Esimerkkien ratkaisut

Esimerkin 1 ratkaisu

Vihreää laservaloa (aallonpituus 520 nm) ohjataan ilmasta veteen. Tulokulma on 67°. Osa valosta taittuu ja osa heijastuu.

Määritä valon heijastuskulma ja taitekulma.
Mikä on valon taajuus, aallonpituus ja etenemisnopeus vedessä?

Ratkaisu

a. Heijastuskulma on aina sama kuin tulokulma, eli tässä tapauksessa 67°.

Taittumislain mukaan [[$\dfrac{\sin\alpha_1}{\sin\alpha_2}=\dfrac{n_2}{n_1}$]], missä [[$\alpha_1$]] on tulokulma, [[$\alpha_2$]] taitekulma sekä [[$ n_1$]] ja [[$n_2$]] ovat väliaineiden taitekertoimet. Nyt [[$n_1=1{,}00$]] (ilma) ja [[$n_2=1{,}34$]] (vesi). Voidaan ratkaista taitekulma.

[[$\quad\begin{align}\dfrac{\sin\alpha_1}{\sin\alpha_2}&=\dfrac{n_2}{n_1} \\ \ \\ \sin\alpha_2&=\dfrac{n_1\sin\alpha_1}{n_2} \\ \ \\ \alpha_2&=\arcsin\dfrac{n_1\sin\alpha_1}{n_2}\end{align}$]]

Sijoitetaan lukuarvot.

[[$\quad \alpha_2=\arcsin\dfrac{1{,}00\cdot\sin 67^\circ}{1{,}34}=43{,}388\dots^\circ\approx 43^\circ$]]

Valon heijastuskulma on 67° ja taitekulma on n. 43°.

b. Taajuus on aaltolähteen ominaisuus, eikä se muutu rajapinnalla. Alkuperäinen taajuus voidaan ratkaista aaltoliikkeen perusyhtälöstä.

[[$\quad \begin{align}v&=\lambda f \\ \ \\ f&=\dfrac{v}{\lambda}\end{align}$]]

Sijoitetaan lukuarvot: nopeus on valon nopeus, eli [[$v=2{,}998\cdot 10^8\text{m/s}$]] ja [[$\lambda=520\cdot 10^{-9}\text{ m}$]].

[[$\quad f=\dfrac{2{,}998\cdot 10^8\text{m/s}}{520\cdot 10^{-9}\text{ m}}=5{,}765\dotso\cdot 10^{14}\text{ Hz}\approx 5{,}8\cdot 10^{14}\text{ Hz}$]]

Tämä on myös taajuus vedessä.

Aallonpituus vedessä saadaan taittumislaista:

[[$\quad\begin{align} \dfrac{\sin\alpha_1}{\sin\alpha_2}&=\dfrac{\lambda_1}{\lambda_2} \\ \ \\ \lambda_2&=\dfrac{\lambda_1\sin\alpha_2}{\sin\alpha_1}\end{align}$]]

Sijoitetaan lukuarvot (taitekulma saadaan a-kohdasta, [[$\alpha_2=43{,}39^\circ$]]).

[[$\quad \lambda_2=\dfrac{520\text{ nm}\cdot\sin 43{,}39^\circ}{\sin 67^\circ}=388{,}0\dots\text{nm}\approx 390\text{ nm}$]]

Etenemisnopeus vedessä voidaan nyt laskea aaltoliikkeen perusyhtälöstä (tai taittumislaista).

[[$\quad v=\lambda f=388\cdot10^{-9}\text{ m}\cdot 5{,}77\cdot 10^{14}\text{ Hz}=2{,}23\dotso\cdot 10^8\text{ m/s}\approx 2{,}2\cdot 10^8\text{ m/s}$]]

Tämä on selvästi hitaampi kuin valon nopeus tyhjiössä tai ilmassa.

Valon taajuus on n. 5,8 [[$\cdot$]] 10¹⁴ Hz, aallonpituus n. 390 nm ja etenemisnopeus n. 2,2 [[$\cdot$]] 10⁸ m/s.

Takaisin

Esimerkin 2 ratkaisu

Punainen laservalo (aallonpituus 632,8 nm) ohjattiin vedestä tuntematonta ainetta olevaan läpinäkyvään kappaleeseen. Havaittiin, että kokonaisheijastumisen rajakulma oli 54°.

Mikä on tuntemattoman aineen taitekerroin?
Millä tulokulmalla saavutettaisiin taitekulma 45°?

Ratkaisu

a. Taittumislain mukaan [[$\dfrac{\sin\alpha_1}{\sin\alpha_2}=\dfrac{n_2}{n_1}$]], missä [[$\alpha_1$]] on tulokulma, [[$\alpha_2$]] taitekulma sekä [[$n_1$]] ja [[$n_2$]] ovat väliaineiden taitekertoimet. Nyt taitekulma [[$\alpha_2=90^\circ$]] ja [[$n_1=1{,}33$]] (vesi). Voidaan ratkaista taitekerroin [[$n_2$]].

[[$\quad \begin{align}\dfrac{\sin\alpha_1}{\sin\alpha_2}&=\dfrac{n_2}{n_1} \\ \ \\ n_2&=\dfrac{n_1\sin\alpha_1}{\sin\alpha_2}\end{align}$]]

Sijoitetaan lukuarvot.

[[$\quad n_2=\dfrac{1{,}33\cdot\sin 54^\circ}{\sin 90^\circ}=1{,}33\cdot \sin 54^\circ = 1{,}075\dotso\approx 1{,}1$]]

Tuntemattoman aineen taitekerroin on n. 1,1.

b. Tulokulma voidaan ratkaista taittumislain avulla.

[[$\quad \begin{align}\dfrac{\sin\alpha_1}{\sin\alpha_2}&=\dfrac{n_2}{n_1} \\ \ \\ \sin\alpha_1&=\dfrac{n_2\sin\alpha_2}{n_1} \\ \ \\ \alpha_1&=\arcsin\dfrac{n_2\sin\alpha_2}{n_1}\end{align}$]]

Sijoitetaan lukuarvot (taitekerroin [[$n_2=1{,}08$]] saadaan a-kohdasta ja [[$n_1=1{,}33$]] on yhä veden taitekerroin).

[[$\quad \alpha_1=\arcsin\dfrac{1{,}08\sin 45^\circ}{1{,}33}= 35{,}0\dots^\circ\approx 35^\circ$]]

Taitekulma 45° saavutettaisiin n. 35°:n tulokulmalla.

Takaisin