Halleyn komeetta on yksi tunnetuimmista aurinkokunnan pienkappaleista. Komeetta kiertää Aurinkoa ellipsin muotisella radalla, jonka kaukaisin etäisyys on 35,3 AU. Lähimmillään Aurinkoa komeetta on etäisyydellä 0,587 AU liikkuen nopeudella 54,6 km/s. Kuinka suuri on komeetan nopeus kiertoratansa kaukaisimmassa pisteessä?

Ratkaisu

Komeetan liikkuessa Auringon ympäri sen mekaaninen energia säilyy. Energia muuttaa muotoaan potentiaali- ja liike-energian välillä. Energiaperiaatteesta saadaan yhtälö [[$ E_\text{K1}+E_\text{P1}=E_\text{K2}+E_\text{P2}$]]. Sijoitetaan yhtälöön liike-energian lauseke [[$E_\text{K}=\dfrac{1}{2}mv^2$]] ja gravitaatiopotentiaalienergian lauseke [[$E_\text{P}=-\gamma\dfrac{mM}{r}$]], yhtälö tulee muotoon

[[$ \quad \dfrac{1}{2}mv_1^2-\gamma\dfrac{mM}{r_1}=\dfrac{1}{2}mv_2^2-\gamma\dfrac{mM}{r_2}$]]

Tiedossa olevat lukuarvot ovat:

[[$ v_1=54\,600\textrm{ m/s} \\ \gamma = \text{6,6742}\cdot 10^{-11}\dfrac{\text{Nm}^2}{\text{kg}^2} \\ M=\text{1,989}\cdot 10^{30} \textrm{ kg} \\ r_1=\text{0,587}\cdot \text{1,496}\cdot 10^{11} \textrm{ m}=\text{8,78152}\cdot 10^{10}\text{ m} \\ r_2=\text{35,3}\cdot \text{1,496}\cdot 10^{11} \textrm{ m}=\text{5,28088}\cdot 10^{12}\text{ m} $]]​

Kaikki muut suureet yhtälössä tunnetaan paitsi kysytty nopeus [[$v_2$]].

[[$ \begin{align*}\quad \dfrac{1}{2}mv_1^2-\gamma\dfrac{mM}{r_1}&=\dfrac{1}{2}mv_2^2-\gamma\dfrac{mM}{r_2} \\ \, \\ \dfrac{1}{2}v_1^2-\gamma\dfrac{M}{r_1}&=\dfrac{1}{2}v_2^2-\gamma\dfrac{M}{r_2} \\ \,\\ \dfrac{1}{2}v_2^2&=\dfrac{1}{2}v_1^2-\gamma\dfrac{M}{r_1}+\gamma\dfrac{M}{r_2} \\ \, \\ v_2^2&=v_1^2-2\gamma \left(\dfrac{M}{r_1}-\dfrac{M}{r_2}\right) \\ \, \\ v_2&=\sqrt{v_1^2-2\gamma \left(\dfrac{M}{r_1}-\dfrac{M}{r_2}\right)} \\ \, \\ v_2&=\sqrt{\left(54\,600\textrm{ m/s}\right)^2-2\cdot\text{6,6742}\cdot 10^{-11}\dfrac{\text{Nm}^2}{\text{kg}^2}\cdot \left(\dfrac{\text{1,989}\cdot 10^{30} \textrm{ kg}}{\text{8,78152}\cdot 10^{10}\text{ m}}-\dfrac{\text{1,989}\cdot 10^{30} \textrm{ kg}}{\text{5,28088}\cdot 10^{12}\text{ m}}\right)} \\ \, \\ &=\text{2 836,3}\ldots \textrm{ m/s}\approx \text{2,8 km/s} \\ \end{align*} $]]​

Komeetan nopeus kiertoratansa kaukaisimmassa pisteessä on 2,8 km/s.