Kun sekä fotoneilla että hiukkasilla oli todettu olevan aalto- ja hiukkasluonne, syntyi tilausta teorialle, joka kuvaisi dualistisia hiukkasia sekä fotonien ja hiukkasten välistä vuorovaikutusta. Kehitettiin kvanttimekaniikan osa-alue. Kvanttimekaniikan teorialla on kaksi tukipilaria: fotonin käyttäytyminen energiapakettina ja hiukkasen mallintaminen Schrödingerin yhtälön avulla.

Kvantittuminen

Valosähköilmiössä havaittiin, että yksittäinen fotoni vuorovaikuttaa elektronin kanssa luovuttaen elektronille koko energiansa. Fotonille on ominaista, että se ei voi luovuttaa vain osaa energiastaan, vaan se katoaa vuorovaikutuksen tapahtuessa. Jos energia ei valosähköilmiössä riitä elektronin irrottamiseen, vuorovaikutusta ei tapahdu. Tämä on kvanttimekaniikan ensimmäinen perusperiaate: fotoni voi vuorovaikuttaa aineen kanssa vain syntymällä tai tuhoutumalla, ja samalla fotoni saa tai luovuttaa aineelle taajuuttaan vastaavan energian kokonaisuudessaan.

Schrödingerin yhtälö

Toinen perusperiaate on Schrödingerin yhtälö, matemaattinen malli aaltomaisten hiukkasten kuvaamiseen. Se on kvanttimekaniikassa samassa asemassa kuin Newtonin II laki klassisessa mekaniikassa. Muodoltaan se on lukiomatematiikan ulottumattomissa oleva differentiaaliyhtälö, jonka ratkaisuna saadaan hiukkasen sijainnin todennäköisyysjakauma ja jakauman aikakehitys tutkittavassa tilanteessa. Schrödingerin yhtälön avulla voidaan selvittää esim. elektronin tilaa sen ollessa vapaa tyhjässä avaruudessa tai sidottuna atomiytimen ympärillä.

Kuva: Oikealla on kuvattu elektronin sijainnin todennäköisyysjakauma perustilassa olevassa vetyatomissa. Värin voimakkuus kuvaa todennäköisyyttä löytää elektroni tietystä pisteestä. Musta piste keskellä on ydin.

Hiukkasen sijainnin todennäköisyysjakauman lisäksi Schrödingerin yhtälö antaa tuloksena hiukkasen energian. Kaikissa muissa tilanteissa paitsi tarkasteltaessa yksittäistä hiukkasta tyhjässä avaruudessa yhtälö tuottaa ratkaisuna vain tiettyjä energian arvoja. Sanotaan, että hiukkasen energia on kvantittunut. Sillä on pienin mahdollinen arvo, toiseksi pienin, jne. Energian kvantittuminen ilmenee monissa käytännön tilanteissa. Esimerkiksi ensimmäisessä luvussa esitellyt viivaspektrit selittyvät atomiytimen ympärillä olevan elektronin energian kvantittumisella.

Schrödingerin yhtälöllä on matemaattinen ominaisuus, jonka mukaan mikä tahansa sen yksittäisten ratkaisujen summa on myös yhtälön ratkaisu. Jos hiukkanen voi yhtälön mukaan olla energiatilassa [[$E_n$]] tai [[$E_m$]], se voi myös olla näissä kahdessa energiatilassa yhtä aikaa. Tilanne ei muutu, vaikka tiloja olisi kuinka monta. Kvanttimekaniikan hiukkanen voi olla vaikka 176 paikassa samanaikaisesti tai sillä voi olla 35 eri energiaa yhtä aikaa. Tilannetta, jossa hiukkasen jollain ominaisuudella on useita arvoja samanaikaisesti, kutsutaan superpositiotilaksi.

Superpositiotiloja ei havaita arjessa. Tämä selittyy sillä, että Schrödingerin yhtälön mukaan superpositiotila "romahtaa" vuorovaikutustapahtumassa johonkin yksittäiseen arvoon. Jos superpositiotilan yrittää havaita jollain mittalaitteella, mittarin ja mitattavan systeemin välillä on pakko olla vuorovaikutus. Näin mittaaminen "romauttaa" aina superpositiotilan johonkin arvoon, joka on mittaustulos. Tulosta ei voi tietää etukäteen, Schrödingerin yhtälö kertoo ainoastaan eri vaihtoehtojen todennäköisyydet. Tämä on keskeinen ero klassiseen fysiikkaan, jossa Newtonin lait, gravitaatiolaki ja Coulombin laki ennustavat tulevaisuuden täsmällisesti, kun alkutilanne tunnetaan tarkasti. Kvanttimekaniikassa mitään ei voida tietää tarkasti. Hiukkasen tarkan paikan sijaan käytössä on sijainnin todennäköisyysjakauma, ja kvantittuneille suureille tiedetään vain eri mittaustulosvaihtoehtojen todennäköisyydet.

Kvanttimekaniikkaa ei kuitenkaan tarvita mallintamaan makroskooppisia kappaleita. Mitä suuremmista hiukkasista on kyse, sitä hankalampi niiden on havaita käyttäytyvän kvanttimekaanisesti. Makroskooppisten kappaleiden tulevaisuuden mallintamiseen riittää klassinen fysiikka, koska ne ovat jatkuvasti vuorovaikutuksessa useiden muiden kappaleiden kanssa. Niillä ei ole pitkäaikaista superpositiotilaa, eikä siten arkikokemuksen vastaisia kvantti-ilmiöitä. Kvanttimekaniikka on kuitenkin välttämätöntä, jotta ymmärretään lyhytaikaisia hiukkasmaailman ilmiöitä.