Värähtelevä jousi

Jousen venyttäminen vaatii voimaa. Mitä enemmän jousta halutaan venyttää, sitä suurempi voima tarvitaan. Jousta venyttävää voimaa kutsutaan jousivoimaksi. Jousen venymä-voima-kuvaaja on suora. Jousivoiman ja venymän riippuvuus saadaan suoran kulmakertoimesta. Verrannollisuuskerroin on jousivakio ja se kuvaa jousen jäykkyyttä: jousivakio kertoo, kuinka suuri voima vaaditaan venyttämään jousta metrin verran.

Jousivoima

Jousi kohdistaa kiinnityspisteeseensä voiman ​[[$ F=kx $]]
  • [[$ k $]]​ on jousen jousivakio ja [[$ x $]]​ venymä. Venymä tarkoittaa pituuden muutosta lepopituuteen nähden.
  • Voiman suunta on aina kohti jousen tasapainoasemaa.

Jousivoima on esimerkki harmonisesta voimasta. Yleisesti voimaa kutsutaan harmoniseksi, jos sen suuruus on suoraan verrannollinen poikkeamaan tasapainoasemasta.

Koska jousivoima pyrkii palauttamaan jousen tasapainoasemaansa, on jousivoiman suunta tasapainoasemaa kohti. Kun poikkeama [[$x$]] on alaspäin, vaikuttaa jousivoima [[$F$]] ylöspäin. Kun poikkeama on ylöspäin, vaikuttaa jousivoima alaspäin. Jousivoima ja poikkeama tasapainoasemasta ovat vastakkaissuuntaiset.

Jousen punnuksen asema liikkeen tyyppi
Jousen punnuksen asema Punnuksen liikkeen tyyppi
Suunta kohti tasapainoasemaa Kiihtyvä liike, nopeus kasvaa
Suunta poispäin tasapainoasemasta Hidastuva liike, nopeus pienenee
Punnus tasapainoasemassa Tasainen liike (hetkellisesti), nopeus suurimmillaan
Punnus ääriasemassa Punnus paikallaan, kiihtyvyys suurimmillaan

Kun tasapainoasemastaan poikkeutettu jousi lasketaan liikkeelle, se palaa kohti tasapainoasemaansa. Lähestyessään tasapainoasemaa jousivoima kiihdyttää kappaletta. Ohitettuaan tasapainoaseman jousivoiman suunta muuttuu, mikä hidastaa kappaleen liikettä pysäyttäen sen lopulta ja alkaen kiihdyttää liikettä toiseen suuntaan. Jousivoiman suunnan muutos tasapainoaseman ympärillä saa aikaan kappaleen värähdysliikkeen. Jousivoimaa ja venymää voidaan esittää vektoreina kuvan mukaisesti.

Jousen potentiaalienergia

Kun jousta venytetään vaakasuunnassa, tehdään työtä jousivoimaa vastaan. Jos jousesta tämän jälkeen päästetään irti, se alkaa nopeasti puristua takaisin kokoon. Venyttämisessä tehty työ on varastoitunut jouseen ja vapautuu irti päästettäessä liike-energiaksi. Jousen venymään varastoitunutta energiaa kutsutaan jousen potentiaalienergiaksi.

Vakiovoiman tekemä työ on [[$W=Fs$]]. Jousta venyttävä voima ei pysy vakiona vaan kasvaa jousta venytettäessä, joten työ on määritettävä graafisesti integroimalla [[$(x,F)$]]-kuvaajaa.

Koska jousivoima on harmoninen voima, muodostaa pistejoukko suoran. Graafisen integroinnin eli tehdyn työn suuruus saadaan laskemalla kolmion pinta-ala.


Kolmion pinta-alan kaavalla saadaan työksi [[$ W=\dfrac{1}{2}Fx$]]. Jousivoiman suuruus on [[$ F=kx $]]​, joten tehty työ on

[[$ \quad W=\dfrac{1}{2}kx\cdot x=\dfrac{1}{2}kx^2$]]

Jousen potentiaalienergia

[[$ \quad E_\text{P}=\dfrac{1}{2}kx^2,$]]

​missä [[$ k $]]​ on jousivakio ja [[$ x $]]​ on jousen venymä/puristuma.

Kun jousen värähdellessä liikettä vastustavia voimia ei huomioida, mekaaninen energia säilyy. Mekaaninen energia on liike-energian ja potentiaalienergian summa.

[[$ \quad E_\text{P}+E_\text{K}=\textrm{vakio} $]]

Värähdysliikkeen aikana jousen potentiaalienergia muuttuu jouseen kiinnitetyn kappaleen liike-energiaksi ja kappaleen liike-energiasta takaisin potentiaalienergiaksi.

[[$ \quad \dfrac{1}{2}kx^2+\dfrac{1}{2}mv^2=\textrm{vakio}$]]