
Mikä on kymmenes luku geometrisessa jonossa 2, 3, 4.5, 6.75,... ?
Jonossa seuraava jäsen saadaan aina kertomalla edellinen 1.5:lla. Laitetaan ruutuun A1 jonon aloitusluku 2 ja lasketaan sen alapuolelle toinen luku kaavalla =A1*1.5:
Huom. LibreOffice Calcin desimaalierotin riippuu kieliasetuksista. Nämä kuvat ovat englanninkielisestä LibreOffice Calcista, jossa desimaalierotin on piste. Suomenkielisessä se on pilkku. LibreOffice Calc ei ymmärrä väärää desimaalierotinta. Jos käytät sitä, ruudun sisältö näkyy sen vasemmassa laidassa, koska LibreOffice pitää sitä tekstinä eikä lukuna:
Palataan esimerkkiin. Kun olet kirjoittanut A2-ruutuun =A1*1.5 ja painanut enteriä, LO Calc laskee ruutuun arvon 3. Jos klikaat ruutua ja otat oikean alakulman täyttökahvasta kiinni, voit vetää siitä alaspäin ja LO Calc laskee lisää arvoja:
LibreOffice nimittäin ymmärtää ruutuun A2 kirjoittamasi kaavan tällä tavalla: "kerro yläpuolella oleva luku 1.5:lla".
Lukujonoista käsitellään lukiomatematiikassa kolmenlaisia: aritmeettisia, geometrisia ja rekursiivisia.
Aritmeettisessa lukujonossa edeltävään lukuun lisätään aina sama luku, esimerkiksi 7,11,15,19,..., jossa lisättävä luku on 4.
Geometrisessa lukujonossa edletävä luku kerrotaan aina samalla luvulla, esimerkiksi 2,6,18,54,..., jossa kertoja on 3.
Rekursiivisessa lukujonossa uusi luku saadan jollakin tavalla edeltävistä luvuista. Aritmeettiset ja geometriset lukujonot ovat siis rekursiivisia, mutta on muitakin rekursiivia lukujonoja, kuuluisimpana varmaankin Fibonaccin lukujono, joka alkaa 1,1, ja jossa uusi luku saadaan aina laskemalla kaksi edeltävää yhteen, eli 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,... Fibonaccin lukujono ei ole aritmeettiinen eikä geometrinen.
Lasketaan LibreOffice Calcin avulla lukujonon 7,11,15,19,... sadas jäsen:
- Kirjota jonon alku A-sarakkeen alkuun:
- Maalaa kirjoittamasi luvut, ja ota kursorilla kiinni oikeaan alakulmaan tulleesta neliöstä (eli täyttökahvasta):
- Vedä kursoria alas ainakin rivinumeroon 100 asti:
- Koska ensimmäinen jonon jäsen oli rivillä 1, on sadas jäsen rivillä 100:
Geometriselle jonolle maalaamistaktiikka ei onnistu, koska LibreOffice Calc ei ymmärrä, miten lukujonon pitäisi jatkua.
Esim. 2.
Mikä on kymmenes luku geometrisessa jonossa 2, 3, 4.5, 6.75,... ?
Jonossa seuraava jäsen saadaan aina kertomalla edellinen 1.5:lla. Laitetaan ruutuun A1 jonon aloitusluku 2 ja lasketaan sen alapuolelle toinen luku kaavalla =A1*1.5:
Huom. LibreOffice Calcin desimaalierotin riippuu kieliasetuksista. Nämä kuvat ovat englanninkielisestä LibreOffice Calcista, jossa desimaalierotin on piste. Suomenkielisessä se on pilkku. LibreOffice Calc ei ymmärrä väärää desimaalierotinta. Jos käytät sitä, ruudun sisältö näkyy sen vasemmassa laidassa, koska LibreOffice pitää sitä tekstinä eikä lukuna:
Palataan esimerkkiin. Kun olet kirjoittanut A2-ruutuun =A1*1.5 ja painanut enteriä, LO Calc laskee ruutuun arvon 3. Jos klikaat ruutua ja otat oikean alakulman täyttökahvasta kiinni, voit vetää siitä alaspäin ja LO Calc laskee lisää arvoja:
LibreOffice nimittäin ymmärtää ruutuun A2 kirjoittamasi kaavan tällä tavalla: "kerro yläpuolella oleva luku 1.5:lla".
Summia
Esim 1.
Laske jonon [[$a_n = 3n+1$]] ensimmäisen sadan jäsenen summa.
(Eräs) ratkaisu:
Laitetaan a-sarakkeeseen jonon jäsneten järjestysnumerot ja b-sarakkeeseen jonon jäsenet:
Jonon voisi toki laskea monella muullakin tavalla, mutta tällä tavalla saamme jonon jäsenet suoraan kaavalla. Täydennetään sarake B täyttökahvan avulla:
(huomaa, kuinka kuvakaappauksiin on otettu mukaan ylhäällä näkyvä laatikko, jossa näkyy valitun ruudun kaava. Tee samoin kokeissa).
Nyt summa saadaan laskettua esimerkiksi komennolla =SUMMA(B2:B101). Tässä ruutunumerot B2 ja B101 kaksoispisteellä erotettuna tarkoittavat, että lasketaan summa kaikista alueella B2:sta B101:een olevista ruuduista:
Esim 2.
Monesko summa jonosta [[$b_n = 8*1.01^{n-1}]] on ensimmäinen, joka on suurempi kuin 10 000?
Eräs ratkaisu:
Laitetaan taas A-sarakkeeseen järjestysnumerot ja lasketaan B-sarake sen avulla:
Täytetään B-saraketta vetämällä alaspäin:
Lasketaan C-sarakkeeseen kumulatiivinen summa. Ruutuun C2 tulee sama luku kuin B2:
Ruutuun C3 tulee summa ruuduista B2 ja B3. Ruutuun C4 summa ruuduista B2,B3 ja B4 jne. Helpointa tämä on laskea laittamalla jokaiseen C-sarakkeen ruutuun summa yläpuolella ja vasemmalla olevasta ruudusta:
Kiskotaan alaspäin ja etsitään ruutu, jossa summa ylittää 10 000:
Siis ensimmäisen kerran yli 10 000:n summaan päästään summaamalla jonon 262 ensimmäistä jäsentä.
Laske jonon [[$a_n = 3n+1$]] ensimmäisen sadan jäsenen summa.
(Eräs) ratkaisu:
Laitetaan a-sarakkeeseen jonon jäsneten järjestysnumerot ja b-sarakkeeseen jonon jäsenet:
Jonon voisi toki laskea monella muullakin tavalla, mutta tällä tavalla saamme jonon jäsenet suoraan kaavalla. Täydennetään sarake B täyttökahvan avulla:
(huomaa, kuinka kuvakaappauksiin on otettu mukaan ylhäällä näkyvä laatikko, jossa näkyy valitun ruudun kaava. Tee samoin kokeissa).
Nyt summa saadaan laskettua esimerkiksi komennolla =SUMMA(B2:B101). Tässä ruutunumerot B2 ja B101 kaksoispisteellä erotettuna tarkoittavat, että lasketaan summa kaikista alueella B2:sta B101:een olevista ruuduista:
Esim 2.
Monesko summa jonosta [[$b_n = 8*1.01^{n-1}]] on ensimmäinen, joka on suurempi kuin 10 000?
Eräs ratkaisu:
Laitetaan taas A-sarakkeeseen järjestysnumerot ja lasketaan B-sarake sen avulla:
Täytetään B-saraketta vetämällä alaspäin:
Lasketaan C-sarakkeeseen kumulatiivinen summa. Ruutuun C2 tulee sama luku kuin B2:
Ruutuun C3 tulee summa ruuduista B2 ja B3. Ruutuun C4 summa ruuduista B2,B3 ja B4 jne. Helpointa tämä on laskea laittamalla jokaiseen C-sarakkeen ruutuun summa yläpuolella ja vasemmalla olevasta ruudusta:
Kiskotaan alaspäin ja etsitään ruutu, jossa summa ylittää 10 000:
Siis ensimmäisen kerran yli 10 000:n summaan päästään summaamalla jonon 262 ensimmäistä jäsentä.