MAA11 (MImm)
7.5. Kokeen palautus
Sinulla ei ole tarvittavia oikeuksia lähettää mitään.
Kokeen palautus tähän
Sinulla ei ole tarvittavia oikeuksia lähettää mitään.
MAA11 - 25.3.2020
Kurssin asiat käyty. Aika aloittaa kertaaminen. Koe pidetään koeviikon lukujärjestyksen osoittamaan aikaan. Ohjeet lähempänä wilman kautta. Jos virta riittää ottaa vähän ekstraa niin alla lyhyt johdanto kongruenssiyhtälöihin.
MAA11 - 24.3.2020
Kokonaislukukertoimisella yhtälöllä ax + by = c on olemassa ratkaisu jos c on jaollinen luvulla syt(a,b). Ratkaisut saadaan
missä n on mielivaltaisesti valittava kokonaisluku.
Tämän voit todeta esim niin että jos x=x0, y=yo toteuttaa yhtälön niin myös x=x0+nb/d ja y=y0+na/d toteuttaa yhtälön. Sijoita!
Diofantoksen yhtälö ratkaistaan etsimällä yhtälöstä ax+by=c suurin yhteinen tekijä luvuille a ja b käyttämällä Euklideen algoritmia. Tämän jälkeen palamaamalla algoritmia ylöspäin muodostetaan suurimman yhteisen tekijän esitys lukujen a ja b lineaarikombinaationa. Tämän jälkeen yksittäisratkaisu yhtälölle löytyy kertomalla syt sellaisella luvulla että siitä saadaan c. (Tämä tietysti kuulostaa ihan käsittämättömälle. Lue kirjan kappale hyvin huolella ja katso matikkamatskujen video.)
Lineaarikombinaation muodostamisessa ideana on siis sijoittaa jakojäännös aina ylemmältä riviltä alemmalle. Alla kaksi esimerkkiä jotka eivät kyllä yksistään riitä koska ovat niin yksinkertaisia tapauksia. Ensimmäisessä tarkoitus valottaa yleisen ratkaisun kaavan käyttöä ja alemmassa sitä kuinka negatiivisiin lukuihin suhtaudutaan. Kirjasta sitten pitää etsiä ne tapaukset jossa tulee pitempi algoritmi.
Harjoituksia Diofantoksen yhtälöön.
1) Ratkaise Diofantoksen yhtälö a) 20x+16y=212 b) 20x+16y=210
2) Sirkukseen myytiin aikuisten lippuja jotka maksoivat 16 euroa ja lasten lippuja jotka maksoivat 7 euroa. Lipputulot olivat yhteensä 330 euroa. Montako aikuisten ja montako lastenlippua myytiin?
3) YO2008: Määritä lukujen 154 ja 126 suurin yhteinen tekijä ja ratkaise diofantoksen yhtälö 154x+126y=56.
Kirjastakin löytyy muutama (saattaavat olla helpompia). Oikeastaan se minkä harjoituksen teet ei ole oleellista sillä kaikki menevät kyllä tismalleen samalla tavoin mekaanisesti, mutta sanomattakin lienee selvää ettei tätä asiaa voi selvittää pelkillä esimerkeillä vaan harjoitus on kirjoitettava itse.
20.3.2020
Seuraavat kokonaislukujen jaollisuuteen liittyvät lauseet esitetään kirjassa. Niiden todistusten lukeminen ajatuksen kanssa voi antaa hyvää syvällisempää ymmärrystä jaollisuudesta, mutta jos todistukset tuntuvat vaikeilta jo lauseiden merkityksen selvittäminen itselle on hyvä askel eteenpäin. Lauseen lopussa on numeroesimerkki tätä varten.
Lause 1. Olkoon p alkuluku. Jos ab on jaollinen luvulla p, niin ainakin toinen luvuista a ja b on jaollinen luvulla p.
todistus.
Riittää tarkastella positiivisia lukuja a ja b, koska negatiivisilla vastineilla on vain lisätekijä -1. Jos p on a:n tekijä väite pätee, jos ei niin
syt(a,p) = 1
koska alkuluvulla p ei ole muita tekijöitä kuin 1 ja p.
Nyt voidaan kirjoittaa 1 = px + ay (Bézout’n lemma)
josta b = bpx + bay
koska ab = pk niin b = bpx + pky = p(bx + ky) eli jaollinen luvulla p.
Esim. Koska 91*55 = 5005 on jaollinen luvulla 13. On 91 tai 55 jaollinen luvulla 13.
Lause 2. Olkoot p ja q eri alkuluvut. Jos a on jaollinen sekä luvulla p, että luvulla q, niin se on jaollinen luvulla pq.
todistus.
Koska a = pk on jaollinen luvulla q, on q lauseen 1 nojalla p:n tai k:n tekijä. Koska p on alkuluku, ei q voi olla p:n tekijä, joten k = ql.
Eli a = pql, siis jaollinen luvulla pq.
Esim. 874 on jaollinen luvuilla 23 ja 19, joten se on jaollinen myös luvulla 23*19=437
Lause 3 Olkoon lukujen p ja q suurin yhteinen tekijä 1. Jos a on jaollinen sekä luvulla p, että luvulla q, niin luku a on jaollinen luvulla pq.
Todistus kuten lauseessa 2
Esim. 280 jaollinen luvuilla 5 ja 8 ja syt(5,8)=1, jolloin 280 on jaollinen luvulla 5*8=40.
Huom! Lauseet voidaan yleistää useammille luvuille.
Jaollisuussääntöjä
Seuraavassa esimerkissä olisi hyvä ensin miettiä mitä tarkoittaa kun luku esitetään kymmenjärjestelmässä. Vaikkapa
10235 = 1*104 + 0*103+2*102 + 3*101 + 5*100
Yleisesti luku voidaan esittää muodossa
an10n + an-110n-1 +…+a1101 + a0 ≡ an1n + an-11n-1 + … + a111 + a0
Esim. kolmella jaollisuus
Koska
10 ≡ 1 (mod 3)
10n ≡ 1n (mod 3)
an10n ≡ an1n (mod 3)
an-110n-1 ≡ an-11n-1 (mod 3)
niin
an10n + an-110n-1 +…+a1101 + a0 ≡ an1n + an-11n-1 + … + a111 + a0
≡ an + an-1 +…+a1 + a0 (mod 3)
Joten luvun jakojäännös jaettaessa luvulla 3 on sama kuin luvun numeroiden summa jaetaan luvulla kolme.
293.
1+0+7+1=9=3*3 eli 1071 on kolmella jaollinen
1+1+5+5=12=4*3 eli 1155 on kolmella jaollinen
2+2+9+9=22 ei ole kolmella jaollinen joten 2299 ei ole kolmella jaollinen.
Vastaavia sääntöjä voidaan johtaa myös muille luvuille (katso kirja esim3).
Ja matikkamatskuista
Huom! Jaollisuuden perusteella luvun esittäminen alkuluvuilla on yksikäsitteinen.
286.
72*320=(2*36)*(2*160)=(2*2*2*9)*(2*2*2*2*2*10)=(2*2*2*3*3)*(2*2*2*2*2*2*5)
=2^9*3*5
48*480=(2*2*2*2*3)*(2*2*2*2*2*3*5))=2^9*3*5
Eli tulot ovat yhtä suuret.
Harjoituksia 274, 275, 279, 292, 293 Kymykset sähköpostiin tai chättikanavalle.
18.3.2020 - Alkuluvut
1,2,3,5,7,11,13,,17,19,23,29,31,37,41,43,47
Jos halutaan tutkia onko luku n alkuluku riittää jakaa luku lukua sqrt(n) pienemmillä alkuluvuilla.
Esimerkki
Eratostheneen seulalla voidaan etsiä alkulukuja.
Alkulukuhajotelma voidaan muodostaa laskimella "factor"-komennolla tai jakamalla luku ensin luvulla 2, seuraavaksi luvulla 3, luvulla 5 jne. Alkulukuhajotelmaa voidaan käyttää esimerkiksi syt:n ja pyj:n etsimiseen
Lue tarkkaan kirjan teoria ja esimerkit ja tee harjoitukset 248, 254, 256, 258, 267, 268. Alla vielä matikkamatskujen materiaalia aiheesta.