Jaollisuuslauseita (kpl 3.5)



Seuraavat kokonaislukujen jaollisuuteen liittyvät lauseet esitetään kirjassa. Niiden todistusten lukeminen ajatuksen kanssa voi antaa hyvää syvällisempää ymmärrystä jaollisuudesta, mutta jos todistukset tuntuvat vaikeilta jo lauseiden merkityksen selvittäminen itselle on hyvä askel eteenpäin. Lauseen lopussa on numeroesimerkki tätä varten.

Lause 1. Olkoon p alkuluku. Jos ab on jaollinen luvulla p, niin ainakin toinen luvuista a ja b on jaollinen luvulla p.

todistus.

Riittää tarkastella positiivisia lukuja a ja b, koska negatiivisilla vastineilla on vain lisätekijä -1. Jos p on a:n tekijä väite pätee, jos ei niin

syt(a,p) = 1

koska alkuluvulla p ei ole muita tekijöitä kuin 1 ja p.

Nyt voidaan kirjoittaa 1 = px + ay (Bézout’n lemma)

josta b = bpx + bay

koska ab = pk niin b = bpx + pky = p(bx + ky) eli jaollinen luvulla p.

Esim. Koska 91*55 = 5005 on jaollinen luvulla 13. On 91 tai 55 jaollinen luvulla 13.

Lause 2. Olkoot p ja q eri alkuluvut. Jos a on jaollinen sekä luvulla p, että luvulla q, niin se on jaollinen luvulla pq.

todistus.

Koska a = pk on jaollinen luvulla q, on q lauseen 1 nojalla p:n tai k:n tekijä. Koska p on alkuluku, ei q voi olla p:n tekijä, joten k = ql.

Eli a = pql, siis jaollinen luvulla pq.

Esim. 874 on jaollinen luvuilla 23 ja 19, joten se on jaollinen myös luvulla 23*19=437

Lause 3 Olkoon lukujen p ja q suurin yhteinen tekijä 1. Jos a on jaollinen sekä luvulla p, että luvulla q, niin luku a on jaollinen luvulla pq.

Todistus kuten lauseessa 2

Esim. 280 jaollinen luvuilla 5 ja 8 ja syt(5,8)=1, jolloin 280 on jaollinen luvulla 5*8=40.

Huom! Lauseet voidaan yleistää useammille luvuille.

Jaollisuussääntöjä
Seuraavassa esimerkissä olisi hyvä ensin miettiä mitä tarkoittaa kun luku esitetään kymmenjärjestelmässä. Vaikkapa
10235 = 1*10⁴ + 0*10³+2*10² + 3*10¹ + 5*10⁰
Yleisesti luku voidaan esittää muodossa
a_n10ⁿ + a_n-110^n-1 +…+a₁10¹ + a₀ ≡ a_n1ⁿ + a_n-11^n-1 + … + a₁1¹ + a₀


Esim. kolmella jaollisuus

Koska

10 ≡ 1 (mod 3)

10ⁿ ≡ 1ⁿ (mod 3)

a_n10ⁿ ≡ a_n1ⁿ (mod 3)

a_n-110^n-1 ≡ a_n-11^n-1 (mod 3)

niin

a_n10ⁿ + a_n-110^n-1 +…+a₁10¹ + a₀ ≡ a_n1ⁿ + a_n-11^n-1 + … + a₁1¹ + a₀

≡ a_n + a_n-1 +…+a₁ + a₀ (mod 3)

Joten luvun jakojäännös jaettaessa luvulla 3 on sama kuin luvun numeroiden summa jaetaan luvulla kolme.

293.

1+0+7+1=9=3*3 eli 1071 on kolmella jaollinen

1+1+5+5=12=4*3 eli 1155 on kolmella jaollinen

2+2+9+9=22 ei ole kolmella jaollinen joten 2299 ei ole kolmella jaollinen.

Vastaavia sääntöjä voidaan johtaa myös muille luvuille (katso kirja esim3).

Ja matikkamatskuista
​

Huom! Jaollisuuden perusteella luvun esittäminen alkuluvuilla on yksikäsitteinen.

286.

72*320=(2*36)*(2*160)=(2*2*2*9)*(2*2*2*2*2*10)=(2*2*2*3*3)*(2*2*2*2*2*2*5)

=2^9*3*5

48*480=(2*2*2*2*3)*(2*2*2*2*2*3*5))=2^9*3*5

Eli tulot ovat yhtä suuret.

 

Harjoituksia 274, 275, 279, 292, 293 Kymykset sähköpostiin tai chättikanavalle.