Diofantoksen yhtälö

Kokonaislukukertoimisella yhtälöllä ax + by = c on olemassa ratkaisu jos c on jaollinen luvulla syt(a,b). Ratkaisut saadaan


missä n on mielivaltaisesti valittava kokonaisluku.

Tämän voit todeta esim niin että jos x=x0, y=yo toteuttaa yhtälön niin myös x=x0+nb/d ja y=y0+na/d toteuttaa yhtälön. Sijoita!

Diofantoksen yhtälö ratkaistaan etsimällä yhtälöstä ax+by=c suurin yhteinen tekijä luvuille a ja b käyttämällä Euklideen algoritmia. Tämän jälkeen palamaamalla algoritmia ylöspäin muodostetaan suurimman yhteisen tekijän esitys lukujen a ja b lineaarikombinaationa. Tämän jälkeen yksittäisratkaisu yhtälölle löytyy kertomalla syt sellaisella luvulla että siitä saadaan c. (Tämä tietysti kuulostaa ihan käsittämättömälle. Lue kirjan kappale hyvin huolella ja katso matikkamatskujen video.)




Lineaarikombinaation muodostamisessa ideana on siis sijoittaa jakojäännös aina ylemmältä riviltä alemmalle. Alla kaksi esimerkkiä jotka eivät kyllä yksistään riitä koska ovat niin yksinkertaisia tapauksia. Ensimmäisessä tarkoitus valottaa yleisen ratkaisun kaavan käyttöä ja alemmassa sitä kuinka negatiivisiin lukuihin suhtaudutaan. Kirjasta sitten pitää etsiä ne tapaukset jossa tulee pitempi algoritmi.​

Harjoituksia Diofantoksen yhtälöön.

1) Ratkaise Diofantoksen yhtälö a) 20x+16y=212 b) 20x+16y=210

2) Sirkukseen myytiin aikuisten lippuja jotka maksoivat 16 euroa ja lasten lippuja jotka maksoivat 7 euroa. Lipputulot olivat yhteensä 330 euroa. Montako aikuisten ja montako lastenlippua myytiin?

3) YO2008: Määritä lukujen 154 ja 126 suurin yhteinen tekijä ja ratkaise diofantoksen yhtälö 154x+126y=56.

Kirjastakin löytyy muutama (saattaavat olla helpompia). Oikeastaan se minkä harjoituksen teet ei ole oleellista sillä kaikki menevät kyllä tismalleen samalla tavoin mekaanisesti, mutta sanomattakin lienee selvää ettei tätä asiaa voi selvittää pelkillä esimerkeillä vaan harjoitus on kirjoitettava itse.