2.2 - Yhtälö

Yhtälö

Yhtälö

  • Yhtälössä kaksi lauseketta (yhtälön oikea ja vasen puoli) on merkitty yhtä suuriksi
  • Yhtälön tunnistaa siis yhtäsuuruusmerkistä [[$$ \text{vasen puoli}=\text{oikea puoli} \\ 2x + 3 = x + 9 $$]]​
  • Yhtälöissä esiintyy usein kirjaimia, eli tuntemattomia lukuja, muuttujia

Yhtälön ratkaisu

  • Yhtälön ratkaisussa selvitetään millä tuntemattoman luvun (muuttujan) arvolla yhtälö on tosi
  • esim. [[$$ 3x + 2 = 11 \\ 3x = 9 \\ x=3 $$]]​
  • ratkaisun voi tarkistaa sijoittamalla saatu muuttujan arvo alkuperäiseen yhtälöön
  • esim. Onko [[$ x=3 $]]​ yhtälön [[$ 3x+2=11 $]]​ ratkaisu? [[$$ 3x+2=11\\ 3 \cdot 3 + 2 =11\\ 9+2=11\\ 11=11 $$]]​
  • Kysytty luku on yhtälön ratkaisu, mikäli yhtälö on tosi, eli oikea ja vasen puoli ovat yhtä suuret

Yhtälön ratkaiseminen laskemalla

Yhtälön ratkaisussa pyritään erilaisilla laskutoimituksilla yksinkertaistamaan yhtälöä niin pitkälle, että
  • toisella (yleensä vasen) puolella on vain tuntematon (x, muuttuja) ja
  • toisella puolella luku
esim. [[$$ 2x+3 = 9 \quad || -3 \\ 2x+3-3=9-3 \\ 2x=6 \quad || :2 \\ x=3 $$]]​
  • Muista, että sama laskutoimitus pitää aina tehdä yhtälön molemmille puolille!

Termien lisääminen ja vähentäminen

Mieti millä laskutoimituksella saat
  • luvun pois vasemmalta puolelta
  • tuntemattoman pois oikealta puolelta
esim. [[$$ x-5=6 \quad || +5 \\ x=11 $$]]​[[$$ 3x=2x+4 \quad || -2x \\ x=4 $$]]​

Termien siirtäminen

toinen tapa termien lisäämiseen ja vähentämiseen
  • laskutoimitukset näkyvillä:
[[$$ 2x = x+4 \quad || -x \\ 2x-x=x-x+4\\ x=4 $$]]​
  • termejä siirtämällä:
[[$$ 2x=\color{red}{x}+4 \\ 2x\color{red}{-x}=4 \\ x=4 $$]]​
Termin voi siis siirtää puolelta toiselle, kunhan muistaa vaihtaa etumerkin!

Yhtälön ratkaiseminen kertomalla tai jakamalla

Jos termien siirtämisen jälkeen x:n edessä on jokin kerroin (luku), niin yhtälö ratkeaa jakamalla molemmat puolet tällä luvulla
esim.
[[$$ 3x=15 \quad ||:3\\ x=\frac{15}{3}=5 $$]]​

Jos muuttuja on termien siirtämisen jälkeen jaettu jollain luvulla (tai heti yhtälön ratkaisun alussa koko yhtälö!), voidaan yhtälö ratkaista kertomalla molemmat puolet tällä luvulla
esim.
[[$$ \frac{x}{3}=6 \quad ||\cdot 3\\ x=6\cdot3=18 $$]]​