Jousen päälle asetetaan kuula, jonka massa on 59 g. Jousi puristetaan kasaan, jolloin sen pituus lyhenee 3,5 cm. Kun jousi laukaistaan, punnus nousee lähtötasosta 18 cm ylöspäin.

a)
Kuinka suuri on jousen jousivakio?

b)
Jousi käännetään vaakatasoon. Jousta puristetaan kasaan 3,5 cm. Kun jousi laukaistaan, kuula lähtee vierimään lattialla. Kuinka suuren nopeuden kuula saa?

Ratkaisu

a)
Jousen potentiaalienergia muuttuu kuulaan varastoituneeksi painon potentiaalienergiaksi. Kuulaan vaikuttaa tapahtuman aikana jousivoima ja kuulan paino, jotka ovat molemmat konservatiivisia voimia. Jos ilmanvastusta ei oteta huomioon, muita voimia ei ole, ja mekaaninen energia säilyy. Jousen potentiaalienergia on [[$E_\text{PJ}=\dfrac{1}{2}kx^2$]] ja painon potentiaalienergia (koska liikutaan maanpinnan läheisyydessä) on [[$E_\text{PG}=mgh$]]. Saadaan yhtälö

[[$ \begin{align*} E_\text{PJ}&=E_\text{PG} \\ \, \\ \quad \dfrac{1}{2}kx^2&=mgh \\ \, \\ k&=\dfrac{2mgh}{x^2} \\ \end{align*}$]]

Sijoitetaan lukuarvot [[$ m=\text{0,059 kg, }g=\text{9,81 m/s}^2\text{, }h=\text{0,18 m ja }x=\text{0,035 m}.$]] Jousivakioksi saadaan

[[$ \begin{align*} \quad k&=\dfrac{2\cdot \text{0,059 kg}\cdot \text{9,81 m/s}^2\cdot \text{0,18 m}}{\left(\text{0,035 m}\right)^2}\\\, \\ &=\text{170,09}\ldots \textrm{N/m}\approx 170 \textrm{ N/m}.\end{align*}$]]

b)
Jousen potentiaalienergia muuttuu nyt kuulan liike-energiaksi. Jälleen voidaan olettaa liikettä vastustavat voimat vähäisiksi, jolloin kuulan mekaaninen energia säilyy. Liike-energian lauseke on [[$E_\text{K}=\dfrac{1}{2}mv^2$]]. Saadaan yhtälö

[[$\begin{align*} \quad E_\text{PJ}&=E_\text{K} \\ \, \\ \dfrac{1}{2}kx^2&=\dfrac{1}{2}mv^2 \\ \, \\ v^2&=\dfrac{kx^2}{m} \\ \, \\ v&=\sqrt{\dfrac{kx^2}{m}} \\ \end{align*} $]]

Sijoitetaan lukuarvot [[$ x=\textrm{0,035 m, }k=\textrm{170,1 N/m ja }m=\textrm{0,059 kg}.$]] Nopeudeksi saadaan

[[$ \begin{align*} \quad v&=\sqrt{\dfrac{\text{170,1 N/m}\cdot\left(\text{0,035 m}\right)^2}{\text{0,059 kg}}} \\ \, \\ &= \text{1,8792}\ldots \textrm{ m/s}\approx \text{1,9 m/s} \end{align*} $]]