Esimerkkitilanteita
Venytetty jousi
Jousen pituus on 11 cm ja jousivakio 12,5 N/m. Jouseen ripustetaan punnus, jonka massa on 51 g.
a)
Kuinka pitkäksi jousi venyy punnuksen kanssa?
b)
Punnuksen ollessa ripustettuna jouseen jousi venytetään 29 cm:n pituuteen. Kuinka suurella voimalla jousta on venytettävä?
a)
Jousi on tasapainossa. Paino ja jousivoima ovat yhtä suuret. Dynamiikan peruslain mukaan
[[$\begin{align*} \Sigma\bar{F}&=\bar{0} \\ \, \\ \quad \bar{F}_\text{J}+\bar{G}&=\bar{0} \\ \, \\ F_\text{J}-G&=0 \\ \, \\ F_\text{J}&=G \end{align*}$]]
Sijoitetaan tähän [[$G=mg$]] ja [[$F_\text{J}=kx$]] ja ratkaistaan venymä x:
[[$\begin{align*} \quad kx&=mg \\ \, \\ x&=\dfrac{mg}{k} \\ \end{align*} $]]
Tiedetään lukuarvot [[$ m=\text{0,051 kg, }g=\text{9,81 m/s}^2\text{ ja }k=\text{12,5 N/m}.$]] Venymäksi saadaan
[[$ \begin{align*} \quad x=\dfrac{\text{0,051 kg}\cdot \text{9,81 m/s}^2}{\text{12,5 N/m}}=\text{0,0400248 m}\approx \text{4,0 cm} \end{align*} $]]
Jousen pituus on siten [[$ 11 \textrm{ cm}+ \textrm{4,0 cm}=15 \textrm{ cm}.$]]
b)
Jousen venymä on nyt [[$ 29 \textrm{ cm}-11 \textrm{ cm} = 18 \textrm{ cm}.$]]
Jousi on tasapainossa, joten voimien summa on nolla. Dynamiikan peruslain mukaan
[[$\begin{align*} \Sigma\bar{F}&=\bar{0} \\ \, \\ \quad \bar{F}_\text{J}+\bar{G}+\bar{F}&=\bar{0} \\ \, \\ F_\text{J}-G-F&=0 \\ \, \\ F&=F_\text{J}-G = kx-mg \\ \end{align*}$]]
Tiedetään lukuarvot [[$ m=\text{0,051 kg, }g=\text{9,81 m/s}^2\text{, }k=\text{12,5 N/m ja }x=\text{0,18 m}.$]] Voimaksi saadaan
[[$ \begin{align*} \quad F&=\text{12,5 N/m}\cdot \text{0,18 m}-\text{9,81 m/s}^2\cdot \text{0,051 kg} \\ \, \\ &=\text{1,74969 N}\approx \text{1,7 N} \end{align*} $]]
Jousi ja kuula
Jousen päälle asetetaan kuula, jonka massa on 59 g. Jousi puristetaan kasaan, jolloin sen pituus lyhenee 3,5 cm. Kun jousi laukaistaan, punnus nousee lähtötasosta 18 cm ylöspäin.
a)
Kuinka suuri on jousen jousivakio?
b)
Jousi käännetään vaakatasoon. Jousta puristetaan kasaan 3,5 cm. Kun jousi laukaistaan, kuula lähtee vierimään lattialla. Kuinka suuren nopeuden kuula saa?
a)
Jousen potentiaalienergia muuttuu kuulaan varastoituneeksi painon potentiaalienergiaksi. Kuulaan vaikuttaa tapahtuman aikana jousivoima ja kuulan paino, jotka ovat molemmat konservatiivisia voimia. Jos ilmanvastusta ei oteta huomioon, muita voimia ei ole, ja mekaaninen energia säilyy. Jousen potentiaalienergia on [[$E_\text{PJ}=\dfrac{1}{2}kx^2$]] ja painon potentiaalienergia (koska liikutaan maanpinnan läheisyydessä) on [[$E_\text{PG}=mgh$]]. Saadaan yhtälö
[[$ \begin{align*} E_\text{PJ}&=E_\text{PG} \\ \, \\ \quad \dfrac{1}{2}kx^2&=mgh \\ \, \\ k&=\dfrac{2mgh}{x^2} \\ \end{align*}$]]
Sijoitetaan lukuarvot [[$ m=\text{0,059 kg, }g=\text{9,81 m/s}^2\text{, }h=\text{0,18 m ja }x=\text{0,035 m}.$]] Jousivakioksi saadaan
[[$ \begin{align*} \quad k&=\dfrac{2\cdot \text{0,059 kg}\cdot \text{9,81 m/s}^2\cdot \text{0,18 m}}{\left(\text{0,035 m}\right)^2}\\\, \\ &=\text{170,09}\ldots \textrm{N/m}\approx 170 \textrm{ N/m}.\end{align*}$]]
b)
Jousen potentiaalienergia muuttuu nyt kuulan liike-energiaksi. Jälleen voidaan olettaa liikettä vastustavat voimat vähäisiksi, jolloin kuulan mekaaninen energia säilyy. Liike-energian lauseke on [[$E_\text{K}=\dfrac{1}{2}mv^2$]]. Saadaan yhtälö
[[$\begin{align*} \quad E_\text{PJ}&=E_\text{K} \\ \, \\ \dfrac{1}{2}kx^2&=\dfrac{1}{2}mv^2 \\ \, \\ v^2&=\dfrac{kx^2}{m} \\ \, \\ v&=\sqrt{\dfrac{kx^2}{m}} \\ \end{align*} $]]
Sijoitetaan lukuarvot [[$ x=\textrm{0,035 m, }k=\textrm{170,1 N/m ja }m=\textrm{0,059 kg}.$]] Nopeudeksi saadaan
[[$ \begin{align*} \quad v&=\sqrt{\dfrac{\text{170,1 N/m}\cdot\left(\text{0,035 m}\right)^2}{\text{0,059 kg}}} \\ \, \\ &= \text{1,8792}\ldots \textrm{ m/s}\approx \text{1,9 m/s} \end{align*} $]]
Värähtelevän punnuksen liike
Kuvaajassa on värähtelevään jouseen vaikuttavan kokonaisvoiman muutoksen kuvaaja (kuva alla). Tasapainoasemassa jouseen vaikuttava kokonaisvoima on nolla.
a)
Milloin nopeus on kaikkein suurin?
b)
Millaiset ovat paikan ja nopeuden kuvaajat? Millä perusteella kuvaajat eroavat toisistaan?
a)
Kun kokonaisvoima saa suurimman tai pienimmän arvonsa, jousi on venynyt pisimpään tai puristunut lyhimpään asemaansa. Tällöin jousen potentiaalienergia on suurin ja liike-energia nolla. Kun kokonaisvoima on nolla, jousi on tasapainoasemassa. Jousen potentiaalienergia on nolla ja liike-energia suurin. Kun liike-energia on suurin, on jousen nopeus suurin. Ensimmäisen kerran nopeus on suurimmillaan hetkellä 0,2 s. Tämän jälkeen nopeus on suurin aina puolen jakson välein. (Jakson pituus 0,5 s.)
b)
Kokonaisvoiman merkki ilmaisee voiman vaikutussuuntaa. Kun kokonaisvoima saa ääriarvonsa, on nopeus nolla. Kun kokonaisvoima on nolla, nopeus on suurin. Nopeuden merkki ilmaisee liikkeen suuntaa. Puolijakson välein jousi on liikkeessä vastakkaisiin suuntiin.
Kokonaisvoima on jousivoiman ja painon summa. Koska paino on koko ajan yhtä suuri ja vaikuttaa samaan suuntaan, määräävät jousivoimassa tapahtuvat muutokset kokonaisvoiman merkin. Tasapainoasemassa jousivoima ja paino ovat yhtä suuret. Jousivoiman määritelmän mukaan jousivoima [[$F$]] vaikuttaa vastakkaiseen suuntaan poikkeamasta [[$x$]]: [[$ \bar{F}=-k\bar{x}$]].
Olkoon suunta alaspäin positiivinen. Kun kokonaisvoima on alaspäin (merkki positiivinen), on poikkeama tasapainoasemasta ylöspäin (merkki negatiivinen). Poikkeaman ja kokonaisvoiman välillä on puolen jakson vaihe-ero.