4.2 Korkeamman asteen yhtälö

Korkeamman asteen yhtälö

Korkeamman asteen polynomiyhtälö on muotoa [[$ a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x+a_0=0 $]]​, missä [[$ a_n\neq 0 $]]​ ja [[$ n $]]​ on vähintään 3.


Tulomuotoinen korkeamman asteen yhtälö

Jos yhtälössä [[$ P(x)=0 $]]​ polynomi [[$ P(x) $]]​ on tulomuodossa tai jaettavissa tekijöihin, voi yhtälön ratkaista käyttämällä tulon nollasääntöä. Polynomi voidaan jakaa tekijöihin ottamalla yhteinen tekijä, muistikaavoilla tai ryhmittelemällä.


Esimerkki 1

Ratkaise yhtälö [[$ (x-1)(x^2-4)=0 $]]​.

Ratkaisu:
Polynomi on tulomuodossa ja yhtälön oikella puolella on nolla, joten voidaan käyttää tulon nollasääntöä. Saadaan ​[[$ x-1=0 $]]​ tai [[$ x^2-4=0 $]]​. (muistikaava)
[[$ \Leftrightarrow x=1 $]]​ tai [[$ (x-2)(x+2)=0 $]]​, josta saadaan vastaus [[$ x=1 $]]​ tai [[$ x=2 $]]​ tai [[$ x=-2 $]]​.

Vastaus: [[$ x=1 $]]​ tai [[$ x=2 $]]​ tai [[$ x=-2 $]]​.


Esimerkki 2

Ratkaise yhtälö [[$ x^3-2x^2-3x=0 $]]​.

Ratkaisu:
Otetaan yhteinen tekijä, [[$ x(x^2-2x-3)=0 $]]​ ja käytetään tulon nollasääntöä. Saadaan [[$ x=0 $]]​ tai ​[[$ x^2-2x-3=0 $]]​. Jälkimmäiseen yhtälöön käytetään ratkaisukaavaa ja saadaan nollakohdiksi [[$ x=0 $]]​ tai [[$ x=3 $]]​ tai [[$ x=-1 $]]​.

Vastaus: [[$ x=0 $]]​ tai [[$ x=3 $]]​ tai [[$ x=-1 $]].

Esimerkki 3

Ratkaise yhtälö [[$ x^5-2x^4+x^2-2x=0 $]]​.

Ratkaisu:
Yhteisen tekijän ottaminen johtaa tilanteeseen

[[$ x(x^4-2x^3+x-2)=0 $]]​,

josta ei päästä eteenpäin pelkällä tulon nollasäännöllä. Ryhmittelyllä saadaan

[[$ x^5-2x^4+x^2-2x=0 $]]
​[[$ x^4(x-2)+x(x-2)=0 $]]​ (yhteinen tekijä [[$ (x-2) $]]​)
[[$ (x-2)(x^4+x)=0 $]]​
​[[$ (x-2)\cdot x(x^3+1)=0 $]]​ (tulon nollasääntö)
[[$ x-2=0 $]]​ tai [[$ x=0 $]]​ tai [[$ x^3+1=0 $]]​
[[$ x=2 $]]​ tai [[$ x=0 $]] tai [[$ x^3=-1 $]]​ (kuutiojuuri puolittain)
[[$ x=2 $]]​ tai [[$ x=0 $]] tai [[$ x=-1 $]]​

Vastaus: [[$ x=2 $]]​ tai [[$ x=0 $]] tai [[$ x=-1 $]]​.

Sijoituksella ratkeava korkeamman asteen yhtälö

Esimerkki 4

Ratkaise yhtälö [[$ x^4-x^2-6=0 $]]​.

Ratkaisu:
Sijoitetaan [[$ t=x^2 $]]​.
Saadaan [[$ t^2-t-6=0 $]]​, joka ratkeaa ratkaisukaavalla: [[$ t=3 $]]​ tai [[$ t=-2 $]]​.
Sijoitetaan saadut arvot kaavaan [[$ t=x^2 $]].
[[$ \Rightarrow x^2=3 $]]​ tai [[$ x^2=-2 $]]​ (epätosi)
[[$ \Rightarrow x=\sqrt3 $]]​ tai [[$ x=-\sqrt 3 $]]​.

Vastaus: [[$ x=\sqrt3 $]]​ tai [[$ x=-\sqrt 3 $]]


Muotoa [[$ ax^4+bx^2+c=0 $]]​ oleva niin sanottu bikvadraattinen yhtälö voidaan aina ratkaista sijoittamalla [[$ t=x^2$]].

Yleisesti muotoa [[$ ax^{2n}+bx^n+c=0 $]] olevat yhtälöt voidaan ratkaista sijoituksella [[$ t=x^n$]].