Esimerkkien ratkaisut
Esimerkin 1 ratkaisu
Kuinka suuri on aktiivisuus 1,0 milligrammassa radium-223 -isotooppia? Kuinka suuri kokonaisenergia on vapautunut yhden radiumin puoliintumisajan kuluttua?
Aktiivisuus lasketaan seuraavasti:
[[$ \quad \begin{align} A&=\lambda N=\dfrac {\ln 2}{T_{1/2}}\dfrac{m}{m_{\text{atomi}}}\\ \, \\
A&= \dfrac{\ln 2}{11,43\cdot24\cdot 3600\text{ s}}\cdot\dfrac{1\cdot 10^{-6}\text{ kg}} {223,0185022\cdot 1,6605402\cdot 10^{-27} {\text{ kg}}}=1,89\dotso\cdot 10^{12}\text{ Bq}\approx 1,9\cdot 10^{12}\text{ Bq}\end{align}
$]]
Ra-223 on alfa-aktiivinen isotooppi, jonka hajoamisen reaktioyhtälö on seuraava:
[[$\quad ^{223}_{\ \ 88}\text{Ra} \rightarrow {^{219}_{\ \ 86}\text{Rn}}+{^4_2\text{He}} $]]
Ydinten massat saadaan vähentämällä niistä atomin elektronien kokonaismassa. Massan muutos hajoamisessa saadaan vähentämällä emoytimen massasta reaktiossa syntyvien radon- ja heliumytimien massat:
[[$ \quad \begin{align} \Delta m &=m_{\text{Ra-ydin}}-m_{\text{Rn-ydin}}-m_{\text{He-ydin}} \\ \, \\ &=m_{\text{Ra-atomi}}-88 m_\text{e}-(m_{\text{Rn-atomi}}-86m_\text{e})-(m_{\text{He-atomi}}-2m_\text{e} ) \\ \, \\ &=m_{\text{Ra-atomi}}-m_{\text{Rn-atomi}}-m_{\text{He-atomi}} \\ \, \\ &= 223,0185022\text{ u}-219,0094802 \text{ u} -4,0026033 \text{ u} \\ \, \\ &=0,0064187\text{ u}\\ \end{align} $]]
Reaktioenergia on kaavan E = mc2 nojalla
[[$ \quad Q=\Delta m c^2=0,0064187 \cdot 931,49 \text{ MeV/c}^2\cdot c^2=5,978\dots\text{MeV} \approx 6,0 \text{ MeV} $]]
Puoliintumisajan kuluessa puolet näytteen hiukkasista hajoaa, joten vapautuva kokonaisenergia on
[[$ \quad E=0,5NQ=0,5\cdot\dfrac{m}{m_{\text{atomi}}}\cdot Q=0,5\cdot\
\dfrac{1\cdot 10^{-6}\text{ kg}} {223,0185022\cdot 1,6605402\cdot 10^{-27} {\text{ kg}}} \cdot 5,98 \text{ MeV}\approx 8,07 \dots \cdot 10^{18}\text{ MeV}\approx 13 \text{ MJ} $]]
Esimerkin 2 ratkaisu
Lääketieteellisen merkkiaineen aktiivisuus sen valmistuksen jälkeen on 45 MBq. Aktiivisuus on 34 MBq, kun aine tuodaan sairaalaan 16 tunnin kuluttua.
a) Määritä aineen puoliintumisaika.
b) Aine on käyttökelpoista, kunnes sen kokonaisaktiivisuus laskee alle 5,0 MBq. Kuinka kauan tähän kuluu aikaa?
a) Aktiivisuus vähenee hajoamislain mukaisesti. Valmistuksen jälkeen A0=45 MBq ja 16 tunnin kuluttua A=34 MBq.
[[$ \quad \begin {align*} A&=A_0 e^{-\lambda t}\\ \, \\
\dfrac {A}{A_0}&= e^{-\lambda t} \\ \, \\
\ln \dfrac {A}{A_0}&=-\lambda t\\ \, \\
\ln \dfrac {A}{A_0}&=-\dfrac{\ln 2}{T_{1/2}} t\\ \, \\
\ln \dfrac {A}{A_0}\cdot T_{1/2}&=-\ln 2 \cdot t\\ \, \\
T_{1/2}&=\dfrac{-\ln 2} { \ln \frac {A}{A_0}}\cdot t\\ \, \\
T_{1/2}&=\dfrac{-\ln 2} { \ln \frac {34 \text{ MBq}}{45 \text{ MBq}}}\cdot 16 \text{ h}=39,56\dots \text{h}\approx 40 \text{ h}\\
\end {align*} $]]
b) Lasketaan aika t, jolloin aktiivisuus A on 5,0 MBq. Alkuhetkeksi valitaan saapuminen sairaalaan, jolloin A0=34 MBq.
[[$ \quad \begin {align*} A&=A_0 e^{-\lambda t}\\ \, \\
\dfrac {A}{A_0}&= e^{-\lambda t}\\ \, \\
\ln \dfrac {A}{A_0}&=-\lambda t\\ \, \\
\ln \dfrac {A}{A_0}&=-\dfrac{\ln 2}{T_{1/2}} t\\ \, \\
t&=\dfrac{ \ln \frac {A}{A_0}}{-\frac{\ln 2}{T_{1/2}}}\\ \, \\
t&=\dfrac{ \ln \frac {5,0 \text{ MBq}}{34\text{ MBq}}}{-\frac{\ln 2}{ 39,6\text{ h}}}=109,5\dots\text{h}\approx 110 \text{ h}\\ \end {align*} $]]