Pakolliset tehtävät

233

a)
$9\equiv16\equiv23\equiv2\ \left(mod\ 7\right)$
b)
$2\cdot2\equiv2\cdot5\equiv2\cdot8\equiv1\ \left(mod\ 3\right)$
c)
$5\cdot1\equiv5\cdot3\equiv5\cdot5\equiv3\ \left(mod\ 2\right)$

209

$122=7\cdot17+3$
$0\cdot17+3=3$
$122\equiv3\ \left(mod\ 17\right)$
$-14=-2\cdot9+4$
$0\cdot9+4=4$
$-14\equiv4\ \left(mod\ 9\right)$
$34\equiv13\ \left(mod\ n\right)$
$n=3$
$34=11\cdot3+1$
$13=4\cdot3+1$

207

a)
$23=5\cdot4+3$
$47=11\cdot4+3$
$23\equiv47\ \left(mod\ 4\right)$
b)
$27=3\cdot7+6$
$58=8\cdot7+2$
c)
$281=93\cdot3+2$
$275=91\cdot3+2$

$281\equiv275\ \left(mod\ 3\right)$

332

$\begin{array}{l|l} M&V&M\vee V&\neg M\vee\neg V&M\Rightarrow V\\ \hline 1&1&1&0&1\\ 1&0&1&1&0\\ 0&1&1&1&1\\ 0&0&0&1&0 \end{array}$

Mikko on syytön

Ville on syyllinen

330

$\begin{array}{l|l} A&B&A\vee\neg B&A\Rightarrow B&B\Rightarrow A&A\wedge\neg B\\ \hline 1&1&1&1&1&0\\ 1&0&1&0&1&1\\ 0&1&0&1&0&0\\ 0&0&1&1&1&0 \end{array}$

a ja c -kohtien lauseet ovat loogisesti ekvivalentteja

306

a) nelikulmio on suorakulmio, jos nelikulmion kaikki kulmat ovat yhtä suuret
b) nelikulmion kaikki sivut ovat yhtä pitkät, jos nelikulmio on neliö
c) nelikulmio on suorakulmio jos ja vain jos nelikulmion kaikki kulmat ovat yhtä suuret
d) nelikulmio on neliö, jos sekä nelikulmion kaikki kulmat ovat yhtä suuret että nelikulmion kaikki sivut ovat yhtä pitkät

228

a)
$3972=1324\cdot3+0$
$3576=1192\cdot3+0$
$564=188\cdot3+0$
$3972-3576\cdot576\equiv0-0\cdot0=0\left(mod\ 6\right)$
jakojäännös 0
b)

$87=17\cdot5+2$

$87\equiv2\left(mod\ 5\right)$

$109=21\cdot5+4$
$109\equiv4\ \left(mod\ 5\right)$
$3=1\cdot5-2$
$4=1\cdot5-1$
$87\cdot109+3\cdot4^{23}\equiv2\cdot4-2\cdot\left(-1\right)^{23}=8+2=10=2\cdot5+0\ \left(mod\ 5\right)$
jakojäännös 0

226

a)
$92=15\cdot6+2$
$92\equiv2\ \left(mod\ 6\right)$
$903=150\cdot6+3$
$903\equiv3\left(mod\ 6\right)$
$92\cdot903\equiv2\cdot3\equiv0\left(mod\ 6\right)$
b)
$13=2\cdot6+1$
$5=0\cdot6+5$
$13^{19}+5\equiv1^{19}+5=1+5=0\left(mod\ 6\right)$
c)
$7=1\cdot6+1$
$-1=0\cdot6-1$
$7^{12}-1\equiv1^{12}-1=1-1=0\left(mod\ 6\right)$