Vuoden 2021 kevään tentti koostui neljästä 6 pisteen tehtävästä, yksi jokaisesta allaolevasta poolista.

Opettajan työaikaan sekä säädöksiin liittyvien kysymysten pooli

Työskentelet matematiikan aineenopettajana eräässä erillisessä kunnallisessa yläkoulussa.

• Oletetaan, että opetat kahta 7.-luokkalaisten, kolmea 8.-luokkalaisten ja kahta 9.-luokkalaisten matematiikan ryhmää. Arvioi matemaattisesti, kuinka monta viikottaista opetustuntia sinulla on vähintään ja kuinka monta taas enintään. Muista viitata käyttämiisi dokumentteihin niin, että viitteistä käy riittävän selkeästi ilmi, mitä lähteitä käytät arviossasi. [4p]
• Erittele niitä muita tekijöitä, jotka vaikuttavat työaikaasi ja työmäärääsi. [2p]

Perusopetuslain (628/1998) nojalla perusopetuksessa opiskellaan matematiikkaa (PoL 11 §) (1p), jonka vuosiviikkotuntien määrä täsmentyy yläkouluun tuntijakoasetuksessa (793/2018) niin, että 7., 8. ja 9. vuosiluokalla opiskellaan yhteensä 11 tuntia matematiikkaa (1p).

Olkoon vuosiviikkotuntien määrä 7. luokalla [[$x$]], 8. luokalla [[$y$]] ja 9. luokalla [[$z$]]. Tällöin 7. luokan ryhmien määrällä [[$a$]], 8. luokan ryhmien määrällä [[$b$]] ja 9. luokan ryhmien määrällä [[$c$]] saadaan opettajan opetustuntien määräksi

[[$$f(x,y,z) = ax + by + cz.$$]]

Tuntijakoasetuksen reunaehdolla

[[$$x + y + z = 11$$]]

saadaan

[[$$f(x,y,z)$$]]

[[$$= ax + by + c(11 -x -y)$$]]

[[$$= (a - c)x + (b - c)y + 11c.$$]]

Tällöin lauseke arvoilla [[$a = 2, b = 3, c = 2$]] on

[[$$f(x,y,z) = y + 22.$$]] (1p)

Lisäksi voidaan olettaa, että jokaisella vuosiluokalla on vähintään yksi vuosiviikkotunti matematiikkaa. Tällöin [[$x, y, z ∈ \{1, ..., 9\}$]]. Siis

[[$$\min f(x,y,z) = f(9, 1, 9) = 23$$]] [0,5p]

[[$$\max f(x,y,z) = f(1, 9, 1) = 31$$]] [0,5p]

Peruskoulun opettajan työaika rakentuu opetustunneista (0,5p), näiden suunnitteluun sekä näiden etukäteis- ja jälkivalmisteluun kuluvasta ajasta (0,5p), arviointiin kuluvasta ajasta (0,5p) sekä yhteissuunnittelutyöajasta (0,5p).

Työskentelet matematiikan aineenopettajana eräässä erillisessä kunnallisessa yläkoulussa.

• Erittele niitä tekijöitä, dokumentteja ja toimijoita, jotka vaikuttavat työhösi juuri kyseisessä koulussa. [2p]
• Oletetaan, että opetat yhtä 7.-luokkalaisten, kolmea 8.-luokkalaisten ja kolmea 9.-luokkalaisten matematiikan ryhmää. Arvioi matemaattisesti, kuinka monta viikottaista opetustuntia sinulla on vähintään ja kuinka monta taas enintään. Muista viitata käyttämiisi dokumentteihin niin, että viitteistä käy riittävän selkeästi ilmi, mitä lähteitä käytät arviossasi. [4p]

Peruskoulun opettajan työ perustuu eduskunnan antamaan perusopetuslakiin, valtioneuvoston antamaan asetukseen tuntijaosta, (0,5p) Opetushallituksen antamaan normiin perusopetuksen opetussuunnitelman perusteista, kunnalliseen opetussuunnitelmaan sekä mahdolliseen koulukohtaiseen opetussuunnitelmaan (0,5p). Näiden toimijoiden lisäksi opetuskentällä toimivat Opetusalan Ammattijärjestö OAJ sekä Kuntatyönantajat. (0,5p) Valitusviranomaisena toimii esimerkiksi aluehallintovirasto (avi). (0,5p)

Perusopetuslain (628/1998) nojalla perusopetuksessa opiskellaan matematiikkaa (PoL 11 §) (1p), jonka vuosiviikkotuntien määrä täsmentyy yläkouluun tuntijakoasetuksessa (793/2018) niin, että 7., 8. ja 9. vuosiluokalla opiskellaan yhteensä 11 tuntia matematiikkaa (1p).

Olkoon vuosiviikkotuntien määrä 7. luokalla [[$x$]], 8. luokalla [[$y$]] ja 9. luokalla [[$z$]]. Tällöin 7. luokan ryhmien määrällä [[$a$]], 8. luokan ryhmien määrällä [[$b$]] ja 9. luokan ryhmien määrällä [[$c$]] saadaan opettajan opetustuntien määräksi

[[$$f(x,y,z) = ax + by + cz.$$]]

Tuntijakoasetuksen reunaehdolla

[[$$x + y + z = 11$$]]

saadaan

[[$$f(x,y,z)$$]]

[[$$= ax + by + c(11 -x -y)$$]]

[[$$= (a - c)x + (b - c)y + 11c.$$]]

Tällöin lauseke arvoilla [[$a = 1, b = 3, c = 3$]] on

[[$$f(x,y,z) = -2x + 33.$$]] [1p]

Lisäksi voidaan olettaa, että jokaisella vuosiluokalla on vähintään yksi vuosiviikkotunti matematiikkaa. Tällöin [[$x, y, z ∈\{1, ..., 9\}$]]. Siis

[[$$\min f(x,y,z) = g(9, 1, 1) = 15,$$]]
josta [0,5p].

[[$$\max f(x,y,z) = g(1, 1, 9) = g(1, 9, 1) = 31,$$]]
josta [0,5p].

Työskentelet matematiikan aineenopettajana eräässä erillisessä kunnallisessa yläkoulussa.

• Erittele niitä tekijöitä, dokumentteja ja toimijoita, jotka vaikuttavat työhösi juuri kyseisessä koulussa. [2p]
• Oletetaan, että koulussasi opetetaan matematiikkaa 3 vuosiviikkotuntia 7. luokalla, 4 vuosiviikkotuntia 8. luokalla ja 4 vuosiviikkotuntia 9. luokalla. Kuinka monella eri luokka-asteiden ryhmien lukumäärien yhdistelmällä opetusvelvollisuutesi täyttyy eikä ylity (ts. kuinka monella eri tavalla on mahdollista antaa sinulle matematiikan ryhmiä niin, että opetusvelvollisuutesi täyttyy eikä ylity)? Muista viitata käyttämiisi dokumentteihin niin, että viitteistä käy riittävän selkeästi ilmi, mitä lähteitä käytät arviossasi. [4p]

Peruskoulun opettajan työ perustuu eduskunnan antamaan perusopetuslakiin, valtioneuvoston antamaan asetukseen tuntijaosta, (0,5p) Opetushallituksen antamaan normiin perusopetuksen opetussuunnitelman perusteista, kunnalliseen opetussuunnitelmaan sekä mahdolliseen koulukohtaiseen opetussuunnitelmaan (0,5p). Näiden toimijoiden lisäksi opetuskentällä toimivat Opetusalan Ammattijärjestö OAJ sekä Kuntatyönantajat. (0,5p) Valitusviranomaisena toimii esimerkiksi aluehallintovirasto (avi). (0,5p)

Peruskoulun matematiikan aineenopettajan opetusvelvollisuus kunnallisessa yläkoulussa on 21 vuosiviikkotuntia (vvt) (OVTES 7§ 2 mom.). Olkoon [[$x$]] opetettujen 7. luokan vuosiviikkotuntien määrä ja vastaavasti [[$y$]] 8. luokan ja [[$z$]] 9. luokan vuosiviikkotuntien määrä. Tällöin [[$x,y,z\in\mathbb{N}$]] ja

[[$$3x+4y+4z=21,$$]]

joka on Diofantoksen yhtälö. Koska [[$\text{syt}(3,4,4)=1\ |\ 21,$]] tällä yhtälöllä on kokonaislukuratkaisuja, jotka voi selvittää esimerkiksi brute force -taulukoimalla.

7. lk. vvt	8. lk. vvt	9. lk. vvt	summa
0	0	5,25	21
0	1	4,25	21
0	2	3,25	21
0	3	2,25	21
0	4	1,25	21
0	5	0,25	21
1	0	4,5	21
1	1	3,5	21
1	2	2,5	21
1	3	1,5	21
1	4	0,5	21
2	0	3,75	21
2	1	2,75	21
2	2	1,75	21
2	3	0,75	21
3	0	3	21
3	1	2	21
3	2	1	21
3	3	0	21
4	1	1,25	21
4	2	0,25	21
5	0	1,5	21
5	1	0,5	21
6	0	0,75	21
7	0	0	21

Oppitunnin valmisteluun sekä matemaattiseen taustateoriaan liittyvien tehtävien pooli

Olet valmistelemassa tuntia, ja tavoitteenasi on opettaa 7.-luokkalaisille Thaleen lause.

• Matemaattinen tausta: Esittele ja todista Thaleen lause. [4p]
• Kehitä kaksi olennaisesti erilaista kyseiselle luokkatasolle soveltuvaa havainnollistuskeinoa, joilla havainnollistat oppilaille, mistä tuntisi aiheessa on kyse, ja joita soveltamalla oppilaat voivat ratkaista aiheeseen liittyvät tehtävät. [2p]

Todistuksesta soveltuvin osin (0p) tai (1p) tai (2p) tai (3p) tai (4p).

Havainnollistustavoista (1p) ja (1p).

Olet valmistelemassa tuntia, ja tavoitteenasi on opettaa 7.-luokkalaisille kolmion kulmien summa.

• Matemaattinen tausta: Esittele ja todista kolmion kulmien summa. [4p]
• Kehitä kaksi olennaisesti erilaista kyseiselle luokkatasolle soveltuvaa havainnollistuskeinoa, joilla havainnollistat oppilaille, mistä tuntisi aiheessa on kyse, ja joita soveltamalla oppilaat voivat ratkaista aiheeseen liittyvät tehtävät. [2p]

Todistuksesta soveltuvin osin (0p) tai (1p) tai (2p) tai (3p) tai (4p).

Havainnollistustavoista (1p) ja (1p).

Olet valmistelemassa tuntia, ja tavoitteenasi on opettaa 8.-luokkalaisille vaillinaisen toisen asteen yhtälön ratkaiseminen.

• Matemaattinen tausta: Ratkaise ei-vaillinainen toisen asteen yhtälö x²+2bx+c=0 käyttämättä toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa. [4p]
• Kehitä kaksi olennaisesti erilaista kyseiselle luokkatasolle soveltuvaa havainnollistuskeinoa, joilla havainnollistat oppilaille, mistä tuntisi aiheessa on kyse, ja joita soveltamalla oppilaat voivat ratkaista aiheeseen liittyvät tehtävät. [2p]

Todistuksesta soveltuvin osin (0p) tai (1p) tai (2p) tai (3p) tai (4p).

Havainnollistustavoista (1p) ja (1p).

Olet valmistelemassa tuntia, ja tavoitteenasi on opettaa Pythagoraan käänteislause.

• Matemaattinen tausta: Esittele ja todista Pythagoraan käänteislause. [4p]
• Kehitä kaksi olennaisesti erilaista kyseiselle luokkatasolle soveltuvaa havainnollistuskeinoa, joilla havainnollistat oppilaille, mistä tuntisi aiheessa on kyse, ja joita soveltamalla oppilaat voivat ratkaista aiheeseen liittyvät tehtävät. [2p]

Todistuksesta soveltuvin osin (0p) tai (1p) tai (2p) tai (3p) tai (4p).

Havainnollistustavoista (1p) ja (1p).

Olet valmistelemassa tuntia, ja tavoitteenasi on opettaa 9.-luokkalaisille pallon tilavuuden ja kuoren pinta-alan kaavat.

• Matemaattinen tausta: Johda pallon tilavuuden kaava käyttäen kuoren pinta-alan kaavaa. [4p]
• Kehitä kaksi olennaisesti erilaista kyseiselle luokkatasolle soveltuvaa havainnollistuskeinoa, joilla havainnollistat oppilaille, mistä tuntisi aiheessa on kyse, ja joita soveltamalla oppilaat voivat ratkaista aiheeseen liittyvät tehtävät. [2p]

Todistuksesta soveltuvin osin (0p) tai (1p) tai (2p) tai (3p) tai (4p).

Havainnollistustavoista (1p) ja (1p).

Perusopetuksen päättöarvioinnin kriteeristöön liittyvien kysymysten pooli

Opetushallitus on täsmentänyt peruskoulun päättövaiheen arviointia lisäkriteeristöllä, jossa jokaiseen POPS:in oppiainetavoitteeseen liittyy osaamisen tasot arvosanoille 5, 7 ja 9 olemassaolevan arvosanakriteerin 8 oheen.

• Laadi yksi tehtävä, jonka ratkaisemalla oppilas voi osoittaa tavoitteen T12 arvosanojen 5, 6 ja 7 mukaisen osaamisensa. Perustele, miksi tehtäväsi soveltuu tähän tarkoitukseen.
• Laadi oppilaan näkökulmasta tehtävääsi esimerkkiratkaisu, jossa arvosanan X osaamistavoitteet täyttyvät.

Lukukäsitteen ymmärtämistä käsittelevien päättöarvioinnin kriteerien esittelystä [2p], tehtävän laadinnasta [2p]. Oppilaan mallivastauksesta [1p] sekä lisäksi [1p] sen erittelystä, miksi juuri arvosanan X kriteerit täyttyvät.

Poiminta: Pyöristä luku [[$6,9999$]] yhden desimaalin tarkkuuteen.

Opetushallitus on täsmentänyt peruskoulun päättövaiheen arviointia lisäkriteeristöllä, jossa jokaiseen POPS:in oppiainetavoitteeseen liittyy osaamisen tasot arvosanoille 5, 7 ja 9 olemassaolevan arvosanakriteerin 8 oheen.

• Laadi yksi tehtävä, jonka ratkaisemalla oppilas voi osoittaa tavoitteen T13 arvosanojen 7, 8 ja 9 mukaisen osaamisensa. Perustele, miksi tehtäväsi soveltuu tähän tarkoitukseen.
• Laadi oppilaan näkökulmasta tehtävääsi esimerkkiratkaisu, jossa nimenomaan arvosanan X osaamistavoitteet täyttyvät.
  

Prosenttilaskennan päättöarvioinnin kriteerien esittelystä [2p], tehtävän laadinnasta [2p]. Oppilaan mallivastauksesta [1p] sekä lisäksi [1p] sen erittelystä, miksi juuri arvosanan X kriteerit täyttyvät.

Opetushallitus on täsmentänyt peruskoulun päättövaiheen arviointia lisäkriteeristöllä, jossa jokaiseen POPS:in oppiainetavoitteeseen liittyy osaamisen tasot arvosanoille 5, 7 ja 9 olemassaolevan arvosanakriteerin 8 oheen.

• Laadi yksi tehtävä, jonka ratkaisemalla oppilas voi osoittaa tavoitteen T17 arvosanojen 5, 6 ja 7 mukaisen osaamisensa. Perustele, miksi tehtäväsi soveltuu tähän tarkoitukseen.
• Laadi oppilaan näkökulmasta tehtävääsi esimerkkiratkaisu, jossa nimenomaan arvosanan X osaamistavoitteet täyttyvät.

Suorakulmaiseen kolmioon liittyvien päättöarvioinnin kriteerien esittelystä [2p], tehtävän laadinnasta [2p]. Oppilaan mallivastauksesta [1p] sekä lisäksi [1p] sen erittelystä, miksi juuri arvosanan X kriteerit täyttyvät.

Kolmiportaiseen tukeen liittyvien kysymysten pooli

Aloitat puolen vuoden matematiikan aineenopettajan sijaisena eräässä peruskoulussa. Sijaistusajan tehtävistäsi yksi on luokan 7C luokanvalvojana toimiminen. Kun tapaat luokallesi nimettyä laaja-alaista erityisopettajaa, mitä sinun kannattaa kysyä

• luokan 7C luokanvalvojan roolissa
• luokan 7C aineenopettajan roolissa?

Luokanvalvoja vastaa oman luokkansa oppilaista sekä näiden tuen tarpeen jatkuvasta kartoituksesta sekä oppilisen että käytöksen saralla. (1p) Laaja-alaisella erityisopettajalla on yleiskuva vastuuoppilaidensa tuen tarpeesta sekä mahdollisesti myös niveltietoa oppilaan alakoulutaustasta. (1p)

Jos oppilas tarvitsee tehostetua tukea, joka on perusopetuslain ja perusopetuksen opetussuunnitelman perusteiden nojalla säännöllisen tuen tai samanaikaisten usean tukimuodon tai molempien yhdistelmä, tukimuodot ja näiden kesto ja vaikuttavuusarviot tulee kirjata oppimissuunnitelmaan. Luokan oppilaiden saaman tuen tulee olla oikea-aikaista ja riittävää, ja sen toteutumista tulee arvioida säännöllisesti, olipa kyseessä yleisen, tehostetun tai erityisen tuen oppilas.(1p)

Aineenopettaja vastaa opetusryhmänsä opetussuunnitelman mukaisesta opetuksesta. (1p) Näin ollen aineenopettaja vastaa opetusryhmänsä arvioinnista sekä tuen tarpeesta, joten hänen on syytä kartoittaa, millaista tukea oppilaat ovat saaneet ja kuinka kauan tukea on annettu. (1p) Oppimisen aikaisen tuen lisäksi tulee kiinnittää huomiota siihen, ovatko jotkut opetusryhmän oppilaat jääneet kiinni luki- tai laskutaitoseuloihin, sekä siihen, onko heidän kohdallaan käytetty esimerkiksi suullista näytönantotapaa arvioinnissa.

Opetat erästä 8. luokan matematiikan ryhmää, ja heti alkusyksystä yksi oppilaistasi kertoo, ettei hän osaa opiskelemaanne aihetta kunnolla. Käyt tunnin jälkeen läpi oppilaan tietoja, ja huomaat, että hän on tehostetussa tuessa.

• Mihin tahoihin sinun tulee olla yhteydessä oppilaaseen liittyen, ja mitä sinun tulee kirjata ja minne?
• Mitä kyseisen oppilaan tehostetun tuen toteutuminen vaatii sinulta hänen aineenopettajanaan?

Opettaja on koulun käytänteiden mukaisesti yhteydessä oppilaan asioita koordinoivaan tahoon, esimerkiksi luokanvalvojaan tai laaja-alaiseen erityisopettajaan (1p) sekä lisäksi tässä tapauksessa oppilaan perheeseen (1p). Koska oppilas on tehostetussa tuessa, tukimuodot ja näiden kesto ja vaikuttavuusarviot tulee kirjata oppimissuunnitelmaan (1p).

Opettaja antaa tukiopetusta, mikäli hän kokee sen tarpeellisena (1p). Lisäksi oppilaan kanssa tulee sopia seurantajaksosta, jonka päätteeksi tukiopetuksen vaikuttavuus arvioidaan (1p). Jos näytöt ja esimerkiksi koemenestys pysyvät heikkona tukiopetuksesta huolimatta, tuen muodot tulee arvioida uudelleen (1p).

Opetat erästä 8. luokan matematiikan ryhmää, ja heti alkusyksystä kyseisen luokan laaja-alainen erityisopettaja kertoo sinulle, että eräs oppilaasi on tehostetussa tuessa omantoiminnanohjauksen haasteiden sekä tarkkaavaisuuden pulmien vuoksi.

• Määrittele tehostettu tuki. [2p]
• Mihin toimiin sinun tulee ryhtyä kyseisen oppilaan aineenopettajana? [4p]

Tehostettu tuki on sitä tukea, jota oppilas saa, jos hän saa tukea säännöllisesti (0,5p) tai jos hän saa useaa eri tukimuotoa samanaikaisesti (0,5p). Tehostettuun tukee siirrytään moniammatillisessa yhteistyössä oppilashuollon kanssa (0,5p), ja tällöin oppilaalle laaditaan oppimissuunnitelma (0,5p).

 Erittely pedagogisista asiakirjoista (2p) sekä siitä, miten tuki voi näkyä tunneilla (2p).